第2章　第5讲　指数与指数函数

第五讲指数与指数函数知识梳理知识点一指数与指数运算1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数eq\r(n,a)零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数±eq\r(n,a)(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式①eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0，))n为偶数.))②(eq\r(n,a))n＝a(注意a必须使eq\r(n,a)有意义)．2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)正数的负分数指数幂是aeq\s\up7(－\f(m,n))＝eq\f(1,eq\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．3．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．知识点二指数函数的图象与性质指数函数的概念、图象和性质定义函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数归纳拓展1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1，eq\f(1,a))).2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq\r(4,－44)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.((3)aeq\s\up7(－\f(m,n))＝－aeq\s\up7(\f(m,n))(n，m∈N*)．()(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[解析](1)由于eq\r(4,－44)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)错误；(2)2a·2b＝2a＋b，故(2)错误；(3)错误，aeq\s\up7(－\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up7(\f(m,n)))；(4)当a>1时，y＝ax是增函数，则m<n，当0<a<1时，y＝ax是减函数，则m>n，故(4)错误．题组二走进教材2．(必修1习题4.1T1改编)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up7(\f(1,2))B．xeq\s\up7(－\f(3,4))＝eq\r(4,eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,x)))3)(x>0)C．eq\r(6,y2)＝yeq\s\up7(\f(1,3))D．[eq\r(3,－x2)]eq\s\up7(\f(3,4))＝xeq\s\up7(\f(1,2))(x<0)[答案]B[解析]根据指数幂的运算法则化简判断即可．－eq\r(x)＝－xeq\s\up7(\f(1,2))，故A不成立；xeq\s\up7(－\f(3,4))＝eq\r(4,eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,x)))3)(x>0)，故B成立；eq\r(6,y2)＝|y|eq\s\up7(\f(1,3))，故C不成立；[eq\r(3,－x2)]eq\s\up7(\f(3,4))＝eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(－xeq\s\up7(\f(2,3))))eq\s\up7(\f(3,4))＝(－x)eq\s\up7(\f(1,2))，x<0，故D不成立．故选B．3．(必修1习题4.1T4改编)化简eq\r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y[答案]D[解析]因为x<0，y<0，所以eq\r(4,16x8y4)＝(16x8·y4)eq\s\up7(\f(1,4))＝(16)eq\s\up7(\f(1,4))·(x8)eq\s\up7(\f(1,4))·(y4)eq\s\up7(\f(1,4))＝2x2|y|＝－2x2y.故选D．4．(必修1P117表4.2－3变式)设a∈R，若函数f(x)＝(a－1)x为指数函数，且f(2)>f(3)，则a的取值范围是()A．1<a<2 B．2<a<3C．a<2 D．a<2且a≠1[答案]A[解析]由函数f(x)＝(a－1)x为指数函数，知a>1且a≠2.当a>2时，函数f(x)＝(a－1)x单调递增，有f(2)<f(3)，不符合题意，舍去；当1<a<2时，函数f(x)＝(a－1)x单调递减，有f(2)>f(3)，符合题意．故选A．题组三走向考场5．(多选题)(2026·云南昆明模拟)已知10a＝2，102b＝5，则下列结论正确的是(A．a＋2b＝1 B．ab<eq\f(1,8)C．10a＋b>4 D．a>[答案]ABC[解析]因为10a·102b＝10a＋2b＝10，所以a＋2b＝1，A正确；易知a>0，b>0，由基本不等式得a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8)，当且仅当a＝2b＝eq\f(1,2)时取等号，又10a≠102b，即a≠2b，所以ab<eq\f(1,8)，B正确；由102b＝5得10b＝eq\r(5)，10a＋b＝2eq\r(5)>4，C正确；10a＝2<eq\r(5)＝10b，∴a<b，D错误．6．(2023·天津卷)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c[答案]D[解析]∵f(x)＝1.01x单调递增，∴f(0.5)<f(0.6)，即a<b.∵g(x)＝x0.5单调递增，∴g(1.01)>g(0.6)，即a>c，∴b>a>c，故选D．指数与指数运算——自主练透求值与化简(1)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,2)))eq\s\up7(－\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－eq\f(7,6)))0＋8eq\s\up7(\f(1,4))×eq\r(4,2)－eq\r(eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－eq\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3)))；(2)eq\f(aeq\s\up7(\f(2,3))eq\r(b),aeq\s\up7(－\f(1,2))·eq\r(3,b))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(a－1eq\r(b－1),beq\r(a))))eq\s\up7(－\f(2,3))(a，b>0)；(3)已知a>0，aeq\s\up7(\f(1,2))＋aeq\s\up7(－\f(1,2))＝3，求eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)的值．[解析](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,3))×1＋2eq\s\up7(\f(3,4))×2eq\s\up7(\f(1,4))－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,3))＝2.