2026年重庆市北师大版高一数学必修第三册单元测试卷

2026年重庆市北师大版高一数学必修第三册单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9可得4d=6，解得d=1.5。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5，化简为a_n=3n，故选C。2.已知函数f(x)=2^x-1，若f(a)=3，则a的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：由f(a)=2^a-1=3，解得2^a=4，即a=2，故选A。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosB的值为（）A.1/2B.3/4C.2/3D.1/4解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入a=2，b=3，c=4可得cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2×2×4)=11/16，故选D。4.已知向量a=(1，2)，b=(3，-1)，则向量a+b的模长为（）A.√5B.√10C.√15D.√20解析：向量a+b=(1+3，2-1)=(4，1)，模长|a+b|=√(4^2+1^2)=√17，故选C。5.已知直线l：3x-4y+12=0，则该直线在y轴上的截距为（）A.-3B.-4C.3D.4解析：令x=0，得3×0-4y+12=0，解得y=3，故截距为3，故选C。6.已知函数f(x)=log_2(x+1)，则f(x)的定义域为（）A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-1]D.[-1，+∞)解析：由x+1>0得x>-1，故定义域为(-1，+∞)，故选B。7.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q等于（）A.2B.4C.8D.16解析：由b_4=b_1q^3，代入b_1=2，b_4=16可得2q^3=16，解得q=2，故选A。8.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则该圆的圆心坐标为（）A.(1，-2)B.(-1，2)C.(2，-1)D.(-2，1)解析：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心为(a，b)，故圆心为(1，-2)，故选A。9.已知函数g(x)=|x-1|，则g(x)的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C.y=xD.y=-x解析：绝对值函数y=|x|的图像关于y轴对称，g(x)=|x-1|是将y=|x|向右平移1个单位，故仍关于y轴对称，故选B。10.已知直线l_1：x+y-1=0与直线l_2：2x-y+3=0，则l_1与l_2的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：直线l_1的斜率k_1=-1，直线l_2的斜率k_2=2，两直线夹角θ满足tanθ=|(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)|=|(2-(-1))/(1+(-1)×2)|=1，θ=45°，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，则a_5+a_9=________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_3+a_7=18得2a_5=18，故a_5=9。又a_5+a_9=2a_7，由a_3+a_7=18得a_7=9，故a_5+a_9=2×9=18。2.已知函数f(x)=3^x，则f(log_32)的值为________。解：f(log_32)=3^(log_32)=2，故答案为2。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为________。解：由勾股定理可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，故cosA=a/c=3/5，故答案为3/5。4.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，3)，则向量a•b的值为________。解：向量a•b=2×(-1)+(-1)×3=-2-3=-5，故答案为-5。5.已知直线l：2x-y+5=0，则该直线与x轴的夹角为________。解：直线l的斜率k=2，故与x轴的夹角θ满足tanθ=2，θ≈63.43°，故答案为63.43°。6.已知函数f(x)=log_2(x-1)，则f(x)的值域为________。解：由x-1>0得x>1，故f(x)的值域为(0，+∞)，故答案为(0，+∞)。7.已知等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于________。解：由b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，解得q=2√2，故答案为2√2。8.已知圆O的方程为(x+2)^2+(y-3)^2=16，则该圆的半径为________。解：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，半径为r，故该圆的半径为4，故答案为4。9.已知函数g(x)=|x+1|，则g(x)的图像关于________对称。解：绝对值函数y=|x|的图像关于y轴对称，g(x)=|x+1|是将y=|x|向左平移1个单位，故仍关于y=-x对称，故答案为y=-x。10.已知直线l_1：x-y+2=0与直线l_2：x+y-4=0，则l_1与l_2的夹角为________。解：直线l_1的斜率k_1=1，直线l_2的斜率k_2=-1，两直线夹角θ满足tanθ=|(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)|=|(-1-1)/(1+1×(-1))|=∞，θ=90°，故答案为90°。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a_n是等差数列，b_n是等比数列，则{a_n+b_n}一定是等差数列。（×）解：反例：a_n=1，b_n=2^n，则a_n+b_n=1+2^n，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故错误。2.函数y=|x|在(-∞，0)上是减函数。（√）解：在(-∞，0)上，y=|x|=-x，是减函数，故正确。3.若三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形是直角三角形。（√）解：由5^2+12^2=13^2，故该三角形是直角三角形，故正确。4.已知向量a=(1，2)，b=(3，4)，则向量a+b=(4，6)。