4.4 两个三角形相似的判定 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

4.4两个三角形相似的判定内容导航内容导航题型1相似三角形的判定考点演练考点演练题型1相似三角形的判定解｜题｜知｜识（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【典例1】已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【变式1】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性；（2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）．【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒．（1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？【变式3】在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝4cm，AB＝5cm，DE＝15cm，DF＝12cm，那么△ABC与△DEF相似吗？请说明理由．过关验收过关验收1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（）s后，△PCQ与△ABC相似．A．4013 B．4013或257 C．4013或1672．如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（）A． B． C． D．3．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．ABAP=AC4．如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC和△ADE相似的是（）A．∠ACB＝∠AED B．∠CAE＝∠BAD C．ADDE=AB5．如图，△ABC中，AB＞AC，D为AB上一点，下列条件：①∠B＝∠ACD，②∠ADC＝∠ACB③ACCD=ABBC，④AC2＝AB•AD中，能判定△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知在△ABC与△A1B1C1中，点D、D1分别在边BC、B1C1上，（点D不与点B、C重合，点D1不与点B1、C1重合）．如果ABA1B1=BDB1D1①AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的角平分线；②AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线；③AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的高．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．ACCD=ABBC D．AC29．如图，在△ABC的AB、AC边上分别取点E、F使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（）A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误10．若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（）A．AB＝3，BC＝8，AC＝9，DE＝2，FE=163，DFB．AB＝3，BC＝8，AC＝9，DE=163，FE＝2，DFC．AB＝1，BC=2，AC＝1.5，DE＝2，FE=22，DFD．AB＝1，BC=3，AC＝2，DE=33，FE＝2，11．如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠D C．ABAD=BC12．下列语句叙述正确的是（）A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似13．已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．ABAP=AC14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（）A．ADAC=AEAB B．AEAB=DEBC C．∠15．如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．ABBC=ADDE C．∠C＝∠16．如图，已知点D是△ABC边BC边上的一点，连接AD．以下条件中不能判定△ABD∽△CBA的是（）A．∠BAD＝∠C B．∠ADB＝∠BAC C．AB2＝BD•BC D．AD17．如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③ACAB=APAC；④ABACA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③18．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个65°的内角 B．都含有一个75°的内角 C．都含有一个85°的内角 D．都含有一个95°的内角19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连结DE．若单独添加下列条件，其中不能使△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．ADDE=AC20．如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是（）A．△BDE B．△BCD C．△FGH D．△BFG21．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（）A．可证DEAB=EFBC=B．可证∠B＝∠FED，∠C＝∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC C．可证∠B＝∠FED，ABEF=BCED，进而证得△D．可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC22．符合下列条件的两个三角形一定相似的是（）A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形23．下列命题中，说法正确的是（）A．有两边之比为1：2的两个直角三角形一定相似 B．有两边之比为1：2的两个等腰三角形一定相似 C．有两个内角的度数之比为1：2的两个直角三角形一定相似 D．有两个内角的度数之比为1：2的两个等腰三角形一定相似24．一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）．25．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中对相似三角形．26．