山东省九五联盟2026年高三9月学习质量综合评估数学试题+答案

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高三年级9月学习质量综合评估

数学

本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+i,则z·z=

A.√2B.2C.2iD.-2i

2.点(1,√2到抛物线y²=2x的焦点的距离为

A.1B.C.2D.3

3.集合M中的元素个数记为|M|,若|A|=5,|A∩B|=3,|AUB|=6,则B|=

A.1B.2C.3D.4

4.若a,b均为非零向量，则“|a+b|=a-b|”是“a⊥b”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.不全相等的正整数a,b,c,d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2,则

该组数据的极差为

A.1B.2C.3D.4

6.已知直线y=kx+b与曲线y=eˣ⁻¹和y=Inx+1均相切，则k+b=

A.1B.2C.eD.

数学试题第1页(共4页)

7.由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1(玻璃厚度忽略不计),注入体积为

x(0<x<1)的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三

棱锥，则x的最大值为

A.BCD.

8.若a>0,则关于x的方程|x²-cosx-a²|=a的实数根的个数为

A.1B.2C.3D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在锐角△ABC中，则

A.a²+b²>c²

B.sinA>cosB

C.cosA>sinB

D.sin(A+B)<cosA+cosB

10.已知三棱锥P-ABC的外接球O的半径为1,且BA⊥CA,PO⊥平面ABC,

则下列结论正确的有

A.三棱锥P-ABC为正三棱锥

B.平面PBC⊥平面ABC

C.△ABC面积的最大值为1

D.三棱锥P-ABC体积的最大值

11.将1,2,3,…,2n(n∈N,n≥3)这2n个连续正整数随机分成A,B两组，每组n

个数，A组最小数为A₁,最大数为Aₙ;B组最小数为B₁,最大数为Bₙ,则下列

结论正确的有

A.若n=3,则A₃<B₁的概率为

B.若n=3,则A₃-A₁=B₃-B₁的概率为·

C.Aₙ=n+1的概率为

D.

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的渐近线方程为则C的离心

率为·

13.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cosx(φ>0)的最大值为2,则4的最小值

为

14.已知集合A={x∈N|1≤x≤14},BcA,任取m,n,p∈B,m<n<p,都有

m+p≠2n,则集合B中元素个数的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=cosx+xsinx.

(1)判断f(x)的奇偶性并给出证明；

(2)证明：f(x)在区间有且仅有一个零点.

16.(本小题满分15分)

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长均为1,且

(1)证明：A₁B⊥AC;

(2)求平面A₁AC与平面ABC夹角的正切值.

17.(本小题满分15分)

已知椭圆的左顶点为A,下顶点为B,短轴长为4,离

心率为P(x₀,yo)是E上位于第一象限内的动点，直线PA交V轴于点M,

直线PB交x轴于点N.

(1)求E的方程；

(2)证明：四边形ABNM的面积为定值.

数学试题第3页(共4页)

18.(本小题满分17分)

盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1,2,3,…,n.从盒内每次不放回地取出

一张卡牌，直至卡牌全部取出.具体规则如下：

①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌；

②第k次取卡(2≤k≤n):若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒

内随机取出1张卡牌.

(1)已知n=6.

(i)求第2次取出的是2号卡牌的概率；

(ii)设第3次取出的卡牌编号为X,求X的分布列与数学期望；

(2)求最后一次取出的是n号卡牌的概率.

19.(本小题满分17分)

已知数列A:a,a₂,…,a的各项均为正整数，且a≤ak-1,k=2,3,…,n.定义

变换T,T将数列A变换为数列T(A):b₁,b2,…,bm,其中m=a₁,b为数列A中

不小于i的项的个数.

(1)若数列A:4,3,3,2,求T(A),并求一个数列B,满足T(B)=A(直接写

出结果即可);

(2)记S(A)为数列A的各项之和，若T(A)=A,S(A)=2027.

(i)求a₁的最小值；

(ii)求a₂的最大值，并求出a₂取得最大值时的所有满足条件的数列A.

