2026年济南市中考数学试卷（含标准答案）

秘密★启用前济南市2026年初中学业水平考试数学试题本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.－7的倒数是A.72.如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是3.在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游.据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人.数据183000用科学记数法表示为A.4.下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是数学试卷第1页(共8页)5.下列运算正确的是A.6.若关于x的方程.x2-4x-m＝A.m≤4 B.m＜4 C.m≥－4 D.m＞－47.A.1 B.2－x C.x+2 D.x－28.经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是A.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），B（9，0）是x轴上的两点，P是函数yA.30 B.36 C.42 D.6310.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，CD⊥AB，垂足为点D.以点B为圆心，以BC的长为半径作弧，交AB于点E；以点A为圆心，以AE的长为半径作弧，交AC于点F.设BC＝a，AC＝b，CD＝h，AD＝m，BD＝n，有下列结论:①④（m+n－a，0）是二次函数y＝x2⑤以上结论正确的有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个数学试卷第2页(共8页)二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案.11.27的立方根是.12.如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是.13.如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）.14.某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河一黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发20min，七年级经过40min抵达目的地.两个年级之间的距离y（单位：m）和七年级出发后的时间x（单位：min）之间的关系如图所示.则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是min.15.如图，平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝4，M是AD上一点，将纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，点C落在点F处，折痕交BC于点N，EF与BC交于点G.若BE＝2AE，则BG＝.三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分7分）计算：17.（本小题满分7分）解不等式组：2x+5≤318.（本小题满分7分）已知：如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF.求证:BF＝DE.数学试卷第3页(共8页)19.（本小题满分8分）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算.估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数.小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务.动作图片任务和示意图相关条件（1）计算甲同学的成绩（线段AE的长度）AB＝58cm，BC＝40cm，CD＝78cm，∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，ED⊥CD（2）计算乙同学的成绩（线段AE的长度）AB＝61cm，BC＝41cm，CD＝78.5cm，∠ABC＝122°，∠BCD＝45°，ED⊥CD，AE⊥ED（结果精确到0.01cm，参考数据:sin77°≈0.974，cos77°≈0.225，tan77°≈4.331；20.（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，BE⊥l，垂足为点E，交⊙O于点C，连接OE，交弦BD于点F.（1）求证:BD平分∠ABC;（2）若DF＝2，cos∠ABC＝数学试卷第4页(共8页)21.（本小题满分9分）某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组：A:50≤x＜60；B:60≤x＜70；C:70≤x＜80；D:80≤x＜90；E:90≤x≤100.下面给出了部分信息：A.C组的数据:70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79.B.