4.1 比例线段 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

4.1比例线段内容导航内容导航题型1比例的性质题型2比例线段题型3黄金分割考点演练考点演练题型1比例的性质解｜题｜知｜识（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则②合比性质．若ab=c③分比性质．若ab=c④合分比性质．若ab=c⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b【典例1】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（）A．a3=b2 B．a2=【变式1】若ab=3A．13 B．−13 C．1【变式2】如果ab=cd（其中A．a+bb=c+ddC．a+cb+d=cd【变式3】已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（）A．a2=3b B．a3=题型2比例线段解｜题｜知｜识（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．【典例1】下列各组中的四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、4cm、6cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．lcm、2cm、20cm、40cm【变式1】已知线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项为cm．【变式2】已知线段a、b、c满足a3=b2=c6，且a+2b+c【变式3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．题型3黄金分割解｜题｜知｜识（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−12AB≈0.618AB（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5−12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5−1【典例1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（）A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm【变式1】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝．【变式2】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是．【变式3】矩形的短边与长边的比等于黄金比（即5−12)，则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形ABCD的长边AB过关验收过关验收1．已知ab=3A．74 B．47 C．732．若ab=3A．58 B．35 C．853．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．x2=y3 B．x3=4．已知a：b＝2：3（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．ab=23 B．2a＝3b C．ba5．若abA．ba=32 B．a+bb=6．已知a4=bA．72 B．4 C．214 7．已知a、b是不等于0的实数，4a＝5b，那么下列等式中正确的是（）A．ab=45 B．a−ba+b=8．若xy=239．已知ab=cd=ef=34，且10．已知yx=2511．（1）解方程：（x﹣3）2＝4（x﹣3）；（2）已知：a2=b3=c4，且a﹣2b+3c12．已知：x2=y3=z4，2x﹣3y+4z13．已知：a2=b3=c4（1）求代数式a+b+ca+b−c（2）当2a﹣b+c＝20时，求a，b，c的值．14．若x2=y3，且3x+2y＝12，求15．已知a＝2b，求下列各式的值：（1）ab（2）a−ba+b16．已知a：b：c＝1：2：3．（1）求代数式a−b+ca+b+c（2）若a+2b﹣c＝10，求a，b，c的值．17．已知a：b＝3：2，a+2b＝21，求a与b的值．18．已知：ab（1）如果a＝1，b＝2，c+d＝9，求c、d的值；（2）求证：b−ad−c19．下面四组线段中不能成比例线段的是（）A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、2、3、6 D．5、15、2、220．下列各组线段中，成比例线段的一组是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，821．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，则线段d的长是（）A．1 B．1.5 C．3 D．422．如果四条线段a、b、c、d满足abA．ad=bc B．a+1c=23．已知线段a：b＝1：3，若线段b是线段a，c的比例中项，则b：c的值为（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：124．已知线段c是线段a，b的比例中项，其中a＝4，b＝25，则c等于（）A．4 B．10 C．25 D．10025．如果ab=32，且b是a、A．43 B．34 C．2326．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝2，c＝3，则d的值为（）A．6 B．4 C．32 D．27．下列各组线段，成比例线段的是（）A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3cm，4cm28．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1，b＝4，c＝3，则线段d的长为（）A．