2026秋高三数学复习 统计案例：线性回归、非线性回归、相关性分析与误差分析、独立性检验(原卷版)

统计案例：线性回归、非线性回归、相关性分析与误差分析、独立性检验专项训练

考点一线性回归

123-24··

．（高二下江苏镇江期末）根据一组样本数据x1,y1，x2,y2，…，x20,y20，求得经验回归方程为

y=1.8x+0.6，且平均数x=5．现发现这组样本数据中有两个样本点2.2,3.5和7.8,15.7误差较大，去除后，重

新求得的经验回归方程为y=1.6x+a，则a=（）

A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8

2．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知由样本数据xi,yii=1,2,3,×××,10组成的一个样本，得到经验回归方程为

y=2x+0.6，且x=3，去除两个样本点-4,-6和4,8后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回

归方程为（）

A．y$=2x+0.5B．y=2x+0.6C．y=2x+0.7D．y=2x+0.8

3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习·多选）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调

查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：

价格x99.51010.511

销售量y1110865

按公式计算，y与x的回归直线方程是：yˆ=-3.2x+aˆ，相关系数r=0.986，则下列说法正确的是（）

A．aˆ=-24B．变量x，y线性负相关且相关性较强

C．相应于点9.5,10的残差约为-0.4D．当x=8时，y的估计值为14.4

4．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）某种细胞在培养正常的情况下，时刻x（单位：分）与细胞数y（单位：

个）的部分数据如下表所示：

x12345

y5295a185227

若y与x线性相关，由上表数据求得经验回归方程为yˆ=44x+10，则下列说法正确的是（）

A．y与x正相关B．a=151

C．细胞数逐分增加，平均每分钟增加10个左右D．预计10分钟后细胞数约为450个

5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越

高．在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：

胸径x/cm89101112

树高y/m8.210111213.8

假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为yˆ=bxˆ-2.2，则当胸径x=15时，树高y的预测值为m．

6．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知变量x与y的一组观测数据如下表：

x12345

y357911

根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=bx+1，则b=，当x=8时，y的预测值为．

7．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）若关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费y(万元)有如下统计资料：

x23456

y2.23.85.56.57.0

若由资料知，y对x呈线性相关关系.

nxy-nx×y

x4,y5,5x290,5xy112.3,bˆåi=1ii,aˆybxˆ)

（参考数据：==åi=1i=åi=1ii==n22=-

åi=1xi-nx

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yˆ=bxˆ+aˆ；

(2)估计使用年限为10年时，试求维修费用约是多少？（精确到两位小数）

8．（24-25高二下·江西·期末）某饮品店统计了一天营业时间x（单位：小时）与饮品销量y（单位：杯）的数据

如下表：

营业时间x12345

饮品销量y1736567799

已知y与x线性相关．

(1)根据以上数据求饮品销量y关于营业时间x的回归直线方程；

(2)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试

预测当日饮品的总利润能否超过1000元？

n

åxiyi-nx×y

ˆˆi=1ˆ

参考公式：回归直线方程yˆ=bx+aˆ中，b=n，aˆ=y-bx．

22

åxi-nx

i=1

9．（24-25高二下·河南商丘·期末）某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相

关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠

民医院就诊的人数，得到如下数据：

日期2月5日3月5日4月5日5月5日

昼夜温差x°C1113128

因患感冒就诊人数y（人）25292616

(1)求因患感冒到惠民医院就诊的人数y关于昼夜温差x的线性回归方程yˆ=bxˆ+aˆ；

(2)如果8月5日昼夜温差是9°C时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）．

n

åxiyi-nxy

ˆˆi=1ˆ

附：线性回归直线yˆ=bx+aˆ中，b=n,aˆ=y-bx；

22

åxi-nx

i=1

10．（24-25高二下·河北·期末）某工厂的某台机器工作时，分为正常运转和非正常运转两种状态．已知该机器正常

运转时每天生产的零件数量x（单位：千个）与次品数y（单位：个）之间存在一定的线性关系．为了研究这种关

系，质量检测部门记录了该机器正常运转下某5天的生产数据，其数据如下：

生产零件数量x/千个34567

次品数y/个1012151619

(1)求次品数y关于生产零件数量x的经验回归方程yˆ=bxˆ+aˆ．

(2)根据经验，该机器正常运转的概率为0.9．该机器正常运转时，生产的零件中次品数满足第（1）问的经验回归

方程；该机器非正常运转时，次品率会提高，每生产1000个零件会出现20个次品．若某天计划用该机器生产

10000个零件，试估计这10000个零件中的次品数．（结果经四舍五入后取整数）

n

åxiyi-nxy55

ˆi=1ˆˆ2

参考公式及数据：b=n,a=y-bx,åxiyi=382,åxi=135．

22i=1i=1

åxi-nx

i=1

11．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验

数据：

步频x（单位：步/s）0.280.290.300.310.32

步长y（单位：cm）909599m115

55

2xy=150.56

(1)若步频和步长近似为线性相关关系，当m=101时，åxi=0.451，åii，根据表中数据，求出y关于

i=1i=1

x的回归直线方程.