数学试题第4页(共4页)

高三年级9月学习质量综合评估

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

题号12345678

答案BBDCBAAD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABDBCDBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．；13．；14．8.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】

（1）f(x)为偶函数.···············································································2分

证明：f(x)的定义域为(，)，关于原点对称；

f(x)cos(x)(x)sin(x)cosxxsinxf(x)，

所以f(x)为偶函数.················································································5分

（2）因为f(x)-sinx+sinx+xcosxxcosx，··············································7分

因为x，，所以cosx≤0，································································8分

所以f(x)在，上单调递减，

所以f'(x)xcosx＜0.·············································································9分

因为f()＞0，f()=1＜0，······························································11分

由零点存在定理可得f(x)在，有且仅有一个零点.·······························13分

16．【解析】

（1）取AC中点为M，连接BM，A1M，A1B，

由△ABC和△A1AC为正三角形可知MBAC，MA1AC，···························2分

数学试题答案第1页（共4页）

又MB,MA₁c平面MBA₁,且MB∩MA=M.

故AC1平面MBA,……………4分

又A₁Bc平面MBA,故ACIBA.·……6分

(2)由题意可知A₁ABC为正四面体，所以点A₁在平面ABC上的射影ABC的中心，记该

点为H,…………8分

所以∠AMH为二面角4-AC-B的平面角，记为θ0………9分

在△ABC中，解得

所以.………11分

又因为

则1

所以平面A₁AC与平面ABC夹角的正切值为2√2.……………15分

17.【解析】

(1)由题意：2b=4,所以b=2.

因为,所以a=3,c=√5,

所以E的方程为………………4分

(2)证明：由(1)可知A(-3,0),B(0,-2).

直线PA的方程为.令x=0,得

直线PB的方程为,令y=0,得1.……………6分

因为四边形ABMN的对角线互相垂直，所以，.…………8分

因为

……………12分

数学试题答案第2页(共4页)

1

所以S126.

ABMN2

所以四边形ABNM的面积为定值...................................................................................15分

18．【解析】

（1）（i）第2次取出的是2号卡牌等价于第1次取出的不是2号卡牌，

所以P.···························································································3分

（ii）X的取值为1，3，4，5，6.··································································4分

当X3时，可分为第1次取1，4，5，6号卡牌和第1次取2号卡牌两类情况：

所以PX3，················································6分

因为P(X3)1，且1，4，5，6四张卡牌等可能被抽取到.

所以P(X1)P(X4)P(X5)P(X6)，

X13456

14111

P

205202020

EX13456.········································9分

（2）记盒中装有编号1,2,,n的n张卡牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为Pn.

第1次取卡分为三类互斥事件：

第1次取出1号卡牌，概率为，后续依次取出2，3，，n1号卡牌，则最后一次取出

①的是n号卡牌；

第1次取出n号卡牌，概率为，最后一次取出的不可能是n号卡牌；

②

第1次取出m号卡牌，2mn1，概率为；第2，，m1次按规则取出2，，m1，

③第m次在剩余nm1张卡牌中等概率抽取，该子问题等价规模为nm1的原型.

1

所以PnPi，整理得nPn1Pi，···············································13分

i2

同理对n1：(n1)Pn11Pi，

i2

两式相减nPn(n1)Pn1Pn1，nPnnPn1PnPn1，所以{Pn}是常数列，

又n2，P2，故对任意整数n2，Pn.

所以最后一次取出的是n号卡牌的概率为.··············································17分

数学试题答案第3页（共4页）

19．【解析】

（1）T(A):4，4，3，1；·············································································1分

B:4，4，3，1.·························································································3分

（2）由题意知，T(A)中的最大项即为A的项数，

结合T(A)A，得a1n，·········································································2分

22

故S(A)aia1na1a1，即a12027，

i1i1

*

注意到a1N，故a146.·······································································5分

A:46，45，45，，45，1

注意到数列,

44个

满足S(A)2027，且T(A)A．存①在数列式满足要求，

故a1的最小值为46.···························①·····················································8分

（3）设a1r，a2s，则数列A共有r项，且有s项不小于2，

rsr

故S(A)aia1a2ai+airs2(s2)(rs)2(rs)4，···········10分

i1i3is1

，，，

由题意akak1，k23n，故rs，

从而S(A)2(rs)44s4，

注意到sN*，故s507.······································································12分

若a1509，且a2507，则数列A有且仅有两个1，则

S(A)509507505212028，不符合题意；··································13分

若a1508，且a2507，则数列A有且仅有一个1，则

S(A)508507a3a50711016a3a507，

故a3a5071011，注意到ai2，故只能a33，a4a5a5072，

A:508，507，3，2