高考数学一轮复习（培优版） 第三章　3.5　函数中的构造问题

§3.5函数中的构造问题重点解读函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.题型一利用f(x)进行抽象函数构造命题点1构造和差型函数例1(多选)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是()A.f(2)-ln2>f(1)B.f(4)-f(2)>ln2C.f(2)+ln2>f(e)+1D.f(e2)-f(e)>1答案ABD解析构造函数g(x)=f(x)-lnx，x>0，则g'(x)=f'(x)-1x=因为xf'(x)-1>0，所以g'(x)>0，故g(x)是增函数.由g(2)>g(1)得，f(2)-ln2>f(1)-ln1，即f(2)-ln2>f(1)，故A正确；由g(4)>g(2)得，f(4)-ln4>f(2)-ln2，即f(4)-f(2)>ln4-ln2=ln2，故B正确；由g(e)>g(2)得，f(e)-lne>f(2)-ln2，即f(e)+ln2>f(2)+1，故C错误；由g(e2)>g(e)得，f(e2)-lne2>f(e)-lne，即f(e2)-2>f(e)-1，即f(e2)-f(e)>1，故D正确.思维升华此类问题一般将不等式的两端转化为相同形式，然后利用单调性求解.命题点2利用f(x)与xn构造例2(2025·德宏模拟)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)，f'(x)是f(x)的导函数，满足xf'(x)-2f(x)<0，且f(3)=9，则不等式f(3x)-9x<0的解集是()A.(0，1) B.(0，2)C.(-∞，1) D.(1，+∞)答案D解析令g(x)=f(x)则g'(x)=f'(因为x>0，xf'(x)-2f(x)<0，所以g'(x)<0，即g(x)在(0，+∞)上单调递减，由f(3)=9，则g(3)=f(3)3又f(3x)=9xg(3x)，所以不等式f(3x)-9x<0等价于9xg(3x)-9x<0，即g(3x)<1=g(3)，即有3x>3,3x思维升华(1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).(2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(命题点3利用f(x)与enx构造例3已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且f'(x)+2f(x)<0，f(0)=1，则()A.f(-1)<e2 B.f(1)<1C.f

12>1e D.ef(1)>答案B解析令g(x)=e2xf(x)，则g'(x)=e2xf'(x)+2e2xf(x)=e2x[f'(x)+2f(x)]，又f'(x)+2f(x)<0，e2x>0，所以g'(x)<0，即g(x)=e2xf(x)为减函数，因为g(-1)=e-2f(-1)>g(0)=f(0)=1，所以f(-1)>e2，故A错误；因为g(0)=f(0)=1>g(1)=e2f(1)，所以f(1)<1e2，因为g(0)=f(0)=1>g12=ef

所以f

12<1e，因为g12=ef

12>g(1)=e2f(1所以ef(1)<f

12，故D思维升华(1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).(2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(命题点4利用f(x)与sinx，cosx构造例4(2025·南平模拟)已知定义在0，π2上的函数f(x)，f'(x)是f(x)的导函数，且f'(x)<-tanx·f(x)，a=2f