（√）解：向量a+b=(1+3，2+4)=(4，6)，故正确。5.若直线l_1：3x-4y+1=0与直线l_2：6x-8y+3=0平行，则k_1=k_2。（√）解：直线l_2可化为3x-4y+1.5=0，与l_1平行，故斜率相同，故正确。6.函数y=2^x在R上单调递增。（√）解：指数函数y=a^x（a>1）在R上单调递增，故正确。7.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q=2。（√）解：由b_4=b_1q^3，代入b_1=2，b_4=16得2q^3=16，解得q=2，故正确。8.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=25，则该圆的圆心坐标为(1，-2)。（×）解：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心为(a，b)，故圆心为(1，-2)，故正确。9.已知函数f(x)=|x-1|，则f(x)的图像关于y=x对称。（×）解：f(x)=|x-1|的图像关于x=1对称，不是关于y=x对称，故错误。10.已知直线l_1：x+y-1=0与直线l_2：2x-y+3=0垂直，则k_1k_2=-1。（√）解：直线l_1的斜率k_1=-1，直线l_2的斜率k_2=2，k_1k_2=(-1)×2=-1，故正确。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=5，a_5=15得5+4d=15，解得d=2.5。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.已知函数f(x)=2^x，求f(x)在x=0，x=1，x=-1时的值。解：f(0)=2^0=1，f(1)=2^1=2，f(-1)=2^(-1)=1/2。3.已知向量a=(3，-2)，b=(1，4)，求向量a+b和向量a•b的值。解：向量a+b=(3+1，-2+4)=(4，2)，向量a•b=3×1+(-2)×4=3-8=-5。4.已知直线l：2x-y+3=0，求该直线在x轴和y轴上的截距。解：令y=0，得2x+3=0，解得x=-1.5，故x轴截距为-1.5。令x=0，得-y+3=0，解得y=3，故y轴截距为3。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，求cosB的值。解：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入a=5，b=7，c=8得cosB=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)=27/40，故cosB=27/40。2.已知函数f(x)=log_3(x+2)，求f(x)的定义域。解：由x+2>0得x>-2，故定义域为(-2，+∞)。3.已知等比数列{b_n}中，b_1=3，b_4=81，求该数列的前5项和S_5。解：由b_4=b_1q^3，代入b_1=3，b_4=81得3q^3=81，解得q=3。前5项和S_5=b_1(1-q^5)/(1-q)=3(1-3^5)/(1-3)=3×121=363。4.已知圆O的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=25，求该圆的圆心到直线l：3x-4y+5=0的距离。解：圆心为(-1，2)，直线l：3x-4y+5=0，距离d=|3×(-1)-4×2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|-3-8+5|/5=6/5，故距离为6/5。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.A3.D4.C5.D6.B7.A8.A9.B10.B二、填空题1.182.23.3/54.-55.63.43°6.(0，+∞)7.2√28.49.y=-x10.90°三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=2.5n+2.52.f(0)=1，f(1)=2，f(-1)=1/23.a+b=(4，2)，a•b=-54.x轴截距-1.5，y轴截距3五、应用题1.cosB=27/402.定义域(-2，+∞)3.S_5=3634.距离6/5【解析】一、单选题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_5=a_1+4d得d=1.5，故a_n=3+1.5(n-1)=3n。2.f(a)=2^a-1=3，解得2^a=4，a=2。3.余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入a=2，b=3，c=4得cosB=11/16。4.向量a+b=(4，1)，模长|a+b|=√(4^2+1^2)=√17。5.令x=0，得-4y+12=0，解得y=3。6.对数函数f(x)=log_a(x)的定义域为x>0，故f(x)=log_2(x+1)的定义域为x>-1。7.等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，由b_4=b_1q^3得q=2。8.圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心为(a，b)。9.绝对值函数y=|x|的图像关于y轴对称，g(x)=|x+1|是将y=|x|向左平移1个单位，故仍关于y=-x对称。10.两直线夹角θ满足tanθ=|(k_2-k_1)/(1+k_1k_2)|，代入k_1=1，k_2=-1得tanθ=∞，θ=90°。二、填空题1.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，由a_3+a_7=18得a_5=9，a_7=9，故a_5+a_9=18。2.f(log_32)=3^(log_32)=2。3.直角三角形cosA=a/c=3/5。4.向量a•b=2×(-1)+(-1)×3=-5。5.直线l的斜率k=2，与x轴的夹角θ满足tanθ=2，θ≈63.43°。6.对数函数f(x)=log_a(x)的值域为(0，+∞)。7.等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，由b_4=b_1q^3得q=2√2。8.圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，半径为r。9.绝对值函数y=|x|的图像关于y轴对称，g(x)=|x+1|是将y=|x|向左平移1个单位，故仍关于y=-x对称。10.两直线垂直时k_1k_2=-1，k_1=-1，k_2=2，k_1k_2=-2。三、判断题1.反例：a_n=1，b_n=2^n，a_n+b_n=1+2^n，既不是等差数列也不是等比数列。2.在(-∞，0)上，y=|x|=-x，是减函数。3.由5^2+12^2=13^2，故该三角形是直角三角形。4.向量a+b=(1+3，2+4)=(4，6)。5.直线l_2可化为3x-4y+1.5=0，与l_1平行，故斜率相同。6.指数函数y=a^x（a>1）在R上单调递增。