新人教版高中数学必修第一册 5.5　5.5.1　第1课时　两角差的余弦公式 教案

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式(教师独具内容)课程标准：1.能通过三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式；经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行化简、求值．教学重点：两角差的余弦公式的推导与应用．教学难点：两角差的余弦公式的推导过程．核心素养：1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养.2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理和数学运算素养.知识点两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝eq\x(\s\up1(01))cosαcosβ＋sinαsinβ适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为eq\x(\s\up1(02))同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号eq\x(\s\up1(03))相反对公式C(α－β)的几点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦、右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq\f(α＋β,2)”相当于公式中的角α，“eq\f(α－β,2)”相当于公式中的角β.(3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．(4)角变换后使用cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(5)移项使用cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ；sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ.(6)特殊化使用导出诱导公式coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝coseq\f(π,2)cosα＋sineq\f(π,2)sinα＝sinα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)sin12°cos18°＋sin78°cos72°＝()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)(2)cos(－15°)的值是()A.eq\f(\r(6)－\r(2),2) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)(3)若sinαsinβ＝m，cosαcosβ＝n，则cos(α－β)＝________.(4)化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为________.答案(1)B(2)D(3)n＋m(4)eq\f(1,2)题型一直接利用公式求值例1化简、求值：(1)cos75°；(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.[解](1)cos75°＝cos(120°－45°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45°＝－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).(2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(3)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.利用公式C(α－β)求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式求含有非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地正用公式或逆用公式求值．[跟踪训练1]计算下列各式的值：(1)coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)；(2)cos56°cos26°＋sin56°sin26°；(3)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．解(1)coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)＝coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋sineq\f(5π,12)sineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(2)cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(3)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).题型二给值求值例2(1)已知sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，则cos(α－β)＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cosα的值．[解析](1)因为sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))2.①因为cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2.②①②两式相加，得1－2cos(α－β)＋1＝1－eq\r(3)＋eq\f(3,4)＋eq\f(1,4).所以－2cos(α－β)＝－eq\r(3)，所以cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2).故选D.(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq\f(π,3)＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).∵α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq\f(π,3)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))coseq\f(π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sineq\f(π,3)＝－eq\f(5,13)×eq\f(1,2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(12\r(3)－5,26).[答案](1)D(2)见解析[条件探究]将本例(2)的条件改为“sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)”，如何解答？解∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[跟踪训练2]已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值．解因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)).所以cos(α＋β)＝eq\r(1－sin2α＋β)＝eq\f(4,5).又β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65).题型三给值求角例3已知sin(π－α)＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，0<β<α<eq\f(π,2)，求角β的大小．[解]因为sin(π－α)＝eq\f(4\r(3),7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7).因为0<α<eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(1,7).由0<β<α<eq\f(π,2)，得0<α－β<eq\f(π,2).因为cos(α－β)＝eq\f(13,14)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\f(3\r(3),14).cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).由0<β<eq\f(π,2)，知β＝eq\f(π,3).[条件探究]若本例变为：已知cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，且α，β均为锐角，求β的值．解∵α为锐角且cosα＝eq\f(1,7)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\f(4\r(3),7).又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．又sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)<sinα，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).∴cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),14)))2)＝－eq\f(11,14).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).又β为锐角，∴β＝eq\f(π,3).给值求角问题的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．[跟踪训练3]若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，且α，β均为锐角，α<β，求α＋β的值．解因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，α<β，所以－eq\f(π,2)<α－β<0.又cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，所以sin(α－β)＝－eq\r(1－cos2α－β)＝－eq\f(2\r(5),5).又因为0<2α<π，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，所以sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2).又0<α＋β<π，故α＋β＝eq\f(3π,4).1．cos155°cos35°＋sin155°sin35°等于()A．cos190° B．sin100°C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)答案C解析原式＝cos(155°－35°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).2．若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝()A.eq\f(8,3) B．－eq\f(8,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案A解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3).3．(多选)满足cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ的一组α，β的值可能是()A．α＝eq\f(13π,12)，β＝eq\f(3π,4) B．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,3)C．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(2π,3) D．α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,4)答案BC解析∵cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)，即cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2)，∴α－β＝eq\f(π,6)＋2kπ或α－β＝－eq\f(π,6)＋2kπ，其中k∈Z.