高考数学一轮复习（培优版） 第八章　8.18　阿基米德三角形

§8.18阿基米德三角形重点解读在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿基米德三角形问题，它包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.题型一抛物线的切线方程与切点弦方程抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.例1(1)(多选)下列选项正确的是()A.过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0)B.过抛物线x2=-2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=-p(y+y0)C.过抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y=p(x+x0)D.过抛物线y2=-2px(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y=-p(x-x0)答案ABC解析仅以选项A为例给出证明，同理可证其余三种情形.方法一设抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y-y0=k(x-x0)，代入x2=2py，整理得x2-2pkx-2py0+2pkx0=0，由Δx=0，得4p2k2+4(2py0-2pkx0)=0，∴pk2-2x0k+2y0=0，∵抛物线上一点处的切线唯一，∴关于k的一元二次方程pk2-2x0k+2y0=0有两个相等的实数根，∴k=x∴所求的切线方程为y-y0=x0p(x-x0即x0x=x02+py-py又x02=2py∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).方法二y=x22p由导数的几何意义得所求切线的斜率为k=x∴所求的切线方程为y-y0=x0p(x-x0即x0x=x02+py-py又x02=2py∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).(2)过抛物线x2=2py(p>0)外一点C(x0，y0)向抛物线引两条切线，设两切点分别为点A，B，则过点A，B的直线方程为.

答案x0x=p(y+y0)解析设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知在点A处的切线方程为x1x=p(y+y1)，在点B处的切线方程为x2x=p(y+y2)，因为点C(x0，y0)在两条切线上，所以x即可认为(x1，y1)，(x2，y2)是x0x=p(y0+y)的两组解，即A，B在直线x0x=p(y+y0)上，又因为两点确定一条直线，所以过点A，B的直线方程为x0x=p(y+y0).思维升华在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以y0y替换y2，以x0+x2替换x，以y0跟踪训练1已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB答案0解析方法一设Dt，-12，A(x1则x12=2y由于y'=x，所以切线DA的斜率为x1，故y1+12整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点0，方法二设Dx0，-12，由切点弦的方程可知，直线AB的方程为y所以直线AB过定点0，题型二阿基米德三角形的性质例2(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是()A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p答案ABC解析对于A，由蒙日圆的定义知A正确；对于B，过点A的切线方程为y1y=p(x+x1)，①过点B的切线方程为y2y=p(x+x2)，②又y联立①②③④，解得两切线交点Qy又Mx∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；对于C，设Q(x0，y0)，则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，又直线AB经过焦点Fp∴0=pp2+x0，∴x对于D，若底边AB过焦点，则Q点的轨迹方程是x=-p易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，∴|QM|=x1+x22+p2=y12+y224p+p2≥2|y∴S△QAB=12|QM||y1-y2≥|QM|·|y1y2当且仅当y1=-y2时，等号成立，∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.思维升华阿基米德三角形的常见性质(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a3(6)若抛物线为y2=2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为y1推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.跟踪训练2若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.若直线l的方程为ax+by+c=0，抛物线方程为y2=2px(p>0)，则定点的坐标为.

答案c解析任取直线l：ax+by+c=0上的一点Q(x0，y0)，则有ax0+by0+c=0，即y0=-abx0-c过点Q作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为y0y=p(x0+x)，把①式代入可得-abx0-cby=p即-aby-px0=令-ab可得弦AB所在的直线过定点ca课时精练[分值：34分]1.(17分)如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12(1)求p的值；(7分)(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).(10分)解(1)因为抛物线C1：x2=4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y'=x且当x0=1-2时，切线MA的斜率为-1所以A点坐标为-1故切线MA的方程为y=-12(x+1)+1因为点M(1-2，y0)在切线MA及抛物线C2上，所以y0=-12(2-2)+14y0=-(1-2)22由①②得p=2.(2)设N(x，y)，Ax1，x124，B由N为线段AB中点，知x=x1y=x12切线MA，MB的方程为y=x12(x-x1)+y=x22(x-x2)+由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)，即x0=x1+x22因为点M(x0，y0)在C2上，即x02=-4y所以x1x2=-x1由③④⑦得x2=43y，x≠0当x1=x2时，A，B重合于原点O，AB的中点N(0，0)满足x2=43y因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y2.(17分)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(3分)(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.(14分)解(1)由题意知M(0，-4)，F0圆M的半径r=1，所以|MF|-r=4，即p2+4-1=4，解得p=2(2)方法一抛物线C的方程为x2=4y，即y=x24，求导得设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线PA的方程为y-y1=x12(x-x1即x1x-2y1-2y=0，同理可知，直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0，由于点P为这两条直线的公共点，则x所以点A，B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0，又两点确定一条直线，所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0，联立x可得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4(x02-4y0)则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，所以|AB|=1+x0=(点P到直线AB的距离为d=|所以S△PAB=12|=12(=12(x0又x02-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-y02-12y0-15=-(y0+6由已知得-5≤y0≤-3，所以当y0=-5时，△PAB的面积取得最大值为12×2032方法二由(1)知，抛物线方程为x2=4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设Ax1，x124，Bx2，联立y=kx+b,x2=4y,消去y得则Δ=16k2+16b>0，(※)x1+x2=4k，x1x2=-4b，所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x因为x2=4y，即y=x所以y'=x则抛物线在点A处的切线的斜率为x12，在点A处的切线方程为y-x124=x1即y=x12x同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x22x联立y=x即P(