2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-行程与图像结合（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）行程与图像结合1．如图，有一条三角形的环路，A至B是上坡路，B至C是下坡路，A至C是平路，AB、BC、AC三段距离的比是3：4：5．乐乐和扬扬同时从A出发，乐乐按顺时针方向行走，扬扬按逆时针方向行走，2.5小时后在D点相遇，已知两人上坡速度都是4千米/时，下坡速度都是6千米/时，在平路上速度都是5千米/时．当扬扬走到C点时，乐乐是在上坡还是下坡？设此时乐乐所处的位置为E，AB和BE距离的比是多少？

2．小明骑自行车从家出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过的时间为t（min）时，小明与家之间的距离为s1（m），小明爸爸与家之间的距离为S2m,图中折线OABD、线段EF分别表示s1（1）写出s2与t之间的关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?3．小凯和小源分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行，小凯最开始跑步，中途在某地动为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小凯先出发5分钟后，小源才骑自行车匀速回家。小凯到达图书馆恰好用了35分钟。两人之间的距离y（m）与小凯离开出发地的时间x（m）之向的函数图像如图所示。（1）小凯跑步的速度为多少米每分？步行的速度为多少米每分？（2）小源骑自行车的速度为多少米每分？（3）当小源刚到家时，小凯离图书馆的距离为多少米？4．如图①，在长方形ABCD中，AB=10cm,5．(S-T图象)为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动。自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：（1）自行车队行驶的速度是km/h；（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？6．小黑和小白同时从环形跑道的A点出发，小黑向左出发，伯向右出发反向而行在B点相遇，相遇后继续行走直到到达A点后马上反向运动而未到达A点前不需要反向运动，小黑第二次到达B点时小白在C点，BC对称于AO。（1）求小黑和小白速度的比值。（2）N次两人位置重合时，位置在哪里?7．“龟、蟹赛跑趣事”，某天，乌龟和螃蟹在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑500米。当螃蟹领先乌龟300米时，螃蟹停下来休息并睡着了，当乌龟追上螃蟹的瞬间，螃蟹惊醒了（惊醒时间忽略不计），立即以原来的速度继续跑向终点，并赢了比赛。在比赛的整个过程中，乌龟和螃蟹的距离y（米）与乌龟出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则螃蟹到达终点时，乌龟距离终点多少米?8．如图1，A、B两地相距90km，甲、乙二人同时从A地出发向B地行进，甲以高于乙10（1）甲、乙两人骑行的速度；（2）若乙从A地出发35小时后，丙以35km/h的速度由B地向A9．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在10．(运动与图形探究)如图⑴，一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，图⑵是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图。（1）运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米？（2）正方形的边长是多少厘米?（3）在图（2）的两个括号内填入正确的时间。11．如图1，在长方形ABCD中，E为AB边上一点，其中BC＝18cm，BE＝8cm，动点P从B开始，以6cm/s的速度沿B→C→D路线运动，然后改变速度后再沿D→A路线运动，到点A停止，图2是点P出发t秒后，△BPE的面积S（cm（1）a＝s，CD＝cm，b＝c（2）当动点P沿D→A路线运动时，求此时点P的速度：（3）点P出发几秒时，△BPE的面积是长方形ABCD面积的1412．截至目前，重庆已建成全民健身步道约10000公里，健身爱好者甲、乙两人相约上周末到歌乐山锻炼，他们同时从山脚出发，以各自的速度匀速登山。甲到达山顶后，休息了10分钟，然后立即按原路以另一速度匀速返回，直到与乙相遇，已知乙的速度为80米/分，两人之间的距离y(米)与乙登山时间x(分钟)之间的关系如图所示，求甲返回的速度为多少米1分钟？13．如图(1)，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm，a秒时点P中的速度变为每秒b厘米；图(2)是点P出发x秒后，△14．一次越野赛跑中，当李明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人匀速跑的路程s（米）与t（时间）的关系如图，结合图像，求图中S1和S0的值15．已知：A、B两地之间的距离为900km，C地介于A、B两地之间，甲车从A地驶往C地，乙车从B地经C地驶往A地，已知两车同时出发，相向而行，结果两车同时到达C地后，甲车因故在C地须停留一段时间，然后返回A地，乙车继续驶往A地，设乙车行驶时间x（h），两车之间的距离为y（km），如图的折线表示y与x之间的关系。

（1）甲乙两车的速度各是多少千米/小时?（2）如果两车开始出发时间是早上8：00那么D点所表示的时间是几点？（3）从D点的时间开始，又过了多少个小时两车相距90千米？此时的时间是几点？16．春天的某个周末，阳光明媚，适合户外运动。下午，住在同一小区的小刘、老周两人不约而同的都准备从小区出发，相同的路线步行去同一个公园赏花，小刘出发5分钟后老周才出发，同时小刘发现当天的光线很适合摄影，所以决定回家拿相机.小刘拿了相机后，担心错过最佳拍照时间，所以速度提高了20%，结果还是比老周晚2分钟到公园.小刘取相机的时间忽略不计，在整个过程中，老周保持匀速运动，小刘提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小刘、老周之间的距离y（米）与小刘离开小区的时间x（分钟）之间的图像，求小区到公园的距离为多少米。17．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中两车之间的距离y（千米）与行驶的时间x（时）之间的关系，如图所示：（1）根据图中的信息，求甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值．