不完整的学生成绩频数直方图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为度；（3）请补全频数直方图；（4）抽取的学生成绩的中位数是分；（5）该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数.数学试卷第5页(共8页)22.（本小题满分10分）为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪.已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元.（1）求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元?（2）学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲种型号的视力训练仪多少台时花费最少?最少花费是多少元?23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为（6，4）.反比例函数y＝kx（x＞0）（1）求k的值;（2）点P是y＝①如图1，若点P在矩形OABC的内部，PF⊥x轴，垂足为点F，连接PE，EF，若△PEF的面积为2，求点P的坐标；②如图2，作直线AC，连接OP，在OP上方作∠OPQ＝∠OAC，过点O作OP的垂线，交PQ于点M，当点M落在直线AC上时，求点P的坐标.数学试卷第6页(共8页)24.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+bx+cc≠0与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点A的坐标为（－1，0（1）若点（2，3）在该抛物线上.①求该抛物线的表达式及点B的坐标；②如图，连接BC，D为线段BC上一点，连接AD并延长，交抛物线于点E，F为第四象限内抛物线上一点，且点F到x轴的距离为h，以AE，AF为边作平行四边形AEGF，若△ADF的面积为2h，求平行四边形AEGF面积的最大值；（2）作直线BC，P是直线BC上一点，若使∠APO＝45°的点P恰有两个，求b的取值范围.数学试卷第7页(共8页)25.（本小题满分12分）矩形ABCD中，BC＝kAB（k≥1），O为对角线AC的中点，M为边AB上一点，连接OM，过点O作OM的垂线，交BC于点N，连接MN.（1）如图1，当k＝1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为；用等式表示线段AM，MN，NC的数量关系为；（2）如图2，当k＞1时，①写出OM与ON的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM，MN，NC的数量关系，并证明；（3）如图3，当k＝43，AB＝6时，连接OB，过点N作NH⊥OB，垂足为点H，E为AD上一点，连接EC，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接MF，DF，当NO平分∠CNH时，求MF＋DF数学试卷第8页(共8页)济南市2026年初中学业水平考试数学试题参考答案及评分意见一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案DBCAACDBBC二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.11.3三、解答题：本题共10小题，共90分.16.＝－4 7分17.解:解不等式①，得x≥－1· 2分解不等式②，得x＜3.⋯ 4分在同一条数轴上表示不等式①②的解集原不等式组的解集是－1≤x＜3·⋯ 6分∴整数解为－1，0，1，2⋯⋯ 7分18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD·⋯ 2分∴∠ABE＝∠CDF 3分∵∠BAE＝∠DCF∴△ABE≌△CDF· 4分∴BE＝DF. 5分∴BE+EF＝DF+EF· 6分即BF＝DE·· …7分19.解:（1）如答案图1，过点B作BP⊥CD，垂足为点P，则∠BPC＝∠BPD＝90°在Rt△BPC中cos∴∵∠ABC＝150°，∠BCD＝30°∴∠ABC+∠BCD＝180°∴AB∥CD∴∠PBE＝180°－∠BPD＝90°又∵ED⊥CD，即∠PDE＝90°∴四边形BPDE是矩形 2分∴BE＝DP∴AE＝AB+CP－CD＝58+34.640－78＝14.640＝14.64（cm）答：甲同学的成绩是14.64cm 3分（2）如答案图2，过点B作BM⊥CD，垂足为点M，交AE的延长线于点N……4分在Rt△BMC中，∠BMC＝90°cos∴又∵ED⊥CD，AE⊥ED则∠EDM＝∠DEN＝∠NMD＝90°∴四边形NMDE是矩形，则NE＝MD，∠ANB＝90°在Rt△BMC中，∠C＝45°，则∠CBM＝45°又∵∠ABC＝122°∴∠ABN＝∠ABC－∠CBM＝77° 6分在Rt△ANB中，∠ANB＝90°sin∴AN＝ABsin77°＝61×0.974＝59.414 7分∴AE＝CM+AN－CD＝28.987+59.414－78.5＝9.901＝9.90（cm）答:乙同学的成绩是9.90cm. 8分20.