6 B．8 C．12 D．1629．下列线段能成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，22cmC．2cm，5cm，3cm，1cm D．2cm，5cm，330．已知线段a、b、c，且a3（1）求a+bb（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．31．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝12．（1）求线段a，b，c的长；（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．32．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．（1）求a、b的值．（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．33．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段AB＝2，点P恰好是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（）A．3−52 B．5−12 C．34．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝40cm，则BC的长为（）A．20cm B．(405C．(205−20)cm 35．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比5−12（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝2，则长A．2 B．4 C．5+1 D．36．大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，银杏叶主脉可看作线段AB，P是黄金分割点（AP＞BP），若这片银杏叶主脉AB的长度为10cm，则AP的长约为（）cm．A．6.18 B．3.82 C．5.28 D．4.8237．摄影构图中常用黄金分割，若照片横向长度AB为12cm，主体应放在黄金分割点D处（AD＞DB），则AD的长为（）A．6（3−5）cm B．6（5−1）cm C．12﹣65cm D．6538．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）cm．A．12−45 B．45+4 C．9−4答案解析题型1比例的性质【典例1】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（）A．a3=b2 B．a2=【答案】A【解答】解：A、a3=b2，则2B、a2=b3，则3C、a2=3D、ab=23，则3故选：A．【变式1】若ab=3A．13 B．−13 C．1【答案】A【解答】解：∵ab∴设a＝3k，b＝4k，∴b−aa故选：A．【变式2】如果ab=cd（其中A．a+bb=c+ddC．a+cb+d=cd【答案】D【解答】解：如果ab=cd（其中A，如果ab=cd，那么B，如果ab=cd，那么C，对于a+cb+d=cd，d（a+c）＝c（b+d），即ad+cd＝bc+cd，ad＝bc，由ab=cD，例如，当a＝1，b＝2，c＝2，d＝4时，ab但是a+2b+2=1+22+2=34故选：D．【变式3】已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（）A．a2=3b B．a3=【答案】B【解答】解：A、由a2=3B、由a3=b2得2C、由ab=23得3D、由ba=32得3故选：B．题型2比例线段【典例1】下列各组中的四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、4cm、6cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．lcm、2cm、20cm、40cm【答案】D【解答】解：A、4×1≠2×3，故A不符合题意；B、6×1≠4×2，故B不符合题意；C、25×55≠35×45，故C不符合题意；D、1×40＝2×20，故D符合题意；故选：D．【变式1】已知线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项为cm．【答案】6．【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．【变式2】已知线段a、b、c满足a3=b2=c6，且a+2b+c【答案】a＝6，b＝4，c＝12．【解答】解：∵线段a、b、c满足a3∴设a3=b2=c6=k(k≠0)，则a＝3k，∵a+2b+c＝26，∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12．【变式3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4，∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k，∵a+2b+c＝33，∴3k+4k+4k＝33，∴k＝3，∴a＝9，b＝6，c＝12；（2）由题意x2＝ab＝54，∴x＝36（负根已经舍去）．题型3黄金分割【典例1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（）A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm【答案】C【解答】解：由题知，因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm，所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）．故选：C．【变式1】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝．【答案】5【解答】解：设AC的长为x，则BC＝AB﹣AC＝2﹣x，则ACAB=BC∴x2+2x﹣4＝0，解得x1=5∴AC的长为5−1故答案为：5−1【变式2】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是．【答案】3−5【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝1，∴AP=5−12∴BP＝AB﹣AP＝1−5故答案为：3−5【变式3】矩形的短边与长边的比等于黄金比（即5−12)，则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形ABCD的长边AB【答案】85【解答】解：由题知，因为矩形ABCD为黄金矩形，所以BCAB又因为AB＝4，所以BC=25所以矩形的面积为：4×（25−2）故答案为：85过关验收过关验收1．已知ab=3A．74 B．47 C．73【答案】A【解答】解：∵ab∴a=∴a+bb故选：A．2．若ab=3A．58 B．35 C．85【答案】C【解答】解：∵ab∴可设a＝3k，那么b＝5k，∴a+bb故选：C．3．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．x2=y3 B．x3=【答案】D【解答】解：∵2x＝3y（y≠0），∴xy故选：D．4．已知a：b＝2：3（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．ab=23 B．2a＝3b C．ba【答案】B【解答】解：a：b＝2：3（a≠0，b≠0）即ab=2ab=23左右两边同时乘以3b得3a＝2b，不能得出2a＝3b，故将3a＝2b左右两边同时除以2a得32=b故选：B．5．若abA．ba=32 B．a+bb=【答案】D【解答】解：由ab=23，可设a＝2k，∴A．若ba=32，则B．若ab=23，则C．因为a2=2k2所以a2所以原结果正确，故选项C不符合题意；D.aa−b=2k故选：D．6．已知a4=bA．72 B．4 C．214 【答案】D【解答】解：∵a4∴可设a4∴a＝4k，b＝3k，c＝2k，∴a+bb+c故选：D．7．已知a、b是不等于0的实数，4a＝5b，那么下列等式中正确的是（）A．ab=45 B．a−ba+b=【答案】B【解答】解：A、由ab=45得，5B、由a−ba+b=19得，9（a﹣b）＝a+b，整理得，4C、由a−bb=15得，5（a﹣b）＝b，整理得，5D、由a+bb=95得，5（a+b）＝9b，整理得，5故选：B．8．若xy=23【答案】45【解答】解：由条件可知x=2∴2xx+y故答案为：459．已知ab=cd=ef=34，且【答案】34【解答】解：∵ab∴a=34b，c=34d，∴a+c+eb+d+f故答案为：3410．已知yx=25【答案】53【解答】解：∵yx∴设y＝2k，x＝5k，∴xx−y故答案为：5311．（1）解方程：（x﹣3）2＝4（x﹣3）；（2）已知：a2=b3=c4，且a﹣2b+3c【答案】（1）x1＝3，x2＝7；（2）a＝4，b＝6，c＝8．【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0，移项，得（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0，提公因式（x﹣3），得（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0，∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，∴x1＝3，x2＝7；（2）a2设a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a﹣2b+3c＝16，∴2k﹣6k+12k＝16，即8k＝16，解得k＝2，∴a，2×2＝4，b＝2×3＝6，c＝2×4＝8．12．已知：x2=y3=z4，2x﹣3y+4z【答案】见试题解答内容【解答】解：设x2则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝22，∴4k﹣9k+16k＝22，∴k＝2，∴x+y﹣z＝2k+3k﹣4k＝k＝2．13．已知：a2=b3=c4（1）求代数式a+b+ca+b−c（2）当2a﹣b+c＝20时，求a，b，c的值．【答案】（1）9；（2）a＝8，b＝12，c＝16．【解答】解：（1）∵：a2∴设a2=b3=c4=k，则a＝2k，∴a+b+ca+b−c（2）设a2=b3=c4=k，则a＝2k，∵2a﹣b+c＝20，∴2×2k﹣3k+4k＝20，解得：k＝4，∴a＝8，b＝12，c＝16．14．若x2=y3，且3x+2y＝12，求【答案】x＝2，y＝3．【解答】解：设x2则x＝2k，y＝3k，代入3x+2y＝12得：6k+6k＝12，解得：k＝1，∴x＝2×1＝2，y＝3×1＝3．15．已知a＝2b，求下列各式的值：（1）ab（2）a−ba+b【答案】（1）2；（2）13【解答】解：（1）∵a＝2b，∴ab（2）∵a＝2b，∴a−ba+b16．已知a：b：c＝1：2：3．（1）求代数式a−b+ca+b+c（2）若a+2b﹣c＝10，求a，b，c的值．【答案】（1）13（2）a＝5，b＝10，c＝15．【解答】解：（1）∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝k，b＝2k，c＝3k，∴a−b+ca+b+c（2）∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝k，b＝2k，c＝3k，∴a+2b﹣c＝k+4k﹣3k＝2k＝10，∴k＝5，∴a＝5，b＝10，c＝15．17．已知a：b＝3：2，a+2b＝21，求a与b的值．【答案】a＝9，b＝6．【解答】解：∵a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝21，∴a：b＝3：2，∴设a＝3k，b＝2k，∵a+2b＝21，∴3k+4k＝21，解得k＝3，∴a＝9，b＝6．