结合选项，可知B，C中α，β的值符合条件．故选BC.4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝eq\f(12,13)，sinβ＝－eq\f(3,5)，则cos(α－β)的值为________.答案－eq\f(63,65)解析∵α为锐角，cosα＝eq\f(12,13)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(5,13).∵β为第三象限角，sinβ＝－eq\f(3,5)，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(4,5)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(63,65).5．(1)已知sinθ＝eq\f(1,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))；(2)已知α，β均为锐角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．解(1)因为sinθ＝eq\f(1,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－\f(1,25))＝－eq\f(2\r(6),5).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝cosθcoseq\f(π,3)＋sinθsineq\f(π,3)＝－eq\f(2\r(6),5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)－2\r(6),10).(2)因为α，β均为锐角，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又sinα<sinβ，所以0<α<β<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)<α－β<0.故α－β＝－eq\f(π,4).一、选择题1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于()A.eq\f(7,5) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5) D．－eq\f(1,5)答案A解析eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)＋sinαsin\f(π,4)))＝cosα＋sinα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).2．若cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝0，则x的值可能是()A.eq\f(π,10) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,5) D．eq\f(π,4)答案B解析因为cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝cos5xcos2x＋sin5xsin2x＝cos(5x－2x)＝cos3x＝0，所以3x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即x＝eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，所以当k＝0时，x＝eq\f(π,6).3．函数f(x)＝cos2xcoseq\f(π,5)－sin2xsineq\f(6π,5)的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,10)，kπ＋\f(3π,5)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,20)，kπ＋\f(7π,20)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,10)，2kπ＋\f(3π,5)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(2π,5)，kπ＋\f(π,10)))(k∈Z)答案D解析f(x)＝cos2xcoseq\f(π,5)－sin2xsineq\f(6π,5)＝cos2xcoseq\f(π,5)＋sin2xsineq\f(π,5)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5))).由2kπ－π≤2x－eq\f(π,5)≤2kπ，k∈Z，得该函数的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(2π,5)，kπ＋\f(π,10)))(k∈Z)．4.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中直角三角形的两个锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，则cos(α－β)的值为()A.eq\f(5,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(2,3) D．0答案A解析设大的正方形的边长为1，由小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为eq\f(2,3)，则cosα－sinα＝eq\f(2,3)①，sinβ－cosβ＝eq\f(2,3)②，由题图可知，cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，由①×②可得eq\f(4,9)＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝eq\f(5,9).5．(多选)已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是()A．cos(β－α)＝eq\f(1,2) B．cos(β－α)＝－eq\f(1,2)C．β－α＝eq\f(π,3) D．β－α＝－eq\f(π,3)答案AC解析由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，cos(β－α)＝eq\f(1,2).故A正确．∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α.∴β－α＝eq\f(π,3)，C正确．二、填空题6.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是________.答案eq\r(3)解析原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)sin70°,sin70°)＝eq\r(3).7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则cosα＝________.答案eq\f(3,5)解析由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，可知α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),10)，cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,5).8．已知△ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(2,3)，则sinB＝________，cosA＝________.答案eq\f(\r(5),3)eq\f(6＋4\r(5),15)解析在△ABC中，因为cosB＝－eq\f(2,3)<0，所以B为钝角，则sinB＝eq\f(\r(5),3)，所以A＋B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，由sin(A＋B)＝eq\f(4,5)，得cos(A＋B)＝－eq\f(3,5)，所以cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝－eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(6＋4\r(5),15).三、解答题9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．(1)如果A，B两点的纵坐标分别为eq\f(4,5)，eq\f(12,13)，求cosα和sinβ；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．解(1)由题意可得A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)，\f(12,13)))，由任意角的三角函数的定义可得，cosα＝eq\f(3,5)，sinβ＝eq\f(12,13).(2)由以上还可得到sinα＝eq\f(4,5)，cosβ＝－eq\f(5,13)，由两角差的余弦公式可得cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝－eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).10．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(12,13)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求coseq\f(α＋β,2)的值．解∵eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)，0<eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2).∴eq\f(π,4)<α－eq\f(β,2)<π，－eq\f(π,4)<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2)，eq\f(π,4)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(3π,4).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(12,13)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(5,13).∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝－eq\f(15,65)＋eq\f(48,65)＝eq\f(33,65).1．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A．－eq\f(2\r(3),3) B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±1答案C解析cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.2．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝eq\f(\r(3),2)，其中eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,4)<β<eq\f(π,2)，则α＋β＝________.答案eq\f(5π,6)解析因为eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－α<0.因为eq\f(π,4)<β<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋β<eq\f(3π,4).由已知可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(3),2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝－eq\f(1,2).则cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(\r(3),2).因为eq\f(π,2)<α＋β<π，所以α＋β＝eq\f(5π,6).3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝________.答案－eq\f(7,9)解析因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sinβ＝sinα＝eq\f(1,3)，cosβ