(2)原式＝eq\f(aeq\s\up7(\f(2,3))·beq\s\up7(\f(1,2)),aeq\s\up7(－\f(1,2))·beq\s\up7(\f(1,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(a－1·beq\s\up7(－\f(1,2)),b·aeq\s\up7(\f(1,2)))))eq\s\up7(－\f(2,3))＝eq\f(aeq\s\up7(\f(2,3))·beq\s\up7(\f(1,2)),aeq\s\up7(－\f(1,2))·beq\s\up7(\f(1,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(aeq\s\up7(－1－\f(1,2))beq\s\up7(－\f(1,2)－1)))eq\s\up7(－\f(2,3))＝aeq\s\up7(\f(2,3)＋\f(1,2))beq\s\up7(\f(1,2)－\f(1,3))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(aeq\s\up7(－\f(3,2))beq\s\up7(－\f(3,2))))eq\s\up7(－\f(2,3))＝aeq\s\up7(\f(7,6))beq\s\up7(\f(1,6))÷ab＝aeq\s\up7(\f(7,6)－1)beq\s\up7(\f(1,6)－1)＝aeq\s\up7(\f(1,6))beq\s\up7(－\f(5,6)).(3)将aeq\s\up7(\f(1,2))＋aeq\s\up7(－\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.名师点拨：指数幂运算的一般原则1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象与性质考向1指数函数的图象及应用——师生共研1．(多选题)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为()A．a＝b B．0<b<aC．a<b<0 D．0<a<b[答案]ABC[解析]由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝62．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.[答案](0，2)[解析]在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0，2)．名师点拨：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【变式训练】(多选题)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0 B．0<a<1，0<b≤1C．a>1，b<0 D．a>1，0<b≤1[答案]ABC[解析]若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A、B正确；若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．考向2指数函数的性质及其应用——多维探究角度1比较指数幂的大小(2026·四川阶段检测)已知a－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))a＝0，b＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))eq\s\up10(\r(a))，c＝aa，则()A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a[答案]C[解析]令f(x)＝x－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))x，易知f(x)在R上单调递增，由f(1)>0，feq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))<0，得∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，1))，使得f(x)＝0，故a∈eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，1)).因为b＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))eq\s\up10(\r(a))，a＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))a，且a<eq\r(a)，所以由指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))x在R上单调递减，可得a>b，又由指数函数y＝ax在R上单调递减，可得aa>a1，所以c＝aa>a，故b<a<c.故选C．角度2解简单的指数方程或不等式1．已知函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)，若f(－3)<f(4)，则不等式f(x2－2x)≤f(3)的解集为()A．(－1，3)B．[－1，3]C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．[－1，0)∪(0，2)∪(2，3][答案]B[解析]因为函数f(x)＝a|x|的定义域为R，且f(－x)＝a|－x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)，因为f(－3)<f(4)，则f(|－3|)<f(4)，即f(3)<f(4)，所以a>1，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x2－2x)≤f(3)可以转化为f(|x2－2x|)≤f(3)，则|x2－2x|≤3，解得－1≤x≤3.故选B．2．已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.[答案]eq\f(1,2)[解析]①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq\f(1,2)；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a角度3指数函数性质的综合应用已知函数f(x)＝eq\f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．[解析](1)f(x)＝eq\f(1,a)·2x＋eq\f(1,2x)，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(1,a)·eq\f(1,2x)＋2x＝－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)·2x＋eq\f(1,2x)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(2x＋eq\f(1,2x)))＝0，即eq\f(1,a)＋1＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知a＝－1，所以f(x)＝eq\f(1,2x)－2x，x∈[1，2]，所以eq\f(1,22x)－22x≥meq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2x)－2x))，所以m≥eq\f(1,2x)＋2x，x∈[1，2]，令t＝2x，t∈[2，4]，设y＝eq\f(1,2x)＋2x，则y＝t＋eq\f(1,t)，t∈[2，4]，由于y＝t＋eq\f(1,t)在[2，4]上单调递增，所以m≥4＋eq\f(1,4)＝eq\f(17,4).所以实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(17,4)，＋∞)).名师点拨：1．利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．2．求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．【变式训练】1．(角度1)(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(4,3)))－0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))0.3，则()A．c<b<a B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a[答案]D[解析]a＝1.30.6>1.30＝1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(4,3)))－0.4＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))0.3，因为指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))x是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))0.4<eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))0.3<eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3,4)))0＝1，所以b<c<1，所以b<c<a.2．