18．已知：ab（1）如果a＝1，b＝2，c+d＝9，求c、d的值；（2）求证：b−ad−c【答案】（1）c、d的值分别为3、6．（2）设ab=cd=m，则a＝mb∴b−ad−c∵a≠b，∴ab=∴m﹣1≠0，∴b(1−m)d(1−m)∴b−ad−c【解答】（1）解：∵ab=cd，且∴12∴d＝2c，∵c+d＝9，∴c+2c＝9，解得c＝3，∴d＝2×3＝6，∴c、d的值分别为3、6．（2）证明：设ab=cd=m，则a＝mb∴b−ad−c∵a≠b，∴ab=∴m﹣1≠0，∴b(1−m)d(1−m)∴b−ad−c19．下面四组线段中不能成比例线段的是（）A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、2、3、6 D．5、15、2、2【答案】B【解答】解：A．2×6＝3×4，能成比例，不符合题意；B．4×10≠6×8，不能成比例，符合题意；C．1×6D．5×2故选：B．20．下列各组线段中，成比例线段的一组是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8【答案】B【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、2×6＝3×4，故本选项正确；C、1×7≠3×5，故本选项错误；D、2×8≠4×6，故本选项错误．故选：B．21．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，则线段d的长是（）A．1 B．1.5 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵a、b、c、d是成比例的线段，∴ab∵a＝3，b＝2，c＝6，∴32解得：d＝4．故选：D．22．如果四条线段a、b、c、d满足abA．ad=bc B．a+1c=【答案】D【解答】解：ab=cd，则acab=cd，则acab=cd，且当b﹣d≠0时，ab=cd，则故选：D．23．已知线段a：b＝1：3，若线段b是线段a，c的比例中项，则b：c的值为（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1【答案】B【解答】解：由题知，因为线段b是线段a，c的比例中项，所以a：b＝b：c．又因为a：b＝1：3，所以b：c＝1：3．故选：B．24．已知线段c是线段a，b的比例中项，其中a＝4，b＝25，则c等于（）A．4 B．10 C．25 D．100【答案】B【解答】解：由条件可知c2＝a×b，∴c2＝4×25＝100，∴c=100=10（∴c＝10．故选：B．25．如果ab=32，且b是a、A．43 B．34 C．23【答案】D【解答】解：∵ab=32，且b是∴bc故选：D．26．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝2，c＝3，则d的值为（）A．6 B．4 C．32 D．【答案】A【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：A．27．下列各组线段，成比例线段的是（）A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3cm，4cm【答案】C【解答】解：A．3×9≠6×7，则3cm，6cm，7cm，9cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；B．2×8≠6×5，则2cm，8cm，6cm，5cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；C．3×18＝9×6，则3cm，9cm，6cm，18cm是成比例线段，故该选项符合题意；D．1×4≠2×3，则1cm，2cm，3cm，4cm不是成比例线段，故该选项不符合题意．故选：C．28．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1，b＝4，c＝3，则线段d的长为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即1：4＝3：d，所以d＝12．故选：C．29．下列线段能成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，22cmC．2cm，5cm，3cm，1cm D．2cm，5cm，3【答案】B【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、22C、5×1≠D、2×5≠3×4，故本选项错误．故选：B．30．已知线段a、b、c，且a3（1）求a+bb（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：设a3=b4=c5=k，则a＝3k，（1）a+bb（2）∵a+b+c＝60，∴3k+4k+5k＝60，∴k＝5，∴a＝15，b＝20，c＝25．31．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝12．（1）求线段a，b，c的长；（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【答案】（1）a＝4，b＝12，c＝20；（2）43．【解答】解：（1）∵a：b：c＝1：3：5，∴设a＝k，b＝3k，c＝5k，∴a﹣b+c＝12，即k﹣3k+5k＝12，解得：k＝4，∴a＝4，b＝12，c＝20；（2）由（1）知a＝4，b＝12，又因为m是a，b的比例中项，∴m2＝ab＝48，∴m＝±43，∵m＞0，∴m＝43．32．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．（1）求a、b的值．（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a：b＝3：2∴设a＝3k，b＝2k，∵a+2b＝28，∴3k+4k＝28，∴k＝4，∴a＝12，b＝8；（2）∵x是a：b的比例中项，∴x2＝ab＝96，∵x是线段，x＞0，∴x