n

åxiyi-nxy

i=1

附：回归直线方程y=bx+a中b=n，a=y-bx

22

åxi-nx

i=1

x,y

(2)记ei=yi-yi=yi-bxi-a，其中yi为观测值，yi为预测值，ei为对应ii的残差，根据表中数据，若得出y

关于x的经验回归方程为y=600x+a，且计算出在样本点0.30,99处的残差为-1.8，求实数m的值.

12．（2025·云南丽江·三模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得

到数据如下：

零件的个数x

2345

（个）

加工的时间y

2.5344.5

（小时）

n

åxiyi-nxy

ˆi=1ˆ

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=n，aˆ=y-bx

22

åxi-nx

i=1

(1)求y关于x的线性回归方程yˆ=bxˆ+aˆ；

(2)求各样本的残差；

(3)试预测加工10个零件需要的时间.

考点二非线性回归

1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）用模型y=lnkx+b去拟合x与y的关系，令z=ey，得到z关于x的回归直线

方程为z=3x+e，则b=（）

A．1B．2C．eD．2e

2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知变量x,y的关系可以用模型y=cekx拟合，设z=lny，其变换后得到一

组数据如下：

x16171819

z50344131

由上表可得线性回归方程zˆ=-5x+aˆ，则c=（）

A．－5B．e-5C．126.5D．e126.5

3．（24-25高二下·江苏南京·期末）用模型y=c×ekx拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设z=lny，其变

换后得到线性回归方程为z=0.5x+1，则c等于（）

A．0.5B．eC．2D．e2

4．（24-25高二下·重庆·期末）某校一个课外学习小组为研究小鸡的成活率y和温度x（单位：℃）的关系，在20

个不同的温度条件下进行实验，由实验数据xi,yii=1,2,×××,20得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为成活率y和温度x的回归方程类型的是

（）

A．y=a+bxB．y=a+bx2C．y=a+bexD．y=a+blnx

5．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）用模型y=kelxk>0去拟合一组数据，设z=lny，将其变换后得到线性

回归方程z=2x+3，则（）

A．l=2B．l=3C．k=e2D．k=e3

6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知随机变量x，y的五组观测数据如下表：

x12345

ye-1.1e1.6ae6.5e9

由表中数据通过模型y=emx+n得到经验回归方程为yˆ=e2.6x-3.8，则实数a的值为．

7．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知x，y之间的一组数据：若y与x满足经验回归方程yˆ=bˆx+aˆ，则

此曲线必过点.

x14916

y12.985.017.01

8．（24-25高二下·内蒙古通辽·阶段练习）红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与

温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x℃的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两

种模型，y=ebx+a，y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所

示的残差图．①②

根据收集到的数据，计算得到如下值：

8888

22

xztåxi-xåti-tåzi-zxi-xåyi-yti-t

i=1i=1i=1i=1

242.964616842268850.470308

1818

z=z2

表中zi=lnyi，åi，ti=xi，t=åti；

8j=18i=1

（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，模型比较合适？

①②

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是．附：对于一组数据w1,v1，w2,v2，…，

n

åwi-wvi-v

ˆˆi=1ˆ

wn,vn，其回归直线vˆ=aˆ+bw的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=n，aˆ=v-bw．

2

åwi-w

i=1

9．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温

度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种

模型y=ebx+a，y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的

残差图①.②

88

121

根据收集到的数据，计算得到如下值：表中zi=lnyi；z=åzi；ti=xi；t=åti；

8i=18i=1

(1)根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)根据（1）中所选择的模型，求出①②y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预

报值.

（参考数据：e5.18»178，e5.46»235，e5.52»250，e5.83»340）

ˆ

附：对于一组数据w1,v1，w2,v2，…，wn,vn，其回归直线vˆ=aˆ+bw的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n

åwi-wvi-v

ˆi=1ˆ

b=n，aˆ=v-bw.

