第七章　第36课时　专题强化：动量守恒在“子弹打木块”模型和“滑块-木板”模型中的应用

第36课时专题强化：动量守恒在“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型中的应用目标要求1.会用动量观点和能量观点分析计算“子弹打木块”模型。2.会用动量观点和能量观点分析计算“滑块—木板”模型。考点一“子弹打木块”模型1.模型图示2.模型特点(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。(2)系统的机械能有损失。3.两种情景(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)动量守恒：mv0=(M+m)v能量守恒：Q=Ff·s=12mv02-12(M+(2)子弹穿透木块动量守恒：mv0=mv1+Mv2能量守恒：Q=Ff·d=12mv02-(12mv1例1如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980g的长方形匀质木块，现有一质量为20g的子弹以大小为300m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10cm，子弹打进木块的深度为6cm。设木块对子弹的阻力保持不变。(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能。(2)若子弹是以大小为400m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，通过计算判断子弹能否射穿该木块？答案(1)6m/s882J(2)见解析解析(1)设子弹射入木块后与木块的共同速度为v，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0=(M+m)v，代入数据解得v=6m/s此过程系统所产生的内能Q=12mv02-12(M+m)v(2)假设子弹以v0'=400m/s的速度入射时没有射穿木块，则对以子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0'=(M+m)v'解得v'=8m/s此过程系统损失的机械能为ΔE'=12mv0'2-12(M+m)v'2=1568由功能关系有Q=ΔE=F阻x相=F阻dΔE'=F阻x相'=F阻d'则ΔEΔE'=F阻dF阻因为d'>10cm，所以子弹能射穿木块。拓展在例1中，若子弹能射穿木块，则：(1)当子弹射入的速度增大时，下列说法正确的是。

A.木块最终获得的动能变大B.子弹损失的动能变大C.子弹穿过木块的时间变短D.木块在被击穿过程中的位移变小(2)在木块固定和不固定的两种情况下，以下说法正确的是。

A.若木块固定，则子弹对木块的摩擦力的冲量为零B.若木块不固定，则子弹减小的动能等于木块增加的动能C.不论木块是否固定，两种情况下木块对子弹的摩擦力的冲量大小相等D.不论木块是否固定，两种情况下子弹与木块间因摩擦产生的热量相等答案(1)CD(2)D解析(1)子弹的入射速度越大，子弹击穿木块所用的时间越短，木块相对地面的位移越小，但子弹相对木块的位移不变，C、D正确；木块动能的增加量ΔEk=Ffx，木块对子弹的阻力恒定，由木块相对地面的位移变小可知木块动能的增加量变小，即木块最终获得的动能变小，子弹相对地面的位移也变小，子弹克服阻力做功变小，子弹损失的动能也变小，A、B错误。(2)若木块固定，子弹在木块中运动的时间t不为零，摩擦力Ff不为零，则子弹对木块的摩擦力的冲量I=Fft不为零，A错误；若木块不固定，子弹减小的动能等于木块增加的动能与系统增加的内能之和，可知子弹减小的动能大于木块增加的动能，B错误；木块固定时子弹射出木块所用时间较短，木块不固定时子弹射出木块所用时间较长，摩擦力大小相等，则木块不固定时木块对子弹的摩擦力的冲量更大，C错误；不论木块是否固定，因摩擦产生的热量等于摩擦力与木块长度的乘积，摩擦力与木块长度都不变，因此两种情况下子弹与木块间因摩擦产生的热量相等，D正确。例2(2025·江苏苏州市模拟)如图所示，两物体A和B并排静置于光滑水平地面，它们的质量均为M=0.5kg；质量m=0.1kg的子弹以v0=34m/s的水平速度从左边射入A，射出物体A时A的速度vA=2m/s，子弹紧接着射入B中，最终子弹未从B中穿出。子弹在物体A和B中所受阻力相同且一直保持不变，A的长度为LA=0.23m，不计空气阻力，g取10m/s2。(1)求物体B最终的速度大小vB；(2)求子弹穿过A的过程中摩擦产生的热量Q；(3)求物体B的最小长度LB。答案(1)4m/s(2)46J(3)0.03m解析(1)从子弹射入A到子弹与B共速过程，由动量守恒有mv0=MvA+(M+m)vB解得vB=4m/s(2)从子弹射入A到穿出，由动量守恒有mv0=mv1+2MvA解得v1=14m/s由能量守恒Q=12mv02-12mv12解得Q=46J(3)子弹从射入A到与B共速的过程中，摩擦产生的热量Q总=12mv02-12MvA2-1解得Q总=52J由Q=Ffx得Q总Q可得x总=0.26m故物体B的最小长度LB=x总-LA=0.26m-0.23m=0.03m考点二“滑块—木板”模型1.模型图示2.模型特点(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。