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件，可使△ABC∽△ACD．27．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③DFBC=23；④△FPD∽△28．如图，△ABC为边长为7cm的等边三角形，BD＝6cm，CE＝2cm，P为BC上动点，以0.25cm/s的速度从B向C运动，假设P点运动时间为t秒，当t＝秒时，△BDP与△CPE相似．29．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是．（只写一个）30．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是．31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）求AB的长．（2）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？32．四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．（1）若AC＝8，求AG的长；（2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF．33．（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；（2）如图，线段CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，求证：△ACD∽△CBD．34．（1）计算：12−4cos30°+（2）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△EGB．35．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点．小星：若∠ACP＝∠B，则可证：△ACP∽△ABC小红：若APAC=ACAB小亮：若ACCP=BCAC（1）请判断三人的对错：小星，小红，小亮．（均选填“对”或“错”）（2）选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC．36．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．（1）求证：△ABD∽△ECA；（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．37．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．答案解析题型1相似三角形的判定【典例1】已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵HD⊥AB于D，∴∠ADH＝90°，∴∠A+∠AHD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠E+∠AHD＝90°，∴∠A＝∠E，∵∠ADH＝∠ACB＝90°，∴△AHD∽△EBD．【变式1】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性；（2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）．【答案】（1）详见解析；（2）bm【解答】解：存在，分割方案：（答案不唯一），如图：过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B，证明：∠A＝∠D＝90°AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n，∴tanB=ba，tanC=ab，tan∠DEF∵n＞b＞a＞m，∴nm即tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF，∴∠E＞∠B＞∠C＞∠F，∵∠A＝∠D＝90°，∠DEG＝∠B，∴△ABC∽△DEG；（2）∵△ABC∽△DEG，∴ABDE∵AB＝a，AC＝b，DE＝m，∴DG=bm∴S=1【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒．（1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？【答案】（1）y=−（2）当x=247或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△【解答】解：（1）由题意得：AP＝xcm，BQ＝2xcm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，当点Q到达点C时，x＝12÷2＝6，当点P到达点B时，x＝8，∴当0≤x≤6时，y=1当6＜x≤8时，y=1即y=−（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠PBQ＝∠BCD＝90°，∵△BPQ与△BDC相似，∴分情况讨论：①当∠BPQ＝∠CDB时，有△QBP∽△BCD，∴PBDC=BQ解得：x=24②当∠BPQ＝∠CBD时，有△PBQ∽△BCD，∴PBBC=BQ解得：x＝2，∴当x=247或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△【变式3】在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝4cm，AB＝5cm，DE＝15cm，DF＝12cm，那么△ABC与△DEF相似吗？请说明理由．【答案】△ABC与△DEF相似．理由如下：∵∠C＝90°，∴BC=AB2∵∠F＝90°，∴EF=DE2∴ACDF=4∴ACDF∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC与△DEF相似．【解答】解：△ABC与△DEF相似．理由如下：∵∠C＝90°，∴BC=AB2∵∠F＝90°，∴EF=DE2∴ACDF=4∴ACDF∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC与△DEF相似．过关验收过关验收1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（）s后，△PCQ与△ABC相似．A．4013 B．4013或257 C．4013或167【答案】C【解答】解：设经过x秒后△PCQ与△ABC相似，∵∠C＝∠C，若△PCQ∽△ACB，则需ACBC∴10810（8﹣x）＝8•2x，解得x=40△PCQ∽△BCA，则需BCAC∴8108（8﹣x）＝10•2x，解得x=16∴经过4013秒或167秒，△PCQ与△故选：C．2．如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵BEBC=4∴BEBC又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意，故选：D．3．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．