π3，b=2f

π4，c=233f

π6A.b>a>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>b>c答案B解析设g(x)=f(x)则g'(x)=f=f因为当x∈0，π2时，cos且f'(x)<-tanx·f(x)可化为f'(x)+tanx·f(x)<0，所以g'(x)<0，所以函数g(x)在0，因为π6<π4所以gπ6>gπ4>所以fπ6cosπ6>fπ4cosπ4>fπ3cosπ所以c>b>a.思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)=f(x)sinx，F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx；F(x)=fF'(x)=f'F(x)=f(x)cosx，F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx；F(x)=fF'(x)=f'跟踪训练1(1)(2026·毕节模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f'(x)是f(x)的导函数，f(1)=0，当x<0时，xf'(x)+3f(x)>0，则不等式f(x)<0的解集为()A.(-∞，-1)∪(0，1)B.(-1，0)∪(0，1)C.(-∞，-1)∪(1，+∞)D.(-1，0)∪(1，+∞)答案D解析令g(x)=x3f(x)，则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]，由题意知当x<0时，g'(x)>0，故g(x)在(-∞，0)上单调递增，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以g(-x)=(-x)3f(-x)=x3f(x)=g(x)，所以g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，又因为f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0，所以g(1)=g(-1)=0，所以当x∈(-∞，-1)时，g(x)=x3f(x)<0，则f(x)>0；当x∈(-1，0)时，g(x)=x3f(x)>0，则f(x)<0；当x∈(0，1)时，g(x)=x3f(x)>0，则f(x)>0；当x∈(1，+∞)时，g(x)=x3f(x)<0，则f(x)<0.则不等式f(x)<0的解集为(-1，0)∪(1，+∞).(2)(2025·重庆期末)函数f(x)的定义域为R，且f(x)<f'(x)+1，f(0)=3，则不等式f(x)>2ex+1的解集为()A.(-∞，0) B.(0，+∞)C.(-∞，1) D.(1，+∞)答案B解析设g(x)=f则g'(x)=f'(x已知f(x)<f'(x)+1，即f'(x)-f(x)+1>0，而ex>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立.所以函数g(x)在R上单调递增.又f(0)=3，则g(0)=f(0)-1e0=不等式f(x)>2ex+1可变形为f(x)-1>2ex，即f(x)-1ex>2，即g(x)>因为g(x)在R上单调递增，所以x>0.所以不等式f(x)>2ex+1的解集为(0，+∞).题型二构造具体函数例5(1)已知a=ln1.01，b=1.01，c=e0.01则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案A解析易知a=ln1.01<1，c=e0.01>1，构造函数f(x)=ex-(x+1)，求导得f'(x)=ex-1，易知当x≥0时，f'(x)=ex-1≥0，f(x)单调递增，所以f(0.01)=e0.01-(0.01+1)>f(0)=0，所以c>b>1，所以a<b<c.(2)(2025·重庆模拟)已知x=ln32-3，y=ln53-103，z=lnA.x>y>z B.x>z>yC.z>y>x D.z>x>y答案C解析令f(x)=lnx-2x(x>0)则f'(x)=1x-12则当x∈(0，2)时，f'(x)>0，当x∈(2，+∞)时，f'(x)<0，即f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，又x=ln32-3=f

y=ln53-103=fz=ln2-2=f(2)，由32<53<2，故z>y>思维升华通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sinx<x<tanx0<x<π2，ln(x+1)<x(x>0)，lnx≤x-1≤x2-x(x>0)，ex≥x+1，ex≥ex>x跟踪训练2(1)已知a=ln109，b=19，c=eA.a<c<b B.a<b<cC.c<a<b D.b<c<a答案B解析令f(x)=lnx-x+1(x>0)，所以f'(x)=1x-1=当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，所以f

109=ln109-10即ln109<19，所以a因为lnx-x+1≤0，故ex-1≥x，当且仅当x=1时等号成立，故e-89=e19-1>综上可知a<b<c.(2)已知a=e0.05，b=ln1.05+1，c=2021，则(A.b>a>c B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c答案D解析令f(x)=ex-x-1(x>0)，则f'(x)=ex-1>e0-1=0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)>f(0)=e0-0-1=0，则f(0.05)=e0.05-0.05-1=e0.05-1.05>0，故e0.05>1.05，f(ln1.05)=1.05-ln1.05-1>0，故1.05>ln1.05+1，故有e0.05>ln1.05+1>1>20即a>b>c.课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.设a=ln22，b=ln323，c=1e，则a，A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b答案B解析设f(x)=lnxx(x>0则f'(x)=1-lnx令f'(x)>0得0<x<e，所以函数f(x)在区间(0，e)上单调递增.因为3<2<e，所以f(3)<f(2)<f(e)，即ln33<ln2即ln323<ln2所以b<a<c.2.已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx-f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)>2f

π6sinx的解集为(A.0，π3C.π3，π答案B解析令函数g(x)=f(x)sinx，x∈则g'(x)=f'(因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2f