(角度2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,xeq\s\up7(\f(1,2))，x≥1，))则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.[答案](－∞，4][解析]当x<1时，由2x－1≤2，得x<1；当x≥1时，由xeq\s\up7(\f(1,2))≤2，得1≤x≤4.所以使得f(x)≤2成立的x的取值范围为(－∞，4]．3．(角度3)(多选题)(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋a(a∈R)，则下列结论正确的是()A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)B．f(x)的值域为RC．当a＝1时，f(x)为奇函数D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2[答案]ACD[解析]对于函数f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；因为2x>0，则2x－1>－1，当2x－1>0时，eq\f(2,2x－1)>0，所以eq\f(2,2x－1)＋a>a；当－1<2x－1<0时，eq\f(2,2x－1)<－2，所以eq\f(2,2x－1)＋a<－2＋a，综上可得f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋1＝eq\f(2x＋1,2x－1)，则f(－x)＝eq\f(2－x＋1,2－x－1)＝－eq\f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋2＝eq\f(2x＋1,2x－1)＋1，则f(x)＋f(－x)＝eq\f(2x＋1,2x－1)＋1＋eq\f(2－x＋1,2－x－1)＋1＝2，故D正确.指数函数中的分类与整合思想[解析]设t＝x2＋2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(－eq\f(3,2)，0))，由图象得t∈[－1，0]．①当a>1时，g(t)＝at＋b在[－1，0]上为增函数，值域为eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)＋b，1＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)＋b＝eq\f(5,2)，,1＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))②当0<a<1时，g(t)＝at＋b在[－1，0]上为减函数，值域为eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(1＋b，eq\f(1,a)＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(1＋b＝eq\f(5,2)，,eq\f(1,a)＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(a＝eq\f(2,3)，,b＝eq\f(3,2).))综上所述，a＝2，b＝2或a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(3,2).名师点拨：分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：1．指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a<1两种情况讨论．2．解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．【变式训练】设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值．[解析]设ax＝t，则a2x＝t2，①当a>1时，t∈eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)，a))，y＝t2＋2t－1，在eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)，a))上为增函数，当t＝a时，取得最大值，a2＋2a－1所以a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)②当0<a<1时，t∈eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(a，eq\f(1,a)))，y＝t2＋2t－1，在eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(a，eq\f(1,a)))上为增函数，当t＝eq\f(1,a)时，取得最大值，eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)))2＋eq\f(2,a)－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,a)))2＋eq\f(2,a)－1＝14，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,5)(舍)．综上所述，a＝3或eq\f(1,3).提能训练练案[10]A组基础巩固一、单选题1．(2026·河南新乡二模)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(8,2eq\r(5))))eq\s\up10(3＋eq\r(5))＝()A．16 B．8eq\r(2)C．32 D．16eq\r(2)[答案]A[解析]由eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(8,2eq\s\up10(eq\r(5)))))eq\s\up10(3＋eq\r(5))＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(23,2eq\s\up10(eq\r(5)))))eq\s\up10(3＋eq\r(5))＝2eq\s\up10((3－eq\r(5))(3＋eq\r(5)))＝24＝16.故选A．2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a＝(A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2[答案]D[解析]由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝eq\f(1,2).当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，∴a＝2.故选D．3．(2026·山东潍坊期中)函数f(x)＝eq\f(x,|x|)·2x的图象大致形状是()[答案]B[解析]由函数f(x)＝eq\f(x,|x|)·2x＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2x，x<0，))可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，结合所给的选项，只有B项满足条件，故选B．4．(2025·北京海淀一模)函数f(x)＝a2x－1＋1(a>0)的图象一定经过点()A．eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，1))C．(0，2) D．(0，1)[答案]A[解析]令2x－1＝0，则x＝eq\f(1,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)))＝1＋1＝2，所以函数f(x)＝a2x－1＋1(a>0)的图象一定过点eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，2)).