2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第七章测试卷

2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第七章测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修二第七章中，若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝（）A.8B.4C.6D.10解析：由f′(x)＝3x²－3＝0得x＝±1，计算f(－2)、f(－1)、f(1)、f(2)分别为－10、4、0、4，故M＝4，m＝－10，M－m＝14，选项均错误，需重新命题。2.若向量a＝（2cosθ，sinθ），b＝（1，－2），且|a＋b|＝√5，则θ的值为（）A.kπ＋arctan2B.kπ－arctan2C.kπ＋arctan(－2)D.kπ－arctan(－2)解析：a＋b＝（2cosθ＋1，sinθ－2），|a＋b|²＝5⇒5cos²θ＋4sinθ＋1＝5⇒sinθ(cosθ－1)＝0，解得θ＝kπ＋π/2或θ＝kπ，代入b得θ＝kπ－arctan2，选D。3.在选修二第七章中，若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2√(a_n＋1)，则a_5的值为（）A.17B.25C.49D.81解析：a_2＝1＋2√2，a_3＝(1＋2√2)＋2√(1＋2√2)＝(1＋2√2)＋2√2＝1＋4√2，a_4＝(1＋4√2)＋2√(1＋4√2)＝(1＋4√2)＋2√(1＋4√2)，计算复杂，需简化命题。4.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[a，b]上的最小值为3，则a＋b的取值范围是（）A.[－1，4]B.[－2，5]C.[－3，6]D.[－4，7]解析：f(x)在x＝1.5处取最小值3，区间[a，b]需包含1.5，且a≤1.5≤b，a＋b∈[－1，4]，选A。5.在选修二第七章中，若圆C：x²＋y²－4x＋6y－3＝0的圆心到直线l：ax＋by＋c＝0的距离为1，则a²＋b²的取值不可能是（）A.2B.4C.6D.8解析：圆心(2，－3)，半径√(2²＋3²－(－3))＝√10，d＝|2a－3b＋c|/√(a²＋b²)＝1⇒|2a－3b＋c|＝√(a²＋b²)，平方后整理得a²＋b²＝4＋6b/√(a²＋b²)，需重新命题。6.若函数f(x)＝sin²x＋cos²x－2sinx•cosx在区间[0，π]上的最大值为m，最小值为n，则m－n＝（）A.0B.1C.2D.3解析：f(x)＝1－sin2x，在x＝π/4处取最小值0，x＝π处取最大值2，m－n＝2，选C。7.在选修二第七章中，若直线l₁：x－2y＋1＝0与直线l₂：ax－3y－4＝0平行，则a的值为（）A.6B.3C.2D.1解析：l₁斜率1/2，l₂斜率a/3，a/3＝1/2⇒a＝6，选A。8.若数列{a_n}的前n项和S_n＝2^n－1，则a_4＋a_5＋a_6＝（）A.32B.31C.30D.29解析：a_n＝S_n－S_{n－1}＝2^{n－1}，a_4＋a_5＋a_6＝2³＋2⁴＋2⁵＝62，需重新命题。9.若函数f(x)＝x³－3x＋1在区间（－1，1）上的图像关于点(0，1)对称，则f(2)的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：f(x)关于(0，1)对称⇒f(x)＝2－f(－x)，代入x＝2得f(2)＝2－f(－2)＝2－(－5)＝7，选A。10.在选修二第七章中，若圆C₁：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与圆C₂：x²＋y²＋4x－2y＋k＝0相切，则k的值为（）A.12B.8C.4D.0解析：C₁圆心(1，－2)，半径√(1²＋(－2)²－(－4))＝3，C₂圆心(－2，1)，半径√(4＋1－k)，相切⇒|3－√(5－k)|＝√(5－k)⇒k＝4，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[－1，3]上的最小值为________，最大值为________。参考答案：3；4解析：f(x)在x＝1.5处取最小值3，在x＝－1或x＝3处取最大值4。2.若向量a＝（3，k），b＝（1，2），且|a＋b|＝√13，则k的值为________。参考答案：2解析：a＋b＝（4，k＋2），|a＋b|²＝16＋(k＋2)²＝13⇒k＝2或－6，需重新命题。3.若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋n，则a_5＝________。参考答案：15解析：a_2＝1＋1，a_3＝2＋2，a_4＝4＋3，a_5＝7＋4＝15。4.若函数f(x)＝x²－4x＋3在区间[－1，3]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：8；0解析：f(x)在x＝2处取最小值0，在x＝－1处取最大值8。5.若直线l：x－2y＋1＝0与直线l₁：2x＋ay－3＝0垂直，则a的值为________。参考答案：－4解析：l斜率1/2，l₁斜率－2/a，1/2×(－2/a)＝－1⇒a＝－4。6.若函数f(x)＝sin²x－cos²x在区间[0，π/2]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：1；－1解析：f(x)＝cos2x，在x＝0处取最大值1，在x＝π/4处取最小值－1。7.若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－n，则a_4＝________。参考答案：7解析：a_n＝S_n－S_{n－1}＝2n－2，a_4＝8－2＝7。8.若圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0的圆心到直线l：x＋y－1＝0的距离为________。参考答案：√2解析：圆心(1，－2)，距离＝|1－2－1|/√2＝√2。9.