解:（1）如答案图1，连接OD∵直线l与⊙O相切于点D∴∠ODE＝90° 1分∵BE⊥l∴∠BED＝90°∴∠ODE+∠BED＝180°∴OD∥BE 2分∴∠ODB＝∠DBC∵OB＝OD∴∠ODB＝∠OBD 3分∴∠OBD＝∠DBC∴BD平分∠ABC· ·4分（2）如答案图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，设⊙O的半径为r∵OD∥BE∴∠GOD＝∠ABC∵DG⊥AB∴∠DGO＝90°在Rt△DGO中cos∴∴∵∠DGB＝∠DEB＝90°，∠DBG＝∠DBE，DB＝DB∴△DBG≌△DBE∴BE＝BG∵∠ODF＝∠EBF，∠OFD＝∠EFB∴△ODF∽△EBF 7分∴∴BF＝21.解:（1）6÷12%＝50（人）答：随机抽取的学生人数为50人. 2分（2）28.8 3分（3） 5分（4）79 7分5＝288（人）答：估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数有288人….9分22.解：（1）设甲型视力训练仪的单价为x元，乙型视力训练仪的单价为y元，….1分根据题意，得2x+3y＝解得{x＝200y＝答：甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元. 5分（2）设购买甲型视力训练仪m台，则购买乙型视力训练仪（60－m）台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费w元，…………6分根据题意，得m≥2（60－m） 7分解得m≥40w＝200×0.9m+150（60－m）＝30m+9000 8分∵30＞0∴w的值随m值的增大而增大∴当m＝40时，w取得最小值 9分此时w＝30×40+9000＝10200（元）答：购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元. 10分23.解:（1）∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，4），点D为BC的中点∴点D的坐标为（3，4） 1分将点D（3，4）代入反比例函数y＝kx，得k＝∴反比例函数的表达式为y（2）①设点P的坐标为（m12m，PF⊥x轴，点P在矩形OABC的内部，E则S∴m∴点P的坐标为（92，83） ②如答案图，过点M作MG⊥x轴，垂足为点G，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H设直线AC的表达式为y＝sx+t将A（6，0），C（0，4）代入，得∴直线AC的表达式为y＝-2由题意，设点M的坐标为n-则MG＝-23∵∠OPM＝∠OAC∴即∵∠OMG+∠MOG＝90°，∠POH+∠MOG＝90°∴∠OMG＝∠POH又∵∠MGO＝∠OHP＝90°∴△MGO∽△OHP∴∴∴点P的坐标为-n+6-32∵∴解得n1＝3+17（舍去），∴得点24.解:（1）①∵抛物线.y＝-x2+bx+c与x轴交于A（－1，0），点（∴{－1－解得{b＝2∴抛物线的表达式是.y＝-x令y＝0，即－-x2+2x+3＝0解得.x1∴点B的坐标是（3，0） 4分②如答案图1，连接BF，EF，过点E作EH∥y轴，交AF于点H∵点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）∴AB＝4又点F到x轴的距离为h∴S△ABF＝S△ADF∴AF∥BC…5分 设直线BC的表达式为y＝kx+a将B（3，0），C（0，3）代入，得{3k+a＝0a∴直线BC的表达式为y＝－x+3∵AF∥BC可设直线AF的表达式为y＝－x+t，将A（－1，0）代入，得t＝－1∴直线AF的表达式为y＝－x－1 …6分联立y＝-x2+2x+3和y＝－x－1，得.-x2+2x+3＝∴点F的坐标为（4，－5）设点E的坐标为（m-m2+2m+3，点H的坐标为（m，∴EH∴∴S平行四边形AEGF＝∴当m＝32时，S平r（四边NAEGF取得最大值，最大值为\frac{12∴平行四边形AEGF面积的最大值为1254 …8分（2）∵抛物线.y＝-x2+bx+c与x轴交于A（－∴－1－b+c＝0即b＝c－1∴y令y＝0，得.x1＝-1（舍去）∴点B的坐标为（c，0），c＞－1当x＝0时，y＝c，即点C的坐标为（0，c）可得直线BC的表达式为y＝－x+c …9分如答案图2，以AO为斜边作等腰直角△AOO₁和等腰直角△AOO₂分别以O₁，O₂为圆心，以O₁O和O₂O的长为半径作⊙O₁，⊙O₂，与坐标轴的交点分别为A（－1，0），O（0，0），M（0，1），N（0，－1）∵圆心角.∠A∴当点P在优弧AMO和优弧ANO上（异于A，O）时，圆周角∠APO＝45°∴当直线BC与优弧AMO和优弧ANO共有两个交点（异于A，O）时，使∠APO＝45°的点P恰有两个∵c＞－1，c≠0∴当直线BC与⊙O₁相交时，符合题意 …10分直线BC:y＝－x+c过点M（0，1）或A（－1，0）时恰好与⊙O₁相切将M（0，1）代入直线BC的表达式y＝－x+c，得c＝1将A（－1，0）代入直线BC的表达式y＝－x+c，得c＝－1 11分∴c的取值范围是－1＜c＜0或0＜c＜1∵b＝c－1∴b的取值范围是－2＜b＜－1或－1＜b＜0· 12分25.解:（1）OM＝ON；AM（2）①OM＝kON证明如下：如答案图1，过点O作OP⊥BC，垂足为点P，过点O作OQ⊥AB，垂足为点Q∵OQ⊥AB，BC⊥AB∴∴∴∴∵∠MOQ+∠MOP