ABAP=AC【答案】D【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A，当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB；由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件ABAP满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，故添加条件C能判断△ABP∽△ACB；当添加条件BPCB故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB．故选：D．4．如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC和△ADE相似的是（）A．∠ACB＝∠AED B．∠CAE＝∠BAD C．ADDE=AB【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝∠AED，∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；∵ADDE∴ABAD∵ABAD=BCDE，∠∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；∵ADAB=AEAC，∠∴由ADAB=AEAC，∠B＝∠D不能判定△故D符合题意，故选：D．5．如图，△ABC中，AB＞AC，D为AB上一点，下列条件：①∠B＝∠ACD，②∠ADC＝∠ACB③ACCD=ABBC，④AC2＝AB•AD中，能判定△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴①正确；∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴②正确；∵已知ACCD=ABBC，但是夹角∠ACD和∠∵AC2＝AB•AD，∴ACAB∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴④正确；所以正确的有3个，故选：C．6．△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：如图，DE∥AC，则△BDE∽△BAC；如图，∠B＝∠B，∠BED＝∠A，则△BDE∽△BAC；如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC；故选：C．7．已知在△ABC与△A1B1C1中，点D、D1分别在边BC、B1C1上，（点D不与点B、C重合，点D1不与点B1、C1重合）．如果ABA1B1=BDB1D1①AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的角平分线；②AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线；③AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的高．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【解答】解：∵ABA∴△ABD∽△A1B1D1，∴∠B＝∠B1，∠BAD＝∠B1A1D1，当AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的角平分线时，∠BAC＝2∠BAD，∠B1A1C1＝2∠B1A1D1，∴∠BAC＝∠B1A1C1，∴△ABC∽△A1B1C1，所以①正确；当AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线时，BC＝2BD，B1C1＝2B1D1，∴ABA而∠B＝∠B1，∴△ABC∽△A1B1C1，所以②正确；当AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的高时，不能判定△ABC∽△A1B1C1，所以③不正确．故选：A．8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．ACCD=ABBC D．AC2【答案】C【解答】解：∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即ACAD=ABAC，也可判定△∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．故选：C．9．如图，在△ABC的AB、AC边上分别取点E、F使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（）A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误【答案】A【解答】解：第一种情况：∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴∠BEC+∠C＝180°，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝∠C，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB；第二种情况：由作图知：∠AEF＝∠B，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC；第三种情况：由作图知：BF平分∠ABC，E在BF的垂直平分线上，∴∠ABF＝∠CBF，EB＝EF，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠CBF＝∠EFB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的方法都正确．故选：A．10．若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（）A．AB＝3，BC＝8，AC＝9，DE＝2，FE=163，DFB．AB＝3，BC＝8，AC＝9，DE=163，FE＝2，DFC．AB＝1，BC=2，AC＝1.5，DE＝2，FE=22，DFD．AB＝1，BC=3，AC＝2，DE=33，FE＝2，【答案】A【解答】解：A、∵ACDF=96=32，ABDE=B、∵BCEF=82=4C、∵ABDE=12，BCEFD、∵ABDE=133故选：A．11．如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠D C．ABAD=BC【答案】C【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、当∠C＝∠E时，△ABC∽△ADE，能证明相似，故选项A不符合题目要求，B、当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE，能证明相似，故选项B不符合题目要求，C、当ABAD=BCDE时，不能判定△ABC与△D、当ABAD=ACAE时，△ABC∽△故选：C．12．