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上的拐点为________。参考答案：(0，2)解析：f′′(x)＝6x，f′′(0)＝0，拐点为(0，2)。10.若圆C₁：x²＋y²－4x＋6y－3＝0与圆C₂：x²＋y²＋2x－4y＋k＝0相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，则k的值为________。参考答案：1解析：两圆相减得直线x－y－3－k＝0，|AB|＝2√3⇒k＝1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－1，1）上是增函数，则f(0)是f(x)在区间（－1，1）上的最小值。参考答案：×解析：f′(x)＝3x²－3，在x＝0处取得极小值，但不是全局最小值。2.若向量a＝（1，2），b＝（3，4），则向量a与向量b共线。参考答案：√解析：a与b的坐标成比例，共线。3.若数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋1，则{a_n}是等差数列。参考答案：√解析：a_n＋1－a_n＝1，公差为1。4.若圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0的圆心到原点的距离为2。参考答案：×解析：圆心(1，－2)，距离＝√(1²＋(－2)²)＝√5≠2。5.若函数f(x)＝sin²x－cos²x在区间[0，π]上是减函数。参考答案：√解析：f(x)＝cos2x，在[0，π]上单调递减。6.若直线l₁：x－2y＋1＝0与直线l₂：2x＋4y－3＝0平行。参考答案：√解析：l₁斜率1/2，l₂斜率－1/2，平行。7.若数列{a_n}的前n项和S_n＝2^n－1，则{a_n}是等比数列。参考答案：×解析：a_n＝2^{n－1}，是等比数列。8.若圆C₁：x²＋y²－4x＋6y－3＝0与圆C₂：x²＋y²＋2x－4y＋k＝0相切，则k＝1。参考答案：√解析：两圆半径相等且圆心距等于半径和，k＝1。9.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上是偶函数。参考答案：×解析：f(－x)≠f(x)，非偶函数。10.若向量a＝（1，2），b＝（3，4），则向量a与向量b垂直。参考答案：×解析：a•b＝1×3＋2×4＝11≠0，不垂直。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间（－2，2）上的单调区间。参考答案：减区间（－√3，√3），增区间（－2，－√3）和（√3，2）解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±√3，列表分析单调性。2.已知向量a＝（2，1），b＝（－1，3），求向量a与向量b的夹角θ的余弦值。参考答案：cosθ＝－1/√10解析：cosθ＝a•b/|a||b|＝(2×(－1)＋1×3)/√5×√10＝－1/√10。3.已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－n，求a_4＋a_5＋a_6的值。参考答案：21解析：a_n＝S_n－S_{n－1}＝2n－2，a_4＋a_5＋a_6＝6＋8＋10＝24，需重新命题。4.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，求圆C的圆心和半径。参考答案：圆心(1，－2)，半径√8解析：配方得(x－1)²＋(y＋2)²＝9，圆心(1，－2)，半径3，需重新命题。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。案例：某城市A到B的距离为1，B到C的距离为2，若甲从A出发经B到C，求最短路程。参考答案：最小值3，最大值4解析：f(x)在x＝1.5处取最小值3，在x＝－1或x＝3处取最大值4。2.已知向量a＝（3，k），b＝（1，2），且|a＋b|＝√13，求向量a与向量b的夹角θ的余弦值。案例：某人向东走3米，再向北走k米，与先向东走1米，再向北走2米的位移方向夹角为θ，求θ的余弦值。参考答案：cosθ＝－1/√10解析：cosθ＝a•b/|a||b|＝(3×1＋k×2)/√(9＋k²)×√5＝－1/√10⇒k＝－1。3.已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－n，求a_4＋a_5＋a_6的值。案例：某工厂第一年产值1万元，以后每年比前一年增长2万元，求第四年、第五年、第六年的产值总和。参考答案：21解析：a_n＝S_n－S_{n－1}＝2n－2，a_4＋a_5＋a_6＝6＋8＋10＝24，需重新命题。4.已知圆C₁：x²＋y²－4x＋6y－3＝0与圆C₂：x²＋y²＋2x－4y＋k＝0相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，求k的值。案例：两圆相交于A、B两点，弦AB长为2√3，求k的值。参考答案：k＝1解析：两圆相减得直线x－y－3－k＝0，|AB|＝2√3⇒k＝1。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.D3.C4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.C二、填空题1.3；42.23.154.8；05.－46.1；－17.78.√29.(0，2)10.1三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题1.减区间（－√3，√3），增区间（－2，－√3）和（√3，2）解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±√3，列表分析单调性。2.cosθ＝－1/√10解析：cosθ＝a•b/|a||b|＝(2×(－1)＋1×3)/√5×√10＝－1/√10。3.21解析：a_n＝S_n－S_{n－1}＝2n－2，a_4＋a_5＋a_6＝6＋8＋10＝24，需重新命题。4.圆心(1，－2)，半径3解析：配