3.求解方法(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q=FfΔx或Q=E初-E末，研究对象为一个系统。例3质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=1.5m，现有一质量为m2=0.2kg、可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.5，g取10m/s2，求：(1)物块与小车的共同速度大小；(2)从开始到共速，物块运动的位移大小x1；(3)从开始到共速，小车运动的位移大小x2；(4)在此过程中系统产生的内能；(5)若物块不滑离小车，物块的初速度不能超过多少。答案(1)0.8m/s(2)0.336m(3)0.096m(4)0.24J(5)5m/s解析(1)设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有m2v0=(m1+m2)v解得v=m2v0(2)对物块，根据动能定理有μm2gx1=12m2v02-12解得x1=0.336m(3)对小车，根据动能定理有μm2gx2=12m1v2-0，解得x2=m1v(4)方法一Δx=x1-x2=0.24mQ=μm2g·Δx=0.24J方法二Q=ΔE=12m2v02-12(m1+m=0.24J(5)设物块最大初速度为v0'，由动量守恒和能量守恒有m2v0'=(m1+m2)v'12m2v0'2-12(m1+m2)v'2=μm联立解得v0'=5m/s。拓展在例3中，若增大物块与小车间的动摩擦因数，则因摩擦产生的内能将(填“增大”“减小”或“不变”)。

答案不变例4(2025·江苏苏州市期末)如图所示，P为固定挡板，质量为2m的长木板A以水平初速度v0沿光滑水平面向右运动。某时刻质量为m的小物块B(可视为质点)轻轻放到A的右端，第一次达到共同速度后，B与P发生碰撞，一段时间后B与A第二次达到共同速度，之后B与P发生了多次碰撞，B始终未从A上滑落。已知A、B间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，B与P发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短。求：(1)A、B第一次共速时的速度大小v1；(2)A、B从开始到第二次达到共同速度过程中，B对A做的功W；(3)A的最小长度L。答案(1)23v0(2)-7781mv02解析(1)从B放上A到第一次达到共同速度v1，规定向右为正方向，对A、B系统，根据动量守恒有2mv0=(m+2m)v1解得v1=23v(2)B与P碰撞后，速度反向，大小不变，从B与P第一次碰撞后到第二次达到共同速度v2，取向右为正方向，由动量守恒定律有2mv1-mv1=3mv2解得v2=13v1=29从开始到第二次达到共同速度过程中，对A运用动能定理有W=12×2mv22-12解得B对A做的功W=-7781m(3)整个过程中，B相对于A一直向左运动，最终两者速度都为零，设两者相对运动的距离为x，对A、B系统由能量守恒有12×2mv0解得x=v则为使整个运动过程中B不从A上滑落，A的最小长度L=x=v0两种典型的“滑块—木板”模型模型地面光滑，木板足够长且初速度为零，滑块冲上木板地面光滑，木板足够长且有初速度，滑块反向冲上木板作用过程示意图运动的v-t图像课时精练[分值：50分][1~3题，每题4分]1.如图所示，两颗质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上的滑块A、B后与滑块一起运动。两滑块质量相同、材料不同，子弹在A中受到的平均阻力是在B中受到的平均阻力的两倍。下列说法正确的是()A.射入滑块A的子弹最终速度小B.射入滑块A的子弹受到的阻力的冲量大C.子弹射入滑块A中的深度是射入滑块B中深度的两倍D.两种情况子弹对滑块做的功相等答案D解析设子弹的初速度为v，子弹与滑块共同速度为v'，子弹和滑块的质量分别为m、M，取向右为正方向，根据动量守恒定律可知mv=(m+M)v'，解得v'=mvm+M，由于两滑块质量相同，子弹质量也相同，则最后共同速度也相同，故A错误；子弹的质量相同，初、末速度相同，则子弹的动量变化量相等，根据动量定理可知I=Δp，子弹受到的阻力的冲量相等，故B错误；根据能量守恒定律可知，两过程中系统产生的热量等于系统减小的机械能，故两过程系统产生的热量相同，由Q=Ffd，其中子弹在A中受到的平均阻力是在B中受到的平均阻力的两倍，可知子弹射入滑块B中的深度是射入滑块A中深度的两倍，故C2.(来自教材改编)如图所示，将质量为M的沙箱用长为l的不可伸长的轻绳悬挂起来，一颗质量为m的子弹水平射入沙箱(未穿出)，沙箱摆动的最大摆角为α(α<π2)。摆动过程中，沙箱可视为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，则子弹将要射入沙箱时的速度大小等于(A.MB.MC.2(D.2(答案B解析设子弹射入沙箱后整体速度为v，由机械能守恒有12(m+M)v2=(m+M)gl(1-cosα)，设子弹将要射入沙箱时的速度大小为v0，规定向右为正方向，子弹射入沙箱过程，由动量守恒有mv0=(m+M)v，联立解得v0=M+m3.