下列语句叙述正确的是（）A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似【答案】B【解答】解：A、有一个角是30°的等腰三角形不一定相似，如30°、75°、75°的等腰三角形和30°、30°、120°的等腰三角形不相似，故本选项错误；B、有一个角是30°的直角三角形都相似，正确；C、有一个角是30°的锐角三角形不一定相似，如30°、70°、80°的锐角三角形和30°、65°、85°的锐角三角形不相似，故本选项错误；D、有一个角是30°的钝角三角形不一定相似，如30°、100°、50°的钝角三角形和30°、110°、40°的钝角三角形不相似，故本选项错误；故选：B．13．已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．ABAP=AC【答案】D【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；B、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；C、∵∠A＝∠A，ABAP∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；D、根据ABBP=ACBC和∠A＝∠A不能判断△故选：D．14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（）A．ADAC=AEAB B．AEAB=DEBC C．∠【答案】B【解答】解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；当ADAC=AEAB时，△故选：B．15．如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．ABBC=ADDE C．∠C＝∠【答案】D【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴△ADE∽△ABC，不合题意；B、∵ABBC=ADDE，∠∴△ADE∽△ABC，不合题意；C、∵∠B＝∠D，∠E＝∠C，∴△ADE∽△ABC，不合题意；D、ABAD=AEAC无法得出△故选：D．16．如图，已知点D是△ABC边BC边上的一点，连接AD．以下条件中不能判定△ABD∽△CBA的是（）A．∠BAD＝∠C B．∠ADB＝∠BAC C．AB2＝BD•BC D．AD【答案】D【解答】解：∵∠B是公共角，∴当∠BAD＝∠C或∠ADB＝∠BAC时，根据有两组相等的角的三角形相似得△ABD∽△CBA，故A和B正确；当ABBC=BDAB时，即AB2＝BD•BC，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得△故C正确；当ADAC=ABBC时，∠B不是夹角，故不能判定△故D错误；故选：D．17．如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③ACAB=APAC；④ABACA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】D【解答】解：①∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故①符合题意；②∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故②符合题意；③ACAB=APAC，∠A＝∠A，可证△APC∽△④ABAC=BCCP，∠A＝∠A，不能证明△APC∽△故选：D．18．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个65°的内角 B．都含有一个75°的内角 C．都含有一个85°的内角 D．都含有一个95°的内角【答案】D【解答】解：A．两个等腰三角形都含有一个65°的内角，若65°为一个等腰三角形的顶角，65°为另一个等腰三角形的底角，则两个等腰三角形不相似，所以A选项不符合题意；B．两个等腰三角形都含有一个75°的内角，若75°为一个等腰三角形的顶角，75°为另一个等腰三角形的底角，则两个等腰三角形不相似，所以B选项不符合题意；C．两个等腰三角形都含有一个85°的内角，若85°为一个等腰三角形的顶角，85°为另一个等腰三角形的底角，则两个等腰三角形不相似，所以C选项不符合题意；D．两个等腰三角形都含有一个95°的内角，则95°为等腰三角形的顶角，两个等腰三角形的底角也相等，则两个等腰三角形不相似，所以D选项符合题意．故选：D．19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连结DE．若单独添加下列条件，其中不能使△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．ADDE=AC【答案】C【解答】解：△ADE和△ABC中已有∠A＝∠A，A选项：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：△ADE∽△ACB，故A选项不符合题意；B选项：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：△ADE∽△ACB，故B选项不符合题意；C选项：∵∠A＝∠A，ADDE=ACCB，其中∠A不是对应成比例的两边的夹角，∴不能判定△ADE∽△D选项：∵∠A＝∠A，ADAE=ACAB，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：△ADE∽△故选：C．20．如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是（）A．△BDE B．△BCD C．△FGH D．△BFG【答案】B【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，AB＝1，AC=2，BC=A、在△BDE中，DE＝2，BD=22，BE=2∵ABDE=12，∴ABDE∴△ABC∽△DEB，故A选项不符合题意；B、在△BCD中，CD＝1，BC=5，BD=2∵ABCD=1，ACBC∴ABCD∴△ABC和△BCD不相似，故B选项符合题意；C、在△FGH中，HG=2，FH＝2，FG=∵ABHG=12=∴ABHG∴△ABC∽△HGF，故C选项不符合题意；D、在△BFG中，BF=5，FG=10，∵ABBF=15=∴ABBF∴△ABC∽△FBG，故D选项不符合题意；故选：B．21．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（）A．可证DEAB=EFBC=B．可证∠B＝∠FED，∠C＝∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC C．可证∠B＝∠FED，ABEF=BCED，进而证得△D．