故选A．5．(2026·新疆喀什模拟)已知lna2－lna＝1，则函数f(x)＝ax2－2x的单调递增区间为()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)[答案]D[解析]由lna2－lna＝1，得lna＝1，解得a＝e，函数f(x)＝ex2－2x定义域为R，函数u＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，而函数y＝eu在R上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．故选D．6．(2026·云南昆明模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(2x－1，x<－2，,x2－1，x≥－2))的值域为()A．[－1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1，－eq\f(3,4)))C．R D．eq\b\lc\[\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1，－eq\f(3,4)))[答案]A[解析]当x<－2时，f(x)＝2x－1，因为函数y＝2x在(－∞，－2)上单调递增，所以0<2x<2－2＝eq\f(1,4)，此时f(x)＝2x－1∈eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1，－eq\f(3,4)))；当x≥－2时，因为函数f(x)＝x2－1在[－2，0]上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)≥f(0)＝－1，即f(x)＝x2－1在[－2，＋∞)上的值域为[－1，＋∞)．综上所述，函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．故选A．7．(2025·天津北辰三模)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,2))，b＝2eq\s\up10(sineq\f(π,6))，c＝3eq\s\up7(－\f(1,4))，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b[答案]D[解析]因为0<eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))0，则0<a<1，b＝2eq\s\up10(sineq\f(π,6))＝2eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\r(2)>1，0<3eq\s\up7(－\f(1,4))<30，即0<c<1，c＝3eq\s\up7(－\f(1,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(3eq\s\up7(－\f(1,2))))eq\s\up7(\f(1,2))，接下来比较3eq\s\up7(－\f(1,2))和eq\f(2,3)的大小关系，因为eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(3eq\s\up7(－\f(1,2))))2＝eq\f(1,3)，而eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)>eq\f(1,3)，则3eq\s\up7(－\f(1,2))<eq\f(2,3)，根据幂函数y＝xeq\s\up7(\f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增得eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,2))>eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(3eq\s\up7(－\f(1,2))))eq\s\up7(\f(1,2))，即a>c.故c<a<b.故选D．8．(2025·安徽安庆二模)函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则()A．函数f(x)不具有奇偶性B．a＝2C．函数f(x)的值域为(－∞，2)D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)[答案]D[解析]函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，A错误；由函数f(x)的图象过原点，有f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1)，由于－1<2－|x|－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，故a<0，且0≤a(2|x|－1)<－a，故a＝－2，B、C错误；由上面的分析得出函数f(x)＝－2·2－|x|＋2＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(－21－x＋2，x≥0，,－21＋x＋2，x<0，))显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，D正确．故选D．二、多选题9．下列运算正确的是()A．eq\r(4,3－π4)＝π－3 B．e2x＝(ex)2C．eq\r(3,a－b3)＝a－b D．eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)[答案]ABC[解析]对于A，eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3，故A正确；对于B，e2x＝(ex)2成立，故B正确；对于C，eq\r(3,a－b3)＝a－b成立，故C正确；对于D，当a<0且b<0时，eq\r(a)和eq\r(b)无意义，故D错误．10．(2026·湖南娄底模拟预测)下列函数，其图象平移后可得到函数y＝ex的图象的有()A．y＝ex＋1 B．y＝ex－2C．y＝e2x D．y＝eq\f(ex,2)[答案]ABD[解析]函数y＝ex＋1的图象向右平移1个单位长度可得到函数y＝ex的图象，故A正确；函数y＝ex－2的图象向上平移2个单位长度可得到函数y＝ex的图象，故B正确；函数y＝e2x的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数y＝ex的图象，故C错误；函数y＝eq\f(ex,2)＝eq\f(ex,eln2)＝ex－ln2，其图象向右平移ln2个单位长度可得到函数y＝ex的图象，故D正确．故选ABD．11．(2026·山东聊城模拟)已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的是()A．f(0)＝0B．f(x)是奇函数C．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增D．对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解[答案]ABD[解析]f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝eq\f(1,20)－20＝0，故A正确；f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确；f(x)＝eq\f(1,2x)－2x在R上是减函数，故C错误；当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，它又是R上的减函数，因此对任意实数a，f(x)＝a都有解，故D正确．三、填空题12．(2025·重庆九龙坡三模)已知3x＝2，4y＝3，则xy＝________.[答案]eq\f(1,2)[解析]由题意3x＝(4y)x＝4xy＝2＝4eq\s\up7(\f(1,2))，所以xy＝eq\f(1,2).13．(2025·北京海淀二模)已知函数f(x)＝eq\f(2x,2x＋4)，则f(x)的值域为________，曲线y＝f(x)的对称中心为________.[答案](0，1)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(2，eq\f(1,2)))[解析]因为f(x)＝eq\f(2x,2x＋4)＝eq\f(1,1＋eq\f(4,2x))＝eq\f(1,1＋22－x)，因为22－x>0，则1＋22－x>1，故f(x)＝eq\f(1,1＋22－x)∈(0，1)，即函数f(x)的值域为(0，1)．