高考数学一轮复习（培优版） 第八章　必刷大题17　解析几何

必刷大题17解析几何[分值：60分]1.(13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，(1)求椭圆的方程；(5分)(2)过点H(0，1)且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点，求|AB|和△ABN的面积.(8分)解(1)由椭圆的右顶点N(2，0)，可得a=2，又e=ca=22，所以所以b2=a2-c2=4-2=2，所以椭圆的方程为x24+y(2)因为直线l过点H(0，1)且倾斜角为45°，所以直线l的方程为y=x+1.由y=x+1,x24+设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-43，x1x2由弦长公式得|AB|=1+=2×-432-4×-又点N到直线l的距离d=|2-0+1|所以S△ABN=12×453×32.(15分)已知动圆过定点(1，0)且与直线x=-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹E的方程；(3分)(2)过点H(1，1)分别作斜率为1m，1n的直线l1，l2，若l1与E交于A，B，l2与E交于C，D，设M，N分别为线段AB，CD的中点，证明：直线MN过定点(0，2)的充要条件是1m+1n(1)解设动圆圆心为(x，y)，依题意得(x-1)2+y2=|x+1|所以动圆圆心的轨迹E的方程为y2=4x.(2)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知直线AB：x-1=m(y-1)，即x=my-m+1，联立x得y2-4my+4m-4=0，Δ=16(m2-m+1)>0，则y1+y2=4m，y1y2=4m-4，故yM=y1+y22=2m，xM=2m即M(2m2-m+1，2m).由直线AB，CD的交点为H(1，1)，可知直线MN的斜率存在，故设直线MN：y=kx+b，则2m=k(2m2-m+1)+b，即2km2-(k+2)m+k+b=0，由题知直线CD：x-1=n(y-1)，同理可得2kn2-(k+2)n+k+b=0，故m，n是关于x的方程2kx2-(k+2)x+k+b=0的两个不同的根，所以k≠0，m+n=k+22k，充分性：若1m+1n即m+n=mn，解得b=2，则直线MN：y=kx+2，所以直线MN过定点(0，2)，充分性成立；必要性：若直线MN过定点(0，2)，则b=2，m+n=mn，1m+1n=1故直线MN过定点(0，2)的充要条件是1m+1n3.(15分)已知圆O：x2+y2=1，将圆O各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，设曲线C与y轴正半轴交于A点，点P在曲线C上.(1)求曲线C的方程及|AP|的最大值；(6分)(2)设曲线C与x轴正半轴交于点B，若线段OP与线段AB交于点M，|OP|≤t|OM|(t∈R)恒成立，求实数t的最小值.(9分)解(1)设曲线C上任意一点为(x，y)，对应圆O上的点为(x0，y0)，则有x=2x代入x02+y02=1，得x2所以曲线C的方程为x24+y2所以A(0，1).设点P(m，n)，所以m24+n2所以|AP|=m2+(n-1)2又-1≤n≤1，所以当n=-13时，|AP|max=163所以|AP|的最大值为43(2)由(1)可得，直线OP的方程为nx-my=0，又A(0，1)，B(2，0)，所以直线AB的方程为x+2y=2，联立nx-my即M2所以|OP|=m|OM|=2mm由|OP|≤t|OM|有m2+n即t≥m又因为m≥0，n≥0，所以t≥m2+n，即t≥又m24+n2=1，所以m2+n≤2m24+n22=2，即m=2，n=22时，所以t≥2，即实数t的最小值为24.(17分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，|AB|=2(1)求双曲线C的标准方程；(3分)(2)过左焦点F的直线l交双曲线C左、右两支于N，M两点(点M位于第一象限)，直线AM与BN相交于点T.①求证：点T在定直线上；(6分)②求证：射线FT平分∠MFB.(8分)(1)解由题意，设左焦点F的坐标为(-c，0)，因为双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，a2+b2=c2，所以左焦点F到其中一条渐近线的距离为|b·(-c)|a2+b2又因为|AB|=2a=2，解得a=1，故双曲线C的标准方程为x2-y23(2)证明由(1)知F(-2，0)，A(-1，0)，B(1，0)，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my-2mM(x1，y1)，N(x2，y2)，联立x得(3m2-1)y2-12my+9=0，Δ=(-12m)2-4×9(3m2-1)=36m2+36>0，所以y1+y2=12m3m2-1，y1y2故my1y2=34(y1+y2)①因为直线AM的方程为y=y1x1+1(直线BN的方程为y=y2x2-1(联立可得y1x1+1(x+1)=y2所以x+1x-1==my1y2-y则x=-12，即点T在定直线x=-1②由①知T-其中x12-y123=