可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC【答案】C【解答】解：∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴DE∥AB，且DE=12AB，EF∥BC，且EF=12BC，FD∥AC，且∴DEAB∴△DEF∽△ABC，故A不符合题意；∵DE∥BF，EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，∴∠B＝∠FED，同理四边形CDFE是平行四边形，∴∠C＝∠EFD，∴△DEF∽△ABC，故B不符合题意；∵AB∥ED，∴△ABC∽△EDC，∴ABED∵DC＝EF，∴ABED∴ABEF∴由∠B＝∠FED，ABEF=BCED，不能证得△故C符合题意；∵DE∥AB，EF∥BC，∴∠BFD＝∠EDF，∠BDF＝∠EFD，∴△FBD∽△DEF，∵FD∥AC，∴△FBD∽△ABC，∴△DEF∽△ABC，故D不符合题意，故选：C．22．符合下列条件的两个三角形一定相似的是（）A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形【答案】D【解答】解：A，三组对应内角中两个锐角三角形可能并不相等或不全相等，如30°，70°，80°和40°，60°，80°，故不一定相似，故不符合题意；B，两个直角三角形，两内角可能并不对应相等，只能确定一组直角对应相等，如30°，60°，90°和40°，50°，90°，故不一定相似，故不符合题意；C，两个等腰三角形，底角和顶角不一定对应相等，如30°，30°，120°和40°，40°，100°，故不一定相似，故不符合题意；D，两个三角形三内角都是60°，对应相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”可得一定相似，故符合题意．故选：D．23．下列命题中，说法正确的是（）A．有两边之比为1：2的两个直角三角形一定相似 B．有两边之比为1：2的两个等腰三角形一定相似 C．有两个内角的度数之比为1：2的两个直角三角形一定相似 D．有两个内角的度数之比为1：2的两个等腰三角形一定相似【答案】B【解答】解：A、两直角边之比为1：2的直角三角形与含30°的直角三角形不相似，所以本选项说法错误，不符合题意；B、根据三角形两边之和大于第三边，如果一个等腰三角形中有两边之比为1：2时只能是底边与腰之比为1：2，那么所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以本选项说法正确，符合题意；C、等腰直角三角形与含30°的直角三角形不相似，所以本选项说法错误，不符合题意；D、等腰直角三角形与顶角为36°的等腰三角形不相似，所以本选项说法错误，不符合题意；故选：B．24．一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）．【答案】一定【解答】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，∴32∴这两个直角三角形一定相似．故答案为：一定．25．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中对相似三角形．【答案】三．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△AEF∽△DCF，△AEF∽△BEC，∴△BEC∽△DCF，故图中三对相似三角形．故答案为：三．26．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件，可使△ABC∽△ACD．【答案】∠ADC＝∠ACB【解答】解；由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可，所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD，故答案为：∠ADC＝∠ACB．27．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③DFBC=23；④△FPD∽△【答案】①②④．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABD＝∠DBC＝∠BDE＝45°，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∴CP＝CD＝AB，∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF，∴CP+PF＝BP+PE，∴CF＝BE，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴BE＝2AE，∴CF＝2AE，故②正确；∵∠CDP＝75°，∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE，∴∠EPD＝∠BDE＝45°，∵∠BPC＝∠EPF＝60°，∴∠FPD＝105°，∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，∴∠DPF＝∠BHP，又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，∴△BHP∽△DPF，故④正确；∴PFPH∴PFPH∵∠DCF＝30°，∴DC=3∴DFDC∴PFPH=DF故答案为：①②④．28．如图，△ABC为边长为7cm的等边三角形，BD＝6cm，CE＝2cm，P为BC上动点，以0.25cm/s的速度从B向C运动，假设P点运动时间为t秒，当t＝秒时，△BDP与△CPE相似．【答案】12或16或21．【解答】解：若△BDP∽△CPE，则BDCP∴67−BP∴BP＝3或4，∴t=30.25=12（s）或t=若△BDP∽△CEP，则BDCE∴62∴BP=21∴t=2140.25故答案为：12或16或21．29．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是．（只写一个）【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【解答】解：根据题意，∵∠DAE＝∠BAC，∴当∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．所以可添加的一个条件是∠ADE＝∠C（答案不唯一）．故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．30．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是．【答案】（2，2）．【解答】解：∵∠QPR＝∠BQP，PRPQ=∴△BQP∽△QPR，B点坐标为（2，2）．故答案为：（2，2）．31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）求AB的长．（2）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？【答案】（1）10；（2）207或50【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A答：AB的长为10；（2）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，因此BP＝10﹣t，△PBQ