陕西省渭南市韩城市2026-2027学年高三上学期8月学情摸底调研试题数学试题（含答案解析版）

韩城市2027届学情摸底调研试题数学注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1.设复数的共轭复数为，则（）A.3 B. C.5 D.【答案】C【解析】【详解】已知，则，则.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两个集合的公共元素可得.【详解】由不等式，得，解得，因此.又因为，所以.3.已知与的夹角为，则（）A.2 B. C. D.3【答案】A【解析】【详解】因为与的夹角为，所以，所以4.在等比数列中，，，则公比（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列通项公式结合题设可得答案.【详解】由题，则，故D正确．5.甲、乙等6人一起报名校运动会的跑步项目，跑步项目共有m短跑、m短跑和m跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目有两人报名，则不同的报名方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】【分析】本题为分组分配问题，先把甲、乙等6人分成三组，每组2人，再分配3项跑步项目.【详解】先把甲、乙等6人分成三组，每组2人,则有种分法再分配3项跑步项目，那么报名方法有.6.已知随机变量，且，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可．【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称，所以，又，则，而，因为，所以，解得.7.已知正实数x，y满足，则的最小值是（）A.6 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可.【详解】因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时取等．故选：B8.已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用奇函数性质求出参数，再推导函数周期，将转化为区间内的函数值计算即可．【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即，由，可得，所以是周期为4的周期函数，因为，所以，又，令得，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于函数和函数，下列说法正确的有（）A.和有相同的零点；B.和有相同的最值；C.和有相同的最小正周期；D.的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到.【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦型函数的零点、最值、周期性质以及三角函数图象平移变换，结合正弦函数基本性质和“左加右减”平移规则逐一判断可得.【详解】选项A：函数的零点为，函数的零点满足，即，二者零点没有重合，A错误；选项B：正弦函数的最大值为、最小值为，平移变换不改变函数振幅，因此和的最值完全相同，B正确；选项C：正弦型函数的最小正周期为，因为两个函数的，因此最小正周期均为，C正确；选项D：根据图象平移“左加右减”规则，将向左平移个单位，可得，D正确.10.记等差数列的前项和为，若，，则（）A.是递增数列 B.当时，取得最小值C.若，则的最小值为11 D.数列的前10项和为50【答案】ACD【解析】【分析】先根据等差数列已知的首项和前10项和求出公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一判断各选项．【详解】设等差数列公差为，由，代入，得，解得，因此通项公式为，前项和，选项A：公差，所以是递增数列，A正确；选项B：令，解得，即，，前项均为负，第项起为正，故在时取得最小值，B错误；选项C：令，解得（为正整数），因此时的最小值为，C正确；选项D：前项和为，D正确．11.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（A点在第一象限），过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为 B.线段的长度为C. D.线段的中点到轴的距离为【答案】AC【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D．【详解】由题意，直线与x轴交点为，的焦点，可得，即抛物线方程为，故A正确；由，可得，解得或，可得交点分别为，所以，故B错误；由，可知，可得，则，即，故C正确；由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为__________．【答案】【解析】【详解】令，解得，可知双曲线的渐近线方程为，即，解得.13.已知、都是锐角，，，则__________．【答案】【解析】【详解】因为，，则，且，，则，，所以.14.已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】【详解】由侧棱平面，平面，得，且，所以三棱锥可以补成长方体，如图所示.则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同，则外接球的直径为长方体的体对角线.已知，，则，则，故三棱锥外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）已知的面积为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简得，然后根据角的范围求解即可；（2）利用三角形面积公式得，结合得，进而利用余弦定理求解即可．【小问1详解】由正弦定理及，有．又由，所以，所以．又由，有，又，可得．【小问2详解】由的面积为，有，可得．由，有，可得，又由余弦定理，有，故．16.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．优秀非优秀合计男5女35合计（1）求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；（2）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．附：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1），不能；（2）

优秀非优秀合计男54550女153550合计2080100没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.【解析】【分析】（1）利用概率分布直方图的性质先求出，进而求得60分以下的概率估计值，即可判断；（2）根据（1）中的结论，先求得优秀的人数，再填写列联表，进而再求，查表后可以判断得没有99％的把握.【小问1详解】，解得，成绩不及格的频率为，∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，∵21％＞20％，∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．【小问2详解】由（1）可得成绩在的人数为：，即样本中成绩优秀有20人，由此完成2×2列联表如下所示：优秀非优秀合计男54550女153550合计2080100假设：此次竞赛成绩与性别无关，则，∴没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为棱上靠近点的三等分点，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）由条件得，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）【解析】【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值.【小问1详解】略【小问2详解】由（1）可知，两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，令，则，所以，设直线MN与平面所成角为，则.18.已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为．（1）求的方程；（2）已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)结合椭圆离心率、上顶点坐标及求解椭圆参数，得到椭圆方程；(2)设点坐标，根据向量关系推导S与M的坐标对应关系，代入椭圆方程化简得轨迹方程；(3)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和三角形面积公式列方程求解的值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，由题意得上顶点，故；离心率，即.代入，得，解得.因此椭圆的方程为.【小问2详解】设，，如图所示：由题意得在轴的垂足，则，.由得x-x0=0y=3因为在椭圆上，将坐标关系代入，即，因此点的轨迹方程为.【小问3详解】设，，联立直线与椭圆的方程x23+y2=1x=my-1由韦达定理得，;的面积，故。由，代入韦达公式得，可得，两边平方整理得，即；因为恒成立，故，解得.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若的两个极值点分别为和，且．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．【答案】（1）（2）（i）；（ii）由（i）知，，且时，，又，所以.令，则，易得在上单调递增，且，所以当时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，则，又因为，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）先代入确定函数解析式与定义域，再求导算出切点横坐标对应的函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，最后用点斜式整理化简得出切线方程.（2）（i）先求出函数导数，由有两个极值点转化为对应导函数方程有两个正根，构造辅助函数并求导分析单调性与最小值，结合函数极限和零点位置，数形结合确定直线与图象有两个交点时的取值范围.（ii