《第1课时相似三角形判定的基本定理》练习题

《第1课时相似三角形判定的基本定理》练习题同学们，在《相似三角形判定的基本定理》这一课时中，我们已经初步接触了相似三角形判定的核心思想——平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。这一定理是后续学习更复杂相似判定定理的基础，其重要性不言而喻。今天，我们通过一些练习题来加深对这一基本定理的理解与应用，希望大家能在实践中巩固知识，掌握方法。---一、基础知识回顾与理解在开始练习之前，我们简要回顾一下本课时的核心内容：*相似三角形判定的基本定理（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。*图形语言：若DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E（或交AB、AC的延长线于点D、E），则△ADE∽△ABC。*符号语言：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。*核心要义：由“平行”得到“相似”。找准平行线，以及由此构成的新三角形和原三角形是关键。---二、例题解析与方法指导例1：如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，DB=3cm，AE=1.8cm，求EC的长。(图1：一个三角形ABC，底边BC水平，点D在AB上，靠近A点，AD=2cm，DB=3cm；点E在AC上，AE=1.8cm，DE连接并平行于BC。)分析：题目中明确给出了DE∥BC，这是应用基本定理的显著标志。根据定理，△ADE与△ABC相似。相似三角形的对应边成比例，这是我们列方程求解未知线段长度的依据。解答：∵DE∥BC（已知）∴△ADE∽△ABC（相似三角形判定的基本定理）∴AD/AB=AE/AC（相似三角形对应边成比例）设EC=xcm，则AC=AE+EC=(1.8+x)cm。AB=AD+DB=2+3=5cm。代入比例式：2/5=1.8/(1.8+x)交叉相乘得：2(1.8+x)=5×1.83.6+2x=92x=9-3.62x=5.4x=2.7故EC的长为2.7cm。方法提炼：遇到有平行线平行于三角形一边的条件时，首先想到基本定理，得到相似三角形。然后准确找出对应边，列出比例式，通过解方程求出未知量。注意对应边的确认，通常是小三角形的边与大三角形的对应边相比。---三、基础巩固练习练习1：如图2，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。若AD=3，AB=7，AE=4，求AC的长。(图2：与图1类似，△ABC，DE∥BC，AD=3，AB=7，AE=4，求AC。)练习2：如图3，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F。若AB=2，BC=3，DE=4，求EF的长。（提示：可构造三角形，利用基本定理的推论，即平行线分线段成比例定理。）(图3：三条水平平行线l1,l2,l3，两条斜直线a和b分别与它们相交于A,B,C和D,E,F。A在l1与a交点，B在l2与a交点，C在l3与a交点；D在l1与b交点，E在l2与b交点，F在l3与b交点。)练习3：判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)平行于三角形的一边的直线，必截得一个与原三角形相似的小三角形。(2)若DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC相似，且相似比为1:2。---四、能力提升与拓展练习4：如图4，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB。求证：△ADE∽△EFC。(图4：△ABC，DE∥BC交AB于D，AC于E；EF∥AB交BC于F，AC于E。即D在AB，E在AC，F在BC，形成ADEF平行四边形。)分析：要证△ADE∽△EFC，我们需要找到合适的相似条件。题目中有两组平行线，DE∥BC和EF∥AB。我们可以利用平行线的性质得到角相等，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”来证明。或者，也可以通过基本定理分别得到△ADE与△ABC相似，△EFC与△ABC相似，再根据相似的传递性得到结论。练习5：如图5，在△ABC中，DE∥BC，若AD:DB=2:3，且S△ADE=4，求S△ABC的值。（提示：相似三角形面积比等于相似比的平方）(图5：△ABC，DE∥BC，AD:DB=2:3，S△ADE=4，求S△ABC。)---五、综合应用与思考思考题：如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1单位/秒；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2单位/秒。设运动时间为t秒（0<t<4）。过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接DQ。请问在P、Q运动过程中，△ADP与△QDB能否相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。(图6：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8。P在AC上从A向C运动，Q在BC上从C向B运动。PD∥BC交AB于D。)提示：这是一道动态几何问题，需要用含t的代数式表示出相关线段的长度。利用PD∥BC，可由基本定理得到△ADP与△ABC相似，从而表示出AD、PD等。再分析△ADP与△QDB相似的条件，注意对应顶点的不同情况。---六、解题反思与总结通过以上练习，我们对相似三角形判定的基本定理有了更深入的理解和应用。在解题过程中，我们要：1.敏锐捕捉“平行”信号：题目中出现“平行于三角形一边的直线”是应用基本定理的“黄金提示”。2.准确找到相似三角形：明确哪两个三角形相似，通常是由平行线截得的小三角形与原三角形。3.熟练运用比例性质：相似三角形对应边成比例，这是列方程求解的核心工具。注意比例式的变形和计算的准确性。4.结合图形进行分析：几何问题离不开图形，要学会观察图形，从图形中获