2026-2027学年高二上册周测小卷一二单元数学人教A版

2026-2027学年高二上册周测小卷一二单元数学人教A版考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=（）A.({x|-1<x<1})B.({x|1≤x<2})C.({x|x>-1})D.({x|x≥1})2.“x²=1”是“x=1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于（）对称A.x=-π/6B.x=π/6C.x=π/3D.x=-π/34.若复数z满足z²=-3+4i,且z的实部为负数，则z=（）A.-2+iB.2-iC.-2-iD.2+i5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9,S₆=36,则该数列的公差d=（）A.1B.2C.3D.46.不等式|2x-1|<3的解集为（）A.({x|-1<x<2})B.({x|x<-1或x>2})C.({x|-1≤x≤2})D.({x|-1<x≤2或2<x<3})7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a²+b²=c²,且C=90°,则sinA+sinB的值为（）A.√2B.√3C.1D.28.已知点P(x,y)在直线x+2y-1=0上，则x²+y²的最小值为（）A.1/5B.1/2C.1D.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.已知向量a=(1,k),b=(3,-2),若a⊥b,则实数k的值为_______.10.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域为_______.11.在等比数列{aₙ}中，a₁=2,a₄=16,则该数列的通项公式aₙ=_______.12.若tanα=-√3,且α在第二象限，则cos(α-π/6)的值为_______.三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³-3x+1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.14.（本小题满分12分）已知复数z=1+i,复数w满足zw=2+5i.(1)求复数w的模；(2)若复数w的辐角主值为θ,求sinθ的值.15.（本小题满分14分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,b=√7,C=60°.(1)求边c的长；(2)求sinA的值.16.（本小题满分14分）已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1,a₃+b₃=8,a₅+b₅=14.(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ,求数列{cₙ}的前n项和Sₙ.17.（本小题满分15分）已知函数f(x)=x²-2ax+2+ln(x+1)(x>-1).(1)若a=1,求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值.18.（本小题满分15分）已知直线l:x+2y-4=0与圆C:x²+y²-2x+4y-4=0.(1)求圆C的圆心和半径；(2)判断直线l与圆C是否相交，若相交，求弦长；若不相交，请说明理由.试卷答案1.B2.B3.C4.C5.B6.A7.C8.A9.-610.({x|x>1})11.2*2^(n-1)12.-√2/213.(1)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)；(2)函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(1)=-1，最小值为f(-2)=-8.14.(1)复数w的模为√29；(2)sinθ的值为5√29/29.15.(1)边c的长为√13；(2)sinA的值为√13/13.16.(1)数列{aₙ}的通项公式为aₙ=2n-1，数列{bₙ}的通项公式为bₙ=2^(n-1)；(2)数列{cₙ}的前n项和Sₙ=n²+2^(n-1)-1.17.(1)若a=1,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；(2)实数a的值为3，该极值是极小值.18.(1)圆C的圆心为(1,-2)，半径为√13；(2)直线l与圆C相交，弦长为2√15.解析1.集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B={x|1≤x<2}.故选B.2.由x²=1得x=±1.当x=-1时，x²=1但x≠1.故“x²=1”是“x=1”的必要不充分条件.故选B.3.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像可由f(x)=sinx的图像向左平移π/3个单位得到.f(x)=sinx的图像关于x=kπ+π/2(k∈Z)对称.所以f(x)=sin(x+π/3)的图像关于x=-π/6+kπ+π/2(k∈Z)对称.当k=0时，对称轴为x=π/6.故选B.4.设z=a+bi(a<0).则z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi=-3+4i.对比实部和虚部得a²-b²=-3,2ab=4.由2ab=4得ab=2.结合a²-b²=-3和ab=2,解得a=-2,b=-1(因为a<0).故z=-2-i.故选C.5.设等差数列{aₙ}的公差为d.S₃=3a₁+3d/2=9.S₆=6a₁+15d/2=36.解得a₁=3,d=2.故选B.6.由|2x-1|<3得-3<2x-1<3.解得-1<2x<4.即-1/2<x<2.故选A.7.在△ABC中，由a²+b²=c²且C=90°知△ABC为直角三角形，且∠C为直角.则sinA=a/c,sinB=b/c.sinA+sinB=a/c+b/c=(a+b)/c.由勾股定理a²+b²=c²,得(a+b)²=a²+2ab+b²=c²+2ab.由于a,b,c均为正数，ab>0,故(a+b)²>c²,即a+b>c.因此(a+b)/c>1.又因为△ABC中a,b,c为正数，且a+b>c,所以0<sinA+sinB<√2.结合选项，sinA+sinB=1.故选C.8.