2

åwi-w

i=1

8888

22

xztåxi-xåti-tåzi-zxi-xåyi-yti-t

i=1i=1i=1i=1

252.8964616842268848.4870308

10．（24-25高二下·辽宁·期中）已知s与t及x与y的成对数据如下，且t关于s的回归直线方程为

t=0.55s+0.287，

s0.10.20.30.40.5

t0.360.390.430.500.58

x12345

y4.14.44.85.56.3

(1)求y关于x的回归直线方程；

(2)由散点图发现可以用指数型函数模型y=abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到

0.01）；

(3)又得到一组新数据x=6，y=6.7，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更

好.

参考数据：

5

1.27890.10776

måximiee1.11

i=1

1.60225.1073.5931.1141.870

15

其中mi=lnyi，m=åmi.

5i=1

参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，L，un,vn，

n

åuivi-nuv

i=1

其回归直线方程为v=a+bu，其中b=n，a=v-bu.

22

åui-nu

i=1

11．（24-25高二下·湖南·阶段练习）某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的

xn+1-xnxn-xn-1

年广告费xi（单位：百万元）满足递推关系+=2(n³2)，且x1=1,x2=2，年销售量yi（单位：百

xn-xn-1xn+1-xn

万辆）与年广告费相关．令vi=lnxi(i=1,2,L,5)，经过数据处理得到如下统计量的值：

5555555

222

åyiåviåxi-xåyi-yåvi-våxi-xyi-yåyi-yvi-v

i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1

444.81040.31.61219.58.06

现有模型y=clnx+d作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中c,d均为常数．

(1)求xn；

(2)求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？

(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发

经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量

x影响，设随机变量x服从正态分布N600,s2，且满足P(x>800)=0.3，求该公司年净利润的最大值大于1000

（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）

n

åxi-xyi-y

ˆˆˆˆi=1

附：回归直线y=bx+a,b=n

2

åxi-x

①i=1

参考数据：50.6´2.0240.3´1.612=8.06,403»20.1，ln5»1.6,ln6»1.8．

②

12．（2025·福建泉州·模拟预测）泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自

动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月

的经济收入（单位：百万元）的数据如下表：

月份编号x1234567

收入y（百万元）611213466101196

(1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，y=ax+b与y=c×dx（ab,c,,d均为大于零的常数）哪一个适宜

作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你的判断结果及表

中的数据，求出y关于x的回归方程；

(2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；

(3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？

参考数据：

7777

v0.450.54

åyiåiåxiyiåxivi1010

i=1i=1i=1i=1

46210.78271150.122.823.47

其中设v=lgy，vi=lgyi

n

åxivi-nxv

i=1

参考公式：b=n，a=v-bx.

22

åxi-nx

i=1

13．（2025·山东烟台·三模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某

机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下

数据：

x66.577.58

y1.5234.56.8

(1)若用模型y=blnx+a模拟x与y之间关系，求出回归方程；

(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量；

(3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量

超过预测值的次数为x，求x的数学期望．

55

2

参考数据和公式：ln3»1.1．åxi-xyi-y=6.55，åxi-x=2.5．

i=1i=1

555

2

令lnxi=ui，åui=9.7，åui-uyi-y=0.93，åui-u=0.05．

i=1i=1i=1

ˆ

对于一组数据xi,yii=1,2,3,L,n，其回归直线yˆ=bx+aˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

n

åxi-xyi-y

ˆi=1ˆ

b=n，aˆ=y-bx．

2

åxi-x

i=1

14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类

型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳

定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长．数据显

示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大．下表为2018年-2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中

2018年-2022年对应的代码依次为1-5．

年份代码x12345

中国MCN市场规模y1.121.682.453.354.32

(1)由上表数据可知，可用指数函数模型y=a×bx拟合y与x的关系，

建立y关于x的回归方程；

①预测2025年中国MCN市场规模（单位：百亿元）：

(2)②从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与y的差的绝对值小于1的个数

为X，求X的分布列与期望．

参考数据：

55

y

våxiyiåxivi

i=1i=1

2.580.8446.8315.99

1515

其中vi=lnyi,y=åyi,v=åvi．

5i=15i=1

ˆ

参考公式：对于一组数据u1,v1,u2,v2,¼,un,vn，其回归直线vˆ=aˆ+bu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别

