新人教版高中数学必修第一册 1.1　集合的概念 教案

(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法)．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合．核心素养：通过集合概念的学习逐步形成数学抽象素养，借助集合的表示方法及集合中元素的特性的学习培养逻辑推理和数学运算素养.知识点一元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把eq\x(\s\up1(01))研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些eq\x(\s\up1(02))元素组成的总体叫做集合，简称为eq\x(\s\up1(03))集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：构成两个集合的元素是eq\x(\s\up1(04))一样的．(4)集合中元素的特性：eq\x(\s\up1(05))确定性、互异性和无序性．知识点二元素与集合的关系及常用数集(1)如果a是集合A的元素，就说aeq\x(\s\up1(01))属于集合A，记作aeq\x(\s\up1(02))∈A；如果a不是集合A中的元素，就说aeq\x(\s\up1(03))不属于集合A，记作aeq\x(\s\up1(04))∉A.(2)数学中一些常用的数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号eq\x(\s\up1(05))Neq\x(\s\up1(06))N*或N＋eq\x(\s\up1(07))Zeq\x(\s\up1(08))Qeq\x(\s\up1(09))R知识点三集合的表示方法对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法：方法含义优点缺点列举法把集合的所有元素eq\x(\s\up1(01))一一列举出来，并用eq\x(\s\up1(02))花括号“{'}”括起来表示集合的方法方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数eq\x(\s\up1(03))较少的集合不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有eq\x(\s\up1(04))共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为eq\x(\s\up1(05)){x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示eq\x(\s\up1(06))无限集或元素个数eq\x(\s\up1(07))较多的集合不易看出集合中的具体元素1．集合中元素的三个特性特性含义示例确定性作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了若用集合A表示中国各省的省会，则郑州属于A，洛阳不属于A互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算该集合的一个元素若实数a，b是集合A中的两个元素，则a≠b无序性构成集合的元素间无先后顺序之分1,0和0,1构成的是同一个集合2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的四点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)漂亮的花可以组成集合．()(2)元素1,3,5与元素5,1,3组成的集合相等．()(3)由方程x2－1＝0与x－1＝0的根组成的集合中有三个不同的元素．()(4)方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,2}．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(1)已知集合M由小于5的数构成，则有()A．3∈M B．－3∉MC．0∉M D．7∈M(2)方程x2＝4的解集用列举法表示为()A．{(－2,2)} B．{－2,2}C．(－2,2) D．{－2}(3)若B＝{x|x2＝x}，则2________B(填“∈”或“∉”)．(4)集合A＝{x∈Z|－2<x≤2}的元素个数为________.答案(1)A(2)B(3)∉(4)4题型一元素与集合的相关概念例1(1)以下元素的全体不能构成集合的是()A．中国古代四大发明B．周长为10cm的三角形C．方程x2－1＝0的实数解D．地球上的小河流(2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________.[解析](1)“小河流”无明确的标准，因此地球上的小河流不能构成集合，其余三项标准明确，均能构成集合．故选D.(2)由集合相等的定义知a2＝4，所以a＝2或a＝－2，经检验知符合题意．[答案](1)D(2)－2或21．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．(2)任何两个对象都是不同的．2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素完全相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．[跟踪训练1](1)下列各组对象可以构成集合的是()A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数(2)集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为________，y的值为________.答案(1)B(2)10解析(1)A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.(2)因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意．综上可知，x＝1，y＝0.题型二元素与集合的关系例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②eq\r(2)∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0[解析](1)①π是实数，所以π∈R正确；②eq\r(2)是无理数，所以eq\r(2)∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.[答案](1)B(2)B判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[跟踪训练2](1)如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋beq\r(2)(a，b∈Q)，则下列元素中属于集合M的是________.①x＝0；②x＝eq\r(2)；③x＝3－2eq\r(2)π；④x＝eq\f(1,3－2\r(2))；⑤x＝eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2)).(2)集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.答案(1)①②④⑤(2)0,1,2解析(1)①当a＝b＝0时，x＝0，①属于；②当a＝0，b＝1时，x＝eq\r(2)，②属于；③当a＝3，b＝－2π时，b∉Q，x＝3－2eq\r(2)π∉M，③不属于；④当a＝3，b＝2时，x＝3＋2eq\r(2)＝eq\f(1,3－2\r(2))，④属于；⑤x＝eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2))＝2－eq\r(2)＋2＋eq\r(2)＝4，当a＝4，b＝0时，x＝4，⑤属于．(2)∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.题型三集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．[解]由题意可知，a＝1或a2＝a.(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.[条件探究]本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．解由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.(1)根据集合中元素的确定性可以解出集合中字母的所有可能的值或范围，再对集合中的元素进行检验，从而判断是否满足集合中元素的互异性．(2)在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．[跟踪训练3]已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．解若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.题型四集合的表示方法例4用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；(3)不等式x－2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(5)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝5))的解集．[解](1)由x(x2＋2x＋1)＝0得x＝0或x2＋2x＋1＝0，即x＝0或x＝－1.记方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集为A，则A＝{－1,0}．(2)记在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合为B，则B＝{x|x＝2n＋1，且x<1000，n∈N}．(3)记不等式x－2>6的解的集合为C，则C＝{x|x>8}．(4)记大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合为D，则D＝{1,2,3,4,5,6}．(5)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1.))记方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝5))的解集为E，则E＝{(4，－1)}．(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．[跟踪训练4]用适当的方法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；(3)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(4)不等式2x－3<5的解组成的集合；(5)3和4的所有正的公倍数构成的集合．解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以不大于10的非负偶数组成的集合可表示为{0,2,4,6,8,10}．