新人教版高中数学必修第一册 3.1　3.1.2　第1课时　函数的表示法 教案

3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法(教师独具内容)课程标准：1.掌握函数的三种表示方法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.掌握求函数解析式的常见方法．教学重点：1.函数的三种表示方法.2.求函数的解析式．教学难点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．核心素养：1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养.2.借助函数解析式的求法提高数学运算素养.知识点一函数的表示法(1)解析法：eq\x(\s\up1(01))用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.(2)列表法：eq\x(\s\up1(02))列出表格来表示两个变量之间的对应关系.(3)图象法：eq\x(\s\up1(03))用图象表示两个变量之间的对应关系.知识点二描点法作函数图象的三个步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来．(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．函数三种表示法的几点说明(1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去．(3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()(4)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．()(5)函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．做一做(1)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x<222<x≤4f(x)123A．1 B．2C．3 D．不存在(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________.(3)已知正比例函数f(x)满足f(2)＝4，则f(x)的解析式为________.(4)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x＋1，则f(2)＝________.(5)若f(x)＝2x＋1，则f(x＋1)＝________.答案(1)C(2)[－2,3](3)f(x)＝2x(4)eq\f(3,2)(5)2x＋3题型一函数表示法例1已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋eq\f(b,x).当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象．[解](1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)＝100，,14a＋\f(b,14)＝28.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝196.))所以t＝x＋eq\f(196,x).又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N*}．所以函数t的解析式为t＝x＋eq\f(196,x)(0<x≤20，x∈N*)．(2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示．函数的三种表示法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．[跟踪训练1]某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解①列表法：x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000②图象法：如图所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}.题型二函数图象的作法及应用例2作出下列函数的图象，并指出其值域：(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)；(3)y＝eq\f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)．[解](1)因为函数的定义域为Z，所以其图象为离散的点．其图象如图①所示．由图可知y＝－x＋1，x∈Z的值域为Z.(2)因为y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x<3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图②所示．由图可知y＝2x2－4x－3(0≤x<3)的值域为[－5,3)．(3)用描点法可以作出函数的图象如图③所示．由图可知y＝eq\f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．画函数图象的两种常用方法及关注点(1)描点法一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．(3)关注点①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．[跟踪训练2]作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝x2－2x，x∈[0,3)；(3)y＝eq\f(1,x).解(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5.所画图象如图①所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图②所示．(3)函数图象如图③所示．题型三函数解析式的求法例3(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)的解析式；(2)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式；(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，求f(x)的解析式；(4)设f(x)是R上的函数，f(0)＝1，并且对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，求f(x)．[解](1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－6，))所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.(2)解法一：(换元法)令eq\r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二：(配凑法)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因为eq\r(x)＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)在已知等式中，将x换成eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq\f(1,x)，与已知方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x)，))消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，得f(x)＝－eq\f(x,3)＋eq\f(2,3x).(4)由已知条件得f(0)＝1，f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)．令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋(－x)(2x＋1)．所以f(x)＝2x2＋x＋1.[条件探究]若将本例(1)中“4x＋6”改为“9x＋4”，求f(解由例3(1)知f(f(x))＝a2x＋ab＋b＝9x＋4.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,ab＋b＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－2.))所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.函数解析式的求法求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等．(1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2.(2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式．(3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式．一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法．(5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值．[跟踪训练3]求下列函数的解析式：(1)已知f(eq\r(x)－1)＝x，求f(x)的解析式；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，求f(x)的解析式；(3)已知2f(x－1)－f(1－x)＝2x2－1，求二次函数f(x解(1)令t＝eq\r(x)－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2.