2026秋高三数学复习 数列：等差数列(原卷版)

等差数列

考点一等差数列通项公式、求和公式、特征值的计算

1．（2025·四川成都·一模）在等差数列an中，a3=3，a4+a6=2，则a7=（）

A．-2B．-1C．1D．2

2．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，若S10=100，a10=19，则S20=（）

A．320B．400C．480D．560

3．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，S3=2S6=6，则S9=（）

A．-9B．-6C．-3D．9

4．（24-25高二下·四川资阳·期末）在等差数列an中，若a2+a8=10，a4=4，则公差d=（）

A．-2B．-1C．1D．2

5．（24-25高二下·江西·阶段练习·多选）等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=20,S10=S15，则下列说法正确的是

（）

A．a8=5B．an=n+7

C．当n=12时，Sn取得最大值D．若bn=ancosnπ，则数列bn的前36项和T36=-18

6．（24-25高二下·甘肃张掖·期末·多选）数列an为等差数列，Sn为其前n项和.已知a4=-5，a10=1，则下列结

论正确的有（）

A．a7=-2B．公差d=1

n

C．S5=30D．当n=8或=9时，Sn最小

7．（2024·上海·三模）设an是等差数列，其前n项和为Sn．若a5=6，S5=20，则a9=．

aS

8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）等差数列an中2=5,4=26，则通项公式an=．

9．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，已知a2=4，S7=0，则an的公差

为.

15

10．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S=,2a+a=4a+3，则

32152

a4=.

11．（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列an中，a2=6,a6=2．

(1)求a8；

(2)记等差数列an的前n项和为Sn，求Sn=an时n的值．

12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列an的前n项和Sn满足S5=25,a2+a5=12.

(1)求an的通项公式；

1

(2)若bn=，求bn的前n项和Tn.

4Sn-1

13．（24-25高二下·海南·阶段练习）已知等差数列an满足a3=8,a17=3a5．

(1)求an的通项公式；

1

(2)设bn=，求数列bn的前n项和Tn．

nan

*

14．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列an中，已知a1，a2，a5成等比数列，a2n=2an+1nÎN

(1)求数列an的通项公式；

æπö

(2)若数列bn满足bn=sinçan+1÷+cosπan，求数列bn的前2n项和T2n．

è2ø

考点二等差数列通项公式的性质

1．（24-25高二下·云南·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=（）

A．21B．23C．28D．30

2．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正

一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一

品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”

在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实

数a的值为（）.

14545

A．146B．C．D．91

22

3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知等比数列an的公比q¹1，前n项和为Sn，若S3=14，3a1,a2,-a3成等差数

列，则an=（）

n-1n

A．2´3n-1B．3nC．2´-3D．-3

ì1ü

4．（24-25高二下·北京海淀·期末）设an是所有项都不为0的无穷等差数列，则“íý为递减数列”是“an为递

îanþ

增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

14

5．（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列an中，若a3是a与ay的等差中项，则+的最小值为（）

xxy

3569

A．B．C．D．

2355

6．（24-25高二下·湖北孝感·期中·多选）设等差数列an的前n项和Sn,a1>0，公差为d,a7+a8>0且a7a8<0，下

列结论正确的是（）

A．d<0B．a7>0,a8<0

C．n=8时，Sn最大D．S14>0,S15<0

7．（24-25高二下·河北保定·期末·多选）已知等差数列an的公差d>0，则下列说法正确的是（）

ì1ü*

A．若an¹0，则íý是单调递减数列B．若anÎN，则an是单调递增数列

îanþ

an

C．an是单调递增数列D．2是单调递增数列

2

8．（2025·上海金山·二模）已知an是等差数列，若a3､a7分别是函数y=x-4x+2的两个零点，则a5=.

5

9．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列a的前n项和为S，若aa=2a，且a与2a的等差中项为，则

nn254364

S4=.

10．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知an为等差数列，Sn为前n项和.若10为a3与a8的等差中项，则

S10=

11．（2025·河南·二模）已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1是1-Sn与Sn+1的等差中项.

(1)证明：数列Sn是等差数列；

n

(2)设bn=-1×Sn+an，求数列bn的前2n项和T2n.

12．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知Sn是等差数列an的前n项和，且满足S2是a2,a3的等差中项，a3+1

是a2,a5的等差中项.

(1)求数列an的通项公式

n

(2)记bn=(-1)an，求数列bn的前n项和Tn

考点三等差数列求和公式的性质

Sn3n+4a6

1．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=（）

Tnn+2b6

1113711137

A．B．C．D．

13132626

Snn+1a6

2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=

Tn2n+3b5

（）

79413

A．B．C．D．

1317723

3．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，S6-S3=24，则S12-S9=

（）

A．36B．48C．60D．120

4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4，则m=（）

A．8B．7C．6D．5

n

5．（24-25高二下·福建福州·期末）等差数列{an}的前项和为Sn，且S3=9,S6=36，则S9为（）

A．45B．81C．90D．162

6．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=8,S8=40，则S12=（）

A．52B．96C．106D．12

2

7．（24-25高二下·重庆·期末·多选）等差数列an的前n项和为Sn，已知Sn=n-Bn+C，a1=-8，则下列选项

中正确的是（）

A．C=0，B=-9B．等差数列an的公差d=2

9

C．使S>0成立的n最小为10D．当n=时，S取得最小值

n2n

a7

8．（24-25高二下·河南驻马店·期末·多选）设Sn是等差数列an的前n项和，若S15<0，<-1，则下列结论正

a8

确的是（）

A．d<0B．a7<a8

C．n=7时，Sn最大D．使Sn>0的n的最大值为13

9．（24-25高二下·海南·阶段练习·多选）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=-10,a6<0,S12>0，则（）

A．S5=-50B．a7>0C．Sn³S11D．a3<a10

10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列an中，a1=10，an=an-1-4n³2，则数列an的前n项和的最大值

等于

11．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知Sn是等差数列an的前n项和，a1=1，S7=S4，则Sn的

最大值为.

1

12．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知数列a的前n项和为S，若S=2a-.

nnnn16

(1)求an的通项公式；

æ1ö

(2)设bn=3log2ç÷，求数列bn的前n项和Tn，并求Tn的最大值.

èanø

2

13．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知Sn是等差数列an的前n项和，且Sn=-2n+15n

(1)求数列an的通项公式.

(2)判断an是否为等差数列.

(3)n为何值时，Sn取得最大值并求其最大值．

14．（24-25高二下·广东江门·期中）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=7,S3=15.

(1)求数列an的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn，并求当n为何值时，数列an前n和Sn最大，求其最大值；

1111

(3)若数列bn的通项公式bn=n，求证：+++L+<1

b1b2b2b3b3b4bnbn+1

考点四含绝对值的等差数列求和

1．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列an中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+×××+|an|，则T21=（）

A．245B．263C．281D．290

2

2．（2025·天津·高考真题）Sn=-n+8n，则数列an的前12项和为（）

A．112B．48C．80D．64

3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列an是公差为2的等差数列，且a4=3a7，则数列an的前20项之和为

（）

A．80B．208C．680D．780

4．（24-25高三上·天津·期中）在数列an中，a1=-60，an+1=an+3，则|a1|+|a2|+L+|a25|等于（）

A．630B．648C．660D．675

5．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列an中，已知a1=-20，an+1=an+4，则

a1+a2+a3+L+a20=.

6．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知数列bn满足bn=-2n+21,Tn为bn的前n项和，则T12=.