n

åuivi-nuv

ˆi=1ˆ

为b=n,aˆ=v-bu．

22

åui-nu

i=1

参考数据：e2.196=8.99,e2,535=12.61,e2.874=17.71

考点三相关性分析与误差分析

1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）关于样本相关系数，下列说法正确的是（）

A．样本相关系数r-1,1

B．当样本相关系数r<0时，称成对数据成正相关

C．两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1

D．两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1

2．（24-25高二下·山东聊城·期末）某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发

现遗漏了点7,12，增加点7,12后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（）

A．相关系数r变大B．决定系数R2变小

C．残差平方和变小D．x不变

3．（24-25高二下·天津河西·期末）对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（）

A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系

B．图1数据正相关，图2数据负相关

C．图1相关系数r1小于图2相关系数r2

D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0

4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关

系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x（单位：cm）与氮元素

吸收量y（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示：

x9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1

y0.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86

根据表中数据可得x=21.2,y=0.58及经验回归方程为y$=0.025x+a$，则（）

A．a$=-0.05

B．变量y和变量x的样本相关系数r<0

C．当x=14.8时，残差为0

D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加0.025mg

5．（24-25高二下·江西抚州·期末）现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从

这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据xi,yi(i=1,2,L,10)，其中xiyi分别表

示第i个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，x,y分别表示这10个样本的植物覆盖面积

rr

和这种野生动物的数量的平均值，构造向量a=x1-x,x2-x,L,x10-x,b=y1-y,y2-y,L,y10-y，并计算得

101010rr

n

åxi=30,åyi=600,åxiyi=2280,|a|=5,|b|=100，由选择性必修第一册教材中的知识，我们知道对数据的相关

i=1i=1i=1

rr

系数r=cos<a,b>，则上述数据xiyi(i=1,2,L,10)的相关系数r=.

6．（24-25高二下·宁夏银川·期中）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳

定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为y（单位：万亿元），并把

2020—2025年对应的年份代码x依次记为1~6，经分析，判断可用函数模型y=a×ebx拟合y与x的关系（a,b为参

6

2

数）．令zi=lnyi，计算得z»3.357，åzi»68.017，由最小二乘法得经验回归方程为zˆ=0.159x+2.799，为判断

i=1

62

拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和z-z»0.002，则决定系数

zii=1,2,L,6åii

i=1

R2»．

n2

åzi-zi

2i=12

（参考公式：决定系数R=1-n，参考数据：6´3.357»67.617）

2

åzi-z

i=1

7．（24-25高二下·贵州黔西·期末）在线性回归分析模型中，变量x与y相对应的四组数据为(-1,1.5)，(1,0.5)，

(2,0)，(4,-)1，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2=.

nnn

(y-yˆ)2

å(xi-x)(yi-y)åxiyi-nxyåii

ˆi=1i=1ˆ2i=1

附：b=n=n，aˆ=y-bx，R=1-n.

(x-x)2x2-nx22

åiåiå(yi-y)

i=1i=1i=1

8．（2025·上海·模拟预测）已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同

412

学，数学成绩x和物理成绩y的样本线性相关系数为，物理成绩y与化学成绩z的样本线性相关系数为，求

513

x,z的样本线性相关系数的最大值为.

n

åxi-xyi-y

(附:相关系数r=i=1

n2n2

åxi-xåyi-y

i=1i=1

9．（24-25高二下·河北石家庄·期末）一组实验数据如下：

X258911

Y1210887

(1)根据表中数据，计算x，y.

(2)根据表中数据计算样本相关系数r.（保留两位小数）.

(3)由数据用最小二乘法可得线性回归方程为y=-0.56x+12.92，统计学中常用决定系数R2刻画回归效果，例如假设

R2=0.8，就说明响应变量y的差异有80%由解释变量x引起.请计算本题的R2（保留两位小数），并指出本题中响

应变量Y的差异在多大程度上由解释变量X引起.

nn

n2

xi-xyi-yxiyi-nxyy-y

åååi52

r=i=1=i=12i=1

（附：nnnn，R=1-n，yi-y=0.32，

22222å

22y-yi=1

åxi-xåyi-yåxi-nxåyi-nyåi

i=1i=1i=1i=1i=1

2=1.414）

10．（24-25高二下·河北承德·期末）2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破51%，进入“以电为主”的新阶

段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年1-6月份的充电桩日均使用时长y（时）与新能源汽车

保有量x（万辆）及充电桩日均使用率P0（P0=ky,k，为常数）的数据如下表所示：

月份123456

新能源汽车保有量x（万辆）81315182325

充电桩日均使用时长y（时）5710121517

充电桩日均使用率P00.150.210.30.360.450.51

(1)若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使