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝－2x＋6，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1,4)，所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合可表示为{(1,4)}．(3)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(4)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．(5)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合可表示为{x|x＝12n，n∈N*}．1．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．eq\r(3)的近似值的全体D．某校体重超过130斤的同学的全体答案C解析A项，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合；B项，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合；C项，元素不具有确定性，不能构成一个集合；D项，同学的体重具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合，故选C.2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}答案D解析由题意可知，满足题设条件的只有选项D.3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－3，,y＝－2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________答案0或－1解析∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合综上所述，a＝0或a＝－1.5．用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y＝2x－3图象上所有点的集合；(4)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集．解(1)用列举法表示为{－2,0,2}．(2)用描述法表示为{m|m＝3n＋1，n∈N}．(3)用描述法表示为{(x，y)|y＝2x－3}．(4)用列举法表示为{(0,1)}．一、选择题1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14 B．－5C．eq\r(7) D．eq\f(3,7)答案C解析由题意知a应为无理数，故a可以为eq\r(7).2．已知集合Q中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．等腰三角形C．钝角三角形 D．直角三角形答案B解析因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．把集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法表示为()A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4}C．{x2－3x－4＝0} D．{－1,4}答案D解析解方程x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，所以集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法可表示为{－1,4}．4．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是()A．(－5,4) B．(5，－4)C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}答案D解析解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集为{(5，－4)}．5．(多选)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中元素的是()A．(1,2) B．(3,4)C．(5,4) D．(3,2)答案CD解析因为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，因为C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)．故选CD.二、填空题6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.答案2解析由x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，故集合A中的元素为－1和3，所以a＋b＝2.7．集合{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}用列举法可表示为________.答案{(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}解析由x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝±2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±2，,y＝0，))故有元素(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)，共4个．则用列举法可表示为{(0,2)，(0，－2)，(2,0)，(－2,0)}．8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.答案{1,3}解析由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x三、解答题9．已知集合A中含有三个元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求解因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，所以a＝－1或a＝－eq\f(3,2).当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以当a＝－eq\f(3,2)时，经检验，符合题意，所以a＝－eq\f(3,2).10．用适当的方法表示下列集合．(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合；(2)方程eq\r(2x＋1)＋|y－2|＝0的解集．解(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12,21,13,31,23,32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}．(2)由eq\r(2x＋1)＋|y－2|＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,y－2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝2，))所以方程eq\r(2x＋1)＋|y－2|＝0的解集用描述法可表示为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝2)))))).1．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所组成的集合，最多含元素()A．2个 B．3个C．4个 D．5个答案A解析当x>0时，x＝|x|＝eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)＝－x<0，此时集合共有2个元素；当x＝0时，x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)＝－x＝0，此时集合共有1个元素；当x<0时，eq\r(x2)＝|x|＝－eq\r(3,x3)＝－x，此时集合共有2个元素．综上，此集合最多有2个元素．2．定义A⊗B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z|z＝x·y＋\f(x,y)，x∈A，y∈B))，若A＝{0,2}，B＝{1,2}，则A⊗B中所有元素的和为()A．1 B．2C．9 D．18答案C解析由A⊗B的定义知，当x＝0，y＝1时，z＝0；当x＝0，y＝2时，z＝0；当x＝2，y＝1时，z＝4；当x＝2，y＝2时，z＝5，所以z中共有3个元素，其和为9.3．由a2,2－a,4所组成的集合记为A.(1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(2)若A中只含有两个元素，求a的值．解(1)由题意知，若A中只有一个元素，则这三个数相等，即a2＝2－a＝4，由2－a＝4解得a＝－2.此时a2＝4，所以符合条件．故当a＝－2时，A中只有一个元素．(2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等．当2－a＝4时，a＝－2，由(1)知此时集合A中只含一个元素，不符合题意；当a2＝4，即a＝2或a＝－2(舍去)时，2－a＝0，故此时集合A中含有两个元素：0,4.当a2＝2－a，即a2＋a－2＝0时，由(a－1)(a＋2)＝0解得a＝1或a＝－2(舍去)，此时a2＝2－a＝1，显然集合A中含有两个元素：1,4.综上，当a＝2或a＝1时，集合A中有两个元素．4．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，解得x＝eq\f(2,3)，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意，得Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8).所以当a＝0或a＝eq\f(9,8)时，集合A中只有一个元素．(2)由题意，得当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a>0，))即a<eq\f(9,8)且a≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a＝0或a＝eq\f(9,8)时方程有一个实根．所以实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤\f(9,8))).(3)由(1)知，当a＝0或a＝eq\f(9,8)时，集合A中只有一个元素．当集合A中没有元素，即A＝∅时，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a<0，))解得a>eq\f(9,8).综上得，当a≥eq\f(9,8)或a＝0时，集合A中至多有一个元素．5．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则eq\f(1,1－a)∈