高中数学概念公式大全

高中数学概念公式大全一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与表示集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体，这些对象称为该集合的元素。元素与集合的关系是“属于”（∈）或“不属于”（∉）。集合的表示方法常用的有列举法（将元素一一列出）和描述法（用元素的共同特征描述）。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。1.2集合间的基本关系子集：若集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。真子集：若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B。1.3集合的基本运算并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。补集：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，记作∁UA，即∁UA={x|x∈U且x∉A}。1.4常用逻辑用语命题：可以判断真假的陈述句。四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。充分条件与必要条件：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充要条件。简单的逻辑联结词：“且”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）。全称量词与存在量词：全称命题（∀x∈M，p(x)）的否定是特称命题（∃x∈M，¬p(x)）；特称命题（∃x∈M，p(x)）的否定是全称命题（∀x∈M，¬p(x)）。二、函数2.1函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。2.2函数的基本性质单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或f(x₁)>f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。奇偶性：设函数f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。周期性：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2.3基本初等函数一次函数：y=kx+b（k≠0），图像是一条直线，k为斜率，b为截距。当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。二次函数：y=ax²+bx+c（a≠0），图像是抛物线。对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a)，(4ac-b²)/(4a))。当a>0时，抛物线开口向上，函数在(-∞，-b/(2a)]上单调递减，在[-b/(2a)，+∞)上单调递增，有最小值(4ac-b²)/(4a)；当a<0时，抛物线开口向下，函数在(-∞，-b/(2a)]上单调递增，在[-b/(2a)，+∞)上单调递减，有最大值(4ac-b²)/(4a)。幂函数：y=x^α（α为常数）。常见的幂函数有y=x，y=x²，y=x³，y=x^(1/2)，y=x⁻¹等，它们的图像和性质因α的不同而有所差异。指数函数：y=a^x（a>0且a≠1）。定义域为R，值域为(0，+∞)。当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。图像恒过点(0，1)。对数函数：y=logₐx（a>0且a≠1），是指数函数y=a^x的反函数。定义域为(0，+∞)，值域为R。当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。图像恒过点(1，0)。对数的性质：logₐ(MN)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM-logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM（n∈R）。换底公式：logₐb=log_cb/log_ca（a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）。2.4三角函数任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，那么sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x≠0）。同角三角函数基本关系：sin²α+cos²α=1；tanα=sinα/cosα。诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（“奇”、“偶”指的是k·π/2中k的奇偶性；“符号”指把α看作锐角时原函数值的符号）。三角函数的图像与性质：正弦函数y=sinx：定义域R，值域[-1，1]，周期2π，奇函数，在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]（k∈Z）上单调递增，在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]（k∈Z）上单调递减。余弦函数y=cosx：定义域R，值域[-1，1]，周期2π，偶函数，在[-(π)+2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ，π+2kπ]（k∈Z）上单调递减。正切函数y=tanx：定义域{x|x≠π/2+kπ，k∈Z}，值域R，周期π，奇函数，在(-π/2+kπ，π/2+kπ)（k∈Z）上单调递增。三角恒等变换：两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)二倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan2α=2tanα/(1-tan²α)辅助角公式：asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a（φ所在象限由a，b的符号确定）。2.5解三角形正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）。余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC。三角形面积公式：S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC。三、数列3.1数列的概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列可以看作是定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值。3.2等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。通项公式：an=a₁+(n-1)d（其中a₁为首项，d为公差）。前n项和公式：Sn=n(a₁+an)/2=na₁+n(n-1)d/2。性质：在等差数列{an}中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq。3.3等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q（q≠0）表示。通项公式：an=a₁q^(n-1)（其中a₁为首项，q为公比）。前n项和公式：当q=1时，Sn=na₁；当q≠1时，Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)=a₁(qⁿ-1)/(q-1)。性质：在等比数列{an}中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am·an=ap·aq。四、不等式4.1不等式的基本性质对称性：a>b⇔b<a。传递性：a>b，b>c⇒a>c。可加性：a>b⇒a+c>b+c。可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc。同向可加性：a>b，c>d⇒a+c>b+d。同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd。乘方法则：a>b>0⇒aⁿ>bⁿ（n∈N*，n≥1）。开方法则：a>b>0⇒√[n]{a}>√[n]{b}（n∈N*，n≥2）。4.2基本不等式如果a，b>0，那么(a+b)/2≥√(ab)，当且仅当a=b时，等号成立。（即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）变形：ab≤[(a+b)/2]^2；a+b≥2√(ab)（a，b>0）。4.3一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a>0），其判别式Δ=b²-4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x₁，x₂（x₁<x₂），不等式ax²+bx+c>0的解集为(-∞，x₁)∪(x₂，+∞)，不等式ax²+bx+c<0的解集为(x₁，x₂)。当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=-b/(2a)，不等式ax²+bx+c>0的解集为(-∞，x₁)∪(x₁，+∞)，不等式ax²+bx+c<0的解集为空集。当Δ<0时，方程没有实数根，不等式ax²+bx+c>0的解集为R，不等式ax²+bx+c<0的解集为空集。（注：当a<0时，可先将二次项系数化为正数，再求解。）4.4简单的线性规划在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。解决线性规划问题的步骤：①根据题意，设出变量；②找出约束条件；③确定目标函数；④作出可行域；⑤利用图解法求出最优解。五、立体几何5.1空间几何体的结构棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。5.2空间几何体的三视图与直观图三视图：正视图（从前向后看）、侧视图（从左向右看）、俯视图（从上向下看）。三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等。直观图：常用斜二测画法。其规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段。③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。5.3空间几何体的表