2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册教学课件：2.2.2　直线的两点式方程

2.2.2直线的两点式方程目

标

素

养知

识

概

览根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式及截距式方程,并会熟练应用,提升数学抽象和数学运算等核心素养.课前·基础认知直线的两点式与截距式方程

名称两点式截距式已知条件直线经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2直线在x轴上截距为a,在y轴上截距为b示意图名称两点式截距式方程__________________________适用条件斜率存在,且不为0a≠0,且b≠0微思考(1)过(1,3)和(1,5)两点的直线能用两点式表示吗?为什么?过(2,3),(5,3)两点的直线呢?提示:不能,因为1-1=0,而0不能作分母.同理过点(2,3),(5,3)的直线也不能用两点式表示.(2)截距式方程能否表示过原点的直线?提示:不能,在截距式方程中,ab≠0,即有两个非零截距,故截距式方程不能表示过原点的直线.(3)截距式方程能否表示与坐标轴平行的直线?提示:不能,当直线与x轴平行时,横截距不存在;当直线与y轴平行时,纵截距不存在.微训练(1)直线3x-2y=4的截距式方程是(

).答案:D解析:求直线方程的截距式,必须把方程化为

=1的形式,即右边为1,左边是和的形式.(2)过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(

).答案:C解析:由截距式得所求直线的方程为

=1.课堂·重难突破一

直线的两点式方程典例剖析1.已知三角形的顶点是A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1),求这个三角形三边所在直线的方程.解:如图,直线AB过两点A(1,3),B(-2,-1),其两点式方程为

,整理得直线AB的方程为4x-3y+5=0.直线AC垂直于x轴,其方程为x=1.直线BC平行于x轴,其方程为y=-1.规律总结利用两点式求直线方程的策略:

当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下,也可以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式写方程.学以致用1.过(1,1),(2,-1)两点的直线方程为(

).A.2x-y-1=0 B.x-2y+3=0C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0答案:C解析:∵直线过两点(1,1)和(2,-1),整理得2x+y-3=0,故选C.二

直线的截距式方程典例剖析2.求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解:①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,即x-y+1=0.②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时,即直线l过原点,设直线l的方程为y=kx.因为直线l过点A(3,4),所以规律总结当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑截距为0的情况.学以致用2.(1)若将典例剖析2中点A的坐标改为“A(-3,-4)”,其他条件不变,又如何求解?(2)若将典例剖析2中“截距互为相反数”改为“截距相等”

,其他条件不变,又如何呢?当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx.因为直线l过点A(-3,-4),所以直线l的方程为4x-3y=0.综上,直线l的方程为x-y-1=0或4x-3y=0.所以直线l的方程为x+y-7=0.当截距为0时,设直线l的方程为y=kx,综上,直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0.三

直线方程的综合应用典例剖析3.直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2,两截距之差为3,求直线l的方程.解:由题设知,直线l不过原点,且在x轴、y轴上的截距都大于0,规律总结利用截距求面积问题的解题策略:(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便.(2)从题意看,本题只告诉了截距之间的关系,因此解题时,设出了直线的截距式方程,由于不知截距的大小,因此,需要进行分类讨论.学以致用3.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,若直线过定点A(-3,4),求直线l的方程.解:由题意知,直线l的斜率存在,且不为0,设直线l的方程是所以直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.随堂训练1.过(-2,1)和(1,4)两点的直线方程为(

).A.y=x+3 B.y=-x+1C.y=x+2 D.y=-x-2答案:A2.经过P(4,0),Q(0,-3)两点的直线方程是(

).答案:C3.过点P(4,-3)且在两坐标轴上截距相等的直线有(

).A.1条