(2025·江苏海安市检测)如图所示，有一个质量为M的足够长的木板，正以水平向左大小为v的速度在光滑水平面上滑行，同时有一个质量为m的滑块以大小为v的速度向右滑上木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，M>m，以下分析正确的是()A.仅增大μ，摩擦产生的热量不变B.仅增大μ，摩擦产生的热量增大C.仅增大M，滑块相对木板滑行的距离变小D.仅增大m，滑块相对木板滑行的时间变长答案A解析由滑块和木板组成的系统动量守恒，则Mv-mv=(m+M)v共，根据能量守恒定律可得Q=12Mv2+12mv2-12(m+M)v共2，所以Q=2Mmm+Mv2，由此可知，仅增大μ，摩擦产生的热量不变，故A正确，B错误；由于Q=2Mmm+Mv2=2mmM+1v2，Q=μmgx相对4.(8分)如图所示，一质量m1=0.45kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量m2=0.5kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ=0.5。现有一质量m0=0.05kg的子弹以v0=100m/s的水平速度射中小车左端，并留在小车中，子弹与小车相互作用时间很短。g取10m/s2，求：(1)(3分)子弹射入小车后，小车的速度大小v1；(2)(5分)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少。答案(1)10m/s(2)5m解析(1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0=(m0+m1)v1代入数据解得v1=10m/s。(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与小车共速时，共同速度为v2，小物块与小车相对位移大小为L，由动量守恒定律和能量守恒定律有(m0+m1)v1=(m0+m1+m2)v2μm2gL=12(m0+m1)v12-12(m0+m1+联立解得L=5m故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5m。[5题4分]5.(2025·浙江1月选考·8)如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C(可视为质点)置于B的右端，三者质量均为1kg。A以4m/s的速度向右运动，B和C一起以2m/s的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，重力加速度g取10m/s2，则()A.碰撞瞬间C相对地面静止B.碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2sC.碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为12JD.碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m答案D解析碰撞瞬间C相对地面向左运动，选项A错误；设水平向右为正方向，则A、B碰撞过程由动量守恒mvA-mvB=2mv1，解得v1=1m/s方向向右；当三者共速时2mv1-mvC=3mv，解得v=0，即最终三者一起静止，可知经历的时间t=vCμg=20.5×10s=0.4碰撞后到三者相对静止时由摩擦产生的热量Q=12×2mv12+12mvC2碰撞后到三者相对静止由能量关系可知Q=μmgx相对可得x相对=0.6m，选项D正确。6.(11分)(2025·江苏省四市联考期末)如图所示，质量为m的物体B由半径为r的光滑14圆弧轨道和长为L的粗糙水平轨道组成，静止于光滑水平地面。现将质量也为m的小物块A(可视为质点)从圆弧轨道顶端P点由静止释放，经时间t到达圆弧轨道底端Q点后滑上水平轨道，恰好没有滑出B。已知OP为圆弧轨道的水平半径，重力加速度为g(1)(2分)求小物块A从P到Q过程中重力的冲量I；(2)(4分)求小物块A从P到Q过程中对物体B做的功W；(3)(5分)若小物块A以水平初速度从物体B的最右端滑上B，最终不滑出B，求初速度的最大值vm。答案(1)mgt，方向竖直向下(2)12mgr(3)2解析(1)由冲量的定义式得I=mgt，方向竖直向下。(2)A从P到Q过程对物体B做的功等于B的动能的增加量，W=12mvB2，对A、B组成的系统由水平方向动量守恒有mvB+由机械能守恒定律有mgr=12mvB2+联立解得W=12(3)由A、B水平方向的动量守恒，最终A、B速度为零，可得mgr=μmgL当A有最大初速度vm且恰好能回到B的右端，取水平向左为正方向，对A、B组成的系统由水平方向动量守恒有mvm=2mv由机械能守恒有2μmgL=12mvm2-12联立解得vm=22gr7.(15分)(2025·江苏宿迁市三模)如图所示，长L=1m的轻质板C静止在光滑水平面上，小物块A、B(均可视为质点)分别静置在板C的左右两端，质量mA、mB均为1kg，A、B与C间的动摩擦因数分别为μA=0.4、μB=0.2。现给A施加水平向右的推力，使它们开始运动。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B间的碰撞为弹性碰撞，重力加速