π6sinx⇔f(即g(x)>gπ6，解得0<x所以原不等式的解集为0，3.已知a=0.1，b=ln1.1，c=ln1.2-0.1，则()A.b>c>a B.c>a>bC.a>c>b D.a>b>c答案D解析令函数f(x)=ln(1+x)-x，x>0，求导得f'(x)=11+x-1<0，所以函数f(x)在(0，+∞f(x)<f(0)=0，即当x>0时，ln(1+x)<x，则ln1.1<0.1，f(0.2)<f(0.1)，即ln1.2-0.2<ln1.1-0.1，即ln1.2-0.1<ln1.1，所以a>b>c.4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，则不等式(x-2026)2f(x-2026)-f(-1)<0的解集为()A.(-∞，2025)B.(2025，2027)C.(-∞，2025)∪(2027，+∞)D.(-∞，2025)∪(2026，+∞)答案C解析令F(x)=x2f(x)，则F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]，当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，所以当x<0时，F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0，即F(x)在(-∞，0)上单调递增，由题意知f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以F(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，所以F(x-2026)=(x-2026)2f(x-2026)，F(-1)=(-1)2f(-1)=f(-1)，即不等式(x-2026)2f(x-2026)-f(-1)<0等价为F(x-2026)<F(-1)，所以|x-2026|>1，解得x<2025或x>2027，所以不等式(x-2026)2f(x-2026)-f(-1)<0的解集为(-∞，2025)∪(2027，+∞).5.设f'(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，f(x)-f'(x)-2ex<0(e为自然对数的底数)，且f(2)=-4e2，则不等式f(x)>-2xex的解集为()A.(2，+∞) B.(-∞，-2)C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-2，0)∪(2，+∞)答案A解析设g(x)=f(x)ex+2x，则g'(x∵f(x)-f'(x)-2ex<0，∴f'(x)-f(x)+2ex>0，即g'(x)>0，∴函数g(x)是R上的增函数，又f(2)=-4e2，∴g(2)=f(2)e2+4=由f(x)>-2xex，可得f(x)ex+2x>0，即g(x)>0=又函数g(x)是R上的增函数，∴x>2，即不等式的解集为(2，+∞).6.计算器计算ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)0！(x-x0)0+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+f(3)(x0)3！(x-x0)3+…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f

(3)A.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.88答案B解析根据题意，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f″(x)=-sinx，f(3)(x)=-cosx，…，当x0=0时，可得f(x)=f(0)0！x0+f'(0)1！x+f″(0)则f(x)=sinx=0×x0+1×x+0×x2+(-1)×13！x3+0×x4+1×15！=x-16x3+1120x5+令x=1，代入上式可得f(1)=sin1=1-16+1120+…=101120+…≈0所以sin1≈0.84.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是()A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0)C.2f(ln2)<ef(1) D.2f(ln2)>ef(1)答案BC解析令g(x)=exf(x)，所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A错误，B正确；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正确，D错误.8.若f(x)满足xf'(x)-f(x)>x2sinx，△ABC的内角A为钝角，则下列选项正确的是()A.cosC·f(sinB)<sinB·f(cosC)B.cosC·f(sinB)>sinB·f(cosC)C.cosB·f(sinC)<sinC·f(cosB)D.cosB·f(sinC)>sinC·f(cosB)答案AC解析xf'(x)-f(x)>x2sinx，即当x≠0时，有xf'(x当x∈0，π2时，sin所以当x∈0，π2时，xf令F(x)=f(x)则F'(x)=xf'所以F(x)在0，π因为在△ABC中，角A为钝角，所以0<B+C<π即0<B<π2-C<所以0<sinB<sinπ2-C=cos所以F(sinB)<F(cosC)，即f(sinB即cosC·f(sinB)<sinB·f(cosC)，故A正确，B不正确；同理，由0<B+C<π2可得0<C<π2-B所以0<sinC<sinπ2-B=cos所以F(sinC)<F(cosB)，即f(sinC即cosB·f(sinC)<sinC·f(cosB)，故C正确，D不正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·黄山模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，g(x)=ex+3f(x+3)是偶函数，