∴f(t)＝(t＋1)2(t≥－1)．∴f(x)的解析式为f(x)＝(x＋1)2，x≥－1.(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＋1，eq\f(1,x)≠0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))≠1，f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．(3)令x－1＝t，则1－x＝－t，x＝t＋1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ft－f－t＝2t＋12－1，,2f－t－ft＝2－t＋12－1.))解得f(t)＝2t2＋eq\f(4,3)t＋1.即二次函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋eq\f(4,3)x＋1.1．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－1)＋f(0)＋f(1)等于()A．2 B．－2C．0 D．1答案C解析由图知f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝－1＋0＋1＝0.2．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝()A．2x＋1 B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7答案B解析由f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，故g(x)＝2x－1.3．已知函数y＝f(x)由表格给出，若f(a)＝3，则a＝________.x345f(x)23－1答案4解析满足f(a)＝3，只有a＝4才符合题意．4．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是________.答案f(x)＝3x－1解析令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．解(1)f(x)图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．一、选择题1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(3))的值为()x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0答案A解析由y＝g(x)的图象与y＝f(x)的对应关系表可知g(3)＝2，f(2)＝3，所以f(g(3))＝f(2)＝3.2．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……：用S1，S2分别表示乌龟和兔子所走的路程，x为时间，则如下图所示的图象中与故事情节相吻合的是()答案D解析由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加；对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点．故选D.3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5⇒f(x)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x.4．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0<x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)答案D解析由周长为20，腰长为x，所以底边长y＝20－2x，又20－2x>0，所以x<10，又三边长必须构成三角形，所以2x>y，又2x＋y＝20，所以x>5，故y＝20－2x(5<x<10)．5．定义两种运算：a⊕b＝eq\r(a2－b2)，a⊗b＝eq\r(a－b2)，则函数f(x)＝eq\f(2⊕x,x⊗2－2)的解析式为()A．f(x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，x∈[－2,0)∪(0,2]B．f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x)，x∈[－2,0)∪(0,2]C．f(x)＝－eq\f(\r(4－x2),x＋1)，x∈[－2，－1)∪(－1,2]D．f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋1)，x∈[－2，－1)∪(－1,2]答案A解析因为2⊕x＝eq\r(4－x2)，x⊗2＝eq\r(x－22)，则f(x)＝eq\f(\r(4－x2),\r(x－22)－2).又4－x2≥0，所以－2≤x≤2，于是f(x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，定义域为{x|－2≤x≤2且x≠0}．故选A．二、填空题6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2020年5月1日1250002020年5月15日485600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．答案8解析由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量为48÷6＝8升．7．已知函数f(2x－1)＝4x2(x>0)，则f(x)＝________.答案x2＋2x＋1(x>－1)解析设t＝2x－1，所以x＝eq\f(t＋1,2)，因为x>0，所以t>－1，所以f(t)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1,2)))2＝t2＋2t＋1，所以函数解析式为f(x)＝x2＋2x＋1(x>－1)．8．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________.答案－1解析因为g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，所以g(f(x))＝eq\f(1,4)[(2x＋a)2＋3]＝eq\f(1,4)(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.三、解答题9．作出下列函数的图象并写出其值域：(1)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．解(1)列表：x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq\f(2,x)的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)的解析式．解(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f((2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.(3)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋3，所以f(x)＝x2＋3.1．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则fA．－eq\f(16,3) B．－eq\f(20,3)C．eq\f(20,3) D．eq\f(16,3)答案C解析由2f(x)＋f(－x)＝3x＋2得2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2，消去f(－x)得f(x)＝3x＋eq\f(2,3)，所以f(2)＝eq\f(20,3).2．(多选)已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于eq\r(x)成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3，则下列说法正确的是()A．f(x)＝2x2＋eq\f(3,\r(x))B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)C．f(4)＝eq\f(67,2)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2,x2)－3eq\r(x)答案BD解析对于A，设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)＝eq\f(k2,\r(x))(k2∈R，且k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－eq\f(3,\r(x))，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，故B正确；对于C，f(4)＝2×42－eq\f(3,\r(4))＝eq\f(61,2)，故C错误；对于D，令eq\f(1,x)＝t，则x＝eq\f(1,t)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))＝eq\f(2,t2)－3eq\r(t)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2,x2)－3eq\r(x)，故D正确．故选BD.3．已知对任意的x，y∈N*，都有f(x＋y)＝f(x)f(y)．若f(1)＝3，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋…＋eq\f(f2021,f2020)