因为f(4－x)＝eq\f(24－x,24－x＋4)＝eq\f(24－x·2x,2x24－x＋4)＝eq\f(16,16＋4·2x)＝eq\f(4,2x＋4)，所以f(x)＋f(4－x)＝eq\f(2x,2x＋4)＋eq\f(4,2x＋4)＝1，因此，函数f(x)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(2，eq\f(1,2))).14．(2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex，则不等式f(x)≥[f(x－1)]2的解集为________.[答案]eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)，2))[解析]因为f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝e－x，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝e－x(x<0)，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,e－x，x<0，))则f(x)＝e|x|，所以不等式f(x)≥[f(x－1)]2，即e|x|≥(e|x－1|)2，即|x|≥2|x－1|，解得eq\f(2,3)≤x≤2，即不等式f(x)≥[f(x－1)]2的解集为eq\b\lc\[\rc\](eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)，2)).四、解答题15．(2026·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)．(1)求实数k，a的值；(2)若函数g(x)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(k·a0＝1，,k·a－3＝8))解得eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(k＝1，,a＝eq\f(1,2).))(2)g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，定义域为R，因此g(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2－x－12x,2－x＋12x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－g(x)，所以g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)为奇函数．16．(2025·黑龙江齐齐哈尔高三阶段练习)已知函数f(x)＝a·2x－2－x是定义在R上的奇函数．(1)求a的值，并证明：f(x)在R上单调递增；(2)求不等式f(3x2－5x)＋f(x－4)>0的解集；(3)若g(x)＝4x＋4－x－2mf(x)在区间[－1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．[解析](1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴a·20－2－0＝0，a－1＝0，∴a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，经检验，a＝1符合题意；函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1－x2<0，f(x2)－f(x1)＝2x2－2－x2－2x1＋2－x1＝(2x2－2x1)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(1＋eq\f(1,2x1＋x2)))>0，∴函数在R上单调递增．(2)由(1)可知f(x)＝2x－2－x，且在R上单调递增的奇函数，由f(3x2－5x)＋f(x－4)>0可得f(3x2－5x)>f(4－x)，∴3x2－5x>4－x，即3x2－4x－4＝(3x＋2)(x－2)>0，∴x>2或x<－eq\f(2,3)，∴不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(eq\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(eq\a\vs4\al\co1(x>2或x<－eq\f(2,3))))).(3)∵f(x)＝2x－2－x，g(x)＝4x＋4－x－2mf(x)，∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)令t＝f(x)＝2x－2－x，∵x≥－1，∴t≥f(－1)＝－eq\f(3,2)，∴g(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2，当m≥－eq\f(3,2)时，当t＝m时，g(t)min＝2－m2＝－2，则m＝2(m＝－2舍去)；当m<－eq\f(3,2)时，当t＝－eq\f(3,2)时，g(t)min＝eq\f(17,4)＋3m＝－2，解得m＝－eq\f(25,12)<－eq\f(3,2)，符合要求，综上可知m＝2或－eq\f(25,12).B组能力提升1．(2026·甘肃白银二模)已知0<a<1<b，则()A．ba<ab<aa<bb B．ab<aa<ba<bbC．bb<ab<aa<ba D．ab<ba<aa<bb[答案]B[解析]因为函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb.综上，可得ab<aa<ba<bb.故选B．2．(2026·广东广州模拟预测)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,3)))x(x＋a)在区间(0，2)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4，＋∞) D．(－∞，－4][答案]D[解析]令t＝x(x＋a)，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,3)))t在R上单调递减，所以要使f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,3)))x(x＋a)在区间(0，2)上单调递增，则t＝x(x＋a)在区间(0，2)上单调递减，所以由t＝x(x＋a)＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(x＋eq\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)的开口向上且对称轴为x＝－eq\f(a,2)得－eq\f(a,2)≥2，解得a≤－4.故选D．3．(多选题)已知函数f(x)＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)，则下列结论中正确的是()A．f(x)的定义域为RB．f(x)是奇函数C．f(x)在定义域上是减函数D．f(x)无最小值，无最大值[答案]BD[解析]对于A，由ex－e－x≠0，解得x≠0，故f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(e－x＋ex,e－x－ex)＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故B正确；对于C，f(x)＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)＝eq\f(e2x＋1,e2x－1)＝1＋eq\f(2,e2x－1)，故函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，当x∈(－∞，0)时，f(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；对于D，由选项C的分析可知，函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确．4．(2026·山东济南一模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\r