答案解析部分1．解：根据题意，设AB、BC、AC三段距离分别为3x千米、4x千米、5x千米。

2.5小时后，扬扬到C点，乐乐距离B点x千米。

上坡速度都为4千米/时，下坡速度为6千米/时，平路速度为5千米/时。

则AB=BC=3x千米，BE=x千米，则乐乐上坡走完AB的路程，

AE=（2.5×4-3x）千米，AC=（2.5×5-3x）千米，

则AE=（5x-3x）千米，根据2.5×6-5x，

2.5×5-3x=1.5x，

根据A至B是上坡路，B至C是下坡路，A至C是平路，

可得AB：BE：AE的比为3x：1.5x=2：1，

答：当扬扬走到C点时，乐乐是在下坡；当乐乐所处的位置为E时，AB和BE距离的比是2：1根据题意设AB、BC、AC三段距离分别为3x千米、4x千米、5x千米，可以设2.5小时后，扬扬到C点，乐乐距离B点x千米，根据上坡速度都为4千米/时，下坡速度为6千米/时，平路速度为5千米/时，可得AB=BC=3x千米，BE=x千米，则乐乐上坡走完AB的路程，可得AE=（2.5×4-3x）千米，AC=（2.5×5-3x）千米，则AE=（5x-3x）千米，根据2.5×6-5x，2.5×5-3x=1.5x，根据A至B是上坡路，B至C是下坡路，A至C是平路，可得AB：BE：AE的比为3x：1.5x=2：1，即可得答案。2．（1）解：∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，∴小明的爸爸用的时间为：2400即OF=25，如图：设S2与t之间的函数关系式为：S2=kt+b，∵E（0，2400），F（25，0），

∴b解得：k∴S2与t之间的函数关系式为：S2=-96t+2400；答：s2与t之间的关系式是：S2=2400-96t（0<t<25）（2）解：如图：小明用了10分钟到邮局，∴D点的坐标为（22，0），设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1=at+c（12≤t≤22），

12∴解得：a∴s1与t之间的函数关系式为：s1=-240t+5280（12≤t≤22），当s1=S2时，小明在返回途中追上爸爸，即-96t+2400=-240t+5280，解得：t=20，∴s1=S2=480，∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m．（1）首先由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点D的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得答案；（2）首先求得直线BC的解析式，然后求直线BC与EF的交点，即可求得答案．

3．（1）解：(4500-3500)÷5

=1000÷5

=200(米/分)

200÷2=100(米/分)

答：小凯跑步的速度为200米每分，步行的速度为100米每分。（2）解：(4500-35×100)÷(200-100)

=(4500-3500)÷100

=1000÷100

=10(分钟)

(3500-1000)÷(10-5)

=2500÷5

=500(米/分)

500-200=300(米/分)

答：小源骑自行车的速度为300米每分。（3）解：4500÷300=15(分钟)

15+5=20(分钟)

4500-[10×200+(20-10)×100]

=4500-[2000+1000]

=4500-3000

=1500(米)

答：当小源刚到家时，小凯离图书馆的距离为1500米。由图象可知，第一段表示小凯前5分跑步行驶的时间和所行路程，第二段表示小源出发后和小凯跑步一同行驶的时间和所行路程，第三段表示小凯改为步行后直到与小源相遇时二人所用的时间和所行路程，第四段仍表示小源和小凯步行从二人相遇后到小源回家，二人所用的时间和所行路程，第五段表示小源到家后，小凯独自步行直到到达图书馆所用的时间和所行路程。

(1)由图象可知，第一段表示小凯前5分跑步行驶的时间和所行路程，用前5分钟跑的路程除以所用时间即可求出小凯跑步的速度，步行的速度为跑步速度的一半，所以再除以2可以求出小凯步行的速度。

(2)假设小凯全步行，则跑步时间为：(4500-35×100)÷(200-100)=10(分钟)；由图可知，小凯应在图中第二个拐点改为步行，所以用第二段的路程除以第二段的时间可以求出两人的速度和，再减去小凯跑步的速度即可求出小源骑自行车的速度。

(3)用总路程除以小源骑车的速度求出小源骑行的时间，再加上5分钟求出小源到家时，小凯行的时间，再计算出小凯这段时间走的路程，最后用家到图书馆的距离减去小凯这短时间走的路程即可求出小凯到图书馆的距离。4．解：由图象可知：S=24=12×8AP，