点P(x,y)在直线x+2y-1=0上，则x=1-2y.x²+y²=(1-2y)²+y²=1-4y+4y²+y²=5y²-4y+1=5(y-2/5)²-4/5+1=5(y-2/5)²+1/5.由于(y-2/5)²≥0,故x²+y²的最小值为1/5,此时y=2/5.故选A.9.向量a=(1,k),b=(3,-2).a⊥b则a⋅b=0.1*3+k*(-2)=0.3-2k=0.解得k=3/2.故填3/2.(修正：原填-6可能是计算错误，正确答案应为3/2)10.函数f(x)=log₃(x-1)有意义需满足x-1>0.解得x>1.故填({x|x>1}).11.在等比数列{aₙ}中，a₁=2,a₄=16.a₄=a₁*q³.16=2*q³.q³=8.解得q=2.通项公式aₙ=a₁*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2ⁿ.故填2ⁿ.(修正：原填2*2^(n-1)是2^n的另一种写法，正确但略显冗余，标准写法为2ⁿ)12.tanα=-√3,且α在第二象限.在第二象限，sinα>0,cosα<0.tanα=sinα/cosα=-√3.设cosα=-a(a>0),则sinα=√3*a.sin²α+cos²α=1.(√3*a)²+(-a)²=1.3a²+a²=1.4a²=1.a²=1/4.a=1/2(取正值因为a>0).所以cosα=-1/2.cos(α-π/6)=cosα*cos(π/6)+sinα*sin(π/6)=(-1/2)*(√3/2)+(√3/2)*(1/2)=-√3/4+√3/4=0.故填0.(修正：原填-√2/2是计算错误，正确答案应为0)13.(1)f(x)=x³-3x+1.f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1).令f'(x)>0,即3(x-1)(x+1)>0.解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).故单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞).(2)由(1)知f(x)在(-∞,-1)上递增，在(-1,1)上递减，在(1,+∞)上递增.需比较f(x)在区间端点和极值点处的值.f(-2)=(-2)³-3*(-2)+1=-8+6+1=-1.f(1)=1³-3*1+1=1-3+1=-1.f(2)=2³-3*2+1=8-6+1=3.比较得f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(2)=3,最小值为f(-2)=f(1)=-1.14.(1)z=1+i.|z|=√(1²+1²)=√2.w=z⁻¹*(2+5i)=(1-i)*(2+5i)=2+5i-2i-5i²=2+3i+5=7+3i.复数w=7+3i.|w|=√(7²+3²)=√(49+9)=√58=√(2*29)=√2*√29.故复数w的模为√29.(2)w=7+3i.辐角主值θ满足tanθ=3/7.且w在第一象限，θ∈(0,π/2).sinθ=opp/hyp=3/√58=3√58/58.故sinθ的值为3√58/58.(修正：原填5√29/29是计算错误，正确答案应为3√58/58)15.(1)在△ABC中，a=3,b=√7,C=60°.由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC.c²=3²+(√7)²-2*3*√7*cos60°=9+7-3√7=16-3√7.c=√(16-3√7).边c的长为√(16-3√7).(2)由正弦定理sinA/a=sinC/c.sinA=a*sinC/c=3*sin60°/(√(16-3√7))=3*(√3/2)/(√(16-3√7))=3√3/(2√(16-3√7)).sinA=3√3/(2√(16-3√7)).(修正：原填√13/13，可能是计算或题目数据假设错误，根据已知数据计算结果为3√3/(2√(16-3√7)))16.(1)数列{aₙ}是等差数列，公差为d.数列{bₙ}是等比数列，公比为q.a₁=1,b₁=1.a₃=a₁+2d=1+2d.b₃=b₁*q²=q².a₃+b₃=8.1+2d+q²=8.2d+q²=7.a₅=a₁+4d=1+4d.b₅=b₁*q⁴=q⁴.a₅+b₅=14.1+4d+q⁴=14.4d+q⁴=13.联立2d+q²=7和4d+q⁴=13.解第一个方程得2d=7-q².代入第二个方程得2*(7-q²)+q⁴=13.14-2q²+q⁴=13.q⁴-2q²+1=0.(q²-1)²=0.q²-1=0.q²=1.解得q=1或q=-1.若q=1,则d=(7-1)/2=3.aₙ=a₁+(n-1)d=1+(n-1)*3=3n-2.bₙ=b₁*q^(n-1)=1*1^(n-1)=1.若q=-1,则d=(7-1)/2=3.aₙ=3n-2.bₙ=b₁*(-1)^(n-1)=(-1)^(n-1).检验：若q=1,a₅=7,b₅=1,a₅+b₅=8.若q=-1,a₅=7,b₅=-1,a₅+b₅=6≠14.故舍去q=-1的情况.数列{aₙ}的通项公式为aₙ=3n-2.数列{bₙ}的通项公式为bₙ=1.(修正：原答案aₙ=2n-1,bₙ=2^(n-1)与计算结果矛盾)(2)cₙ=aₙ+bₙ=(3n-2)+1=3n-1.数列{cₙ}是以-1为首项（n=1时c₁=2），以3为公差的等差数列.Sₙ=n/2*(首项+末项)=n/2*(-1+(3n-1))=n/2*(3n-2)=3n²/2-n.(修正：原答案Sₙ=n²+2^(n-1)-1包含了错误计算的bₙ)17.(1)f(x)=x²-2ax+2+ln(x+1)(x>-1).f'(x)=2x-2a+1/x.若a=1,f'(x)=2x-2*1+1/x=2x-2+1/x=(2x²-2x+1)/x=((√2x-1)²+1)/x.由于(√2x-1)²≥0,故f'(x)=((√2x-1)²+1)/x>0(x>-1且x≠0).故函数f(x)在其定义域(-1,0)∪(0,+∞)上单调递增.单调递增区间为(0,+∞).(修正：原答案(0,+∞)是正确的，但需要说明a=1时导数恒正)(2)f'(x)=2x-2a+1/x.若函数f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0.2*1-2a+1/1=0.2-2a+1=0.3-2a=0.解得a=3/2.此时f'(x)=2x-2*(3/2)+1/x=2x-3+1/x=(2x²-3x+1)/x=((√2x-1)(√2x-1)/2+1)/x.判断极值类型可用f''(x)或利用f'(x)在x=1左右的符号变化.f''(x)=2-1/x².f''(1)=2-1/1²=1>0.由于f''(1)>0,故f(