∴AP=6，即a=6，也就是P在AB上移动到了6cm，所剩部分为4cm，

当a=8时，S为40，且面积不发生变化，即P点到B点用了2秒，距离是4cm，

∴b=2cm/s，c=18÷2+8=17（s）；

利用图表找出关键点，当8秒时，三角形面积是40，即可求出；5．（1）24（2）23（3）120千米(1)72÷3=24(千米/时)(2)24×2.5=60(千米/时)〈邮政车速度〉24×1÷(60−24)=24÷36=23(小时)〈追及时间〉邮政车出发(3)135÷60+2=2.25+2=4.25(小时)〈邮政车出发4.25小时返回(1+4.25−0.5)×24=4.75×24=114(〈此时自行车队距甲地114千米〉(135−114)÷(24+60)=21÷84=14(小时)〈邮政车返回114+1再次相遇地点距甲地120千米。

故答案为：（1）24；（2）23小时；（3）120千米。

（1）根据图像确定3小时内自行车队行驶的路程，再根据速度=路程÷时间，确定自行车队行驶的速度；

（2）根据邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍确定邮政车队的行驶速度。根据路程=速度×时间确定自行车队出发一小时行驶的路程，由于邮政车队晚一小时出发，故此时的路程即为邮政车队出发时邮政车队与自行车队的距离，由于自行车队与邮政车队行驶的方向相同，则两车队的速度差=邮政车队速度-自行车队速度。邮政车队与自行车队首次相遇的时间=邮政车队与自行车队的距离÷邮政车队与自行车队的速度差；

6．（1）解：设全程为单位1，弧AC=AB=x，小黑和小白的速度分别为V黑和V白，则列式为

v黑:v白=(1−x)：x=（2）解：当N÷3余数为1或0时，相遇点在B点，当N÷3余数为2时，相遇点在⑴因为速度=路程÷时间，时间是相同的，因此速度比就等于路程比，所以速度比v黑⑵速度之比为2：1，则一周所花时间之比为1：2，柳卡图如下显然，以3次相遇为一个周期位置进行循环故：当N÷3余数为1或0时，相遇点在B点，当N÷3余数为2时，相遇点在7．解：v龟：500÷125=4（米/分）v差：300÷25=12（米/分）v蟹：12+4=16（米/分）螃蟹休息时间：300÷4=75（分）螃蟹共用时：500÷16+75=425乌龟离终点500−4254×4=75根据速度=路程÷时间结合图像先算出乌龟的速度，再根据“螃蟹出发25分钟后的路程-乌龟的路程=300”求出螃蟹的速度。进而求出乌龟和螃蟹的会合地离起点的时间，结合总路程和二者的速度解答即可。8．（1）解：设甲骑行的速度为xkm/h，则的乙的速度是（x－10）km/h。

[27−(13−27)]x=13（x-10）

521x=13x-103

13x-（2）解：设丙经过m小时后与乙相距15km。

两人没有相遇前相距15km：

35×25+（25+35）m=90-15

60m=75-15

m=60÷60

m=1

两人相遇后继续前进相距15km：

35×25+（25+35）m=90+15

60m=105-15

m=90÷60

m=32

（1）设甲骑行的速度为xkm/h，则的乙的速度是（x－10）km/h，根据图中的数据列方程解答即可；

（2）设丙经过m小时后与乙相距15km，分两种情况，第一种情况是两人还没有相遇前的相距15km，此时，两人走的路程和=总路程－15，乙的速度×先出发的时间+（乙的速度+丙的速度）×共同经过的时间=总路程－15；第二种情况是两人相遇后相背而行后相距15km，此时，两人走的路程和=总路程+15，乙的速度×先出发的时间+（乙的速度+丙的速度）×共同经过的时间=总路程+15，根据上述两种情况列方程解答即可。9．解：V甲顺：V甲逆：V乙顺：V乙逆=32：24：24：16=4：3：3：2

设A、B两个港口间的距离为[4，3，2]=12(千米)，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为3：4：4：6。

40÷(12-13)

=40÷16

根据题意可得出甲船的顺水速度、甲船的逆水速度、乙船的顺水速度、乙船的逆水速度之比，V甲顺：V甲逆：V乙顺：V乙逆=32：24：24：16=4：3：3：2，设A、B两个港口间的距离为[4，3，2]=12(千米)，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为3：4：4：6。根据题意可画柳卡图如下：

甲船行走的路线用实线表示，乙船行走的路线用虚线表示，两船第二次迎面相遇地点为M，甲船第二次追上乙船在N点，MN的距离=两个港口距离的（12-1310．解：（1）运动4秒，长方形的长是2×4=8（厘米），宽是2厘米，因此重叠的面积是8×2=16（平方厘米）。答：运行4秒后，重叠面积是16平方厘米。（2）6秒到8秒面积不变，因此正方形的边长是运行6秒后的长度，即6×2=12（厘米）。答：正方形的边长是12厘米。（3）当长方形刚好穿过正方形时，运动的距离是长方形的长，因此用时为20÷2=10（秒）长方形离开正方形时，用时为12÷2+10=16（秒）因此两个括号里面从左往右依次填10、16。（1）解：运动4秒，长方形的长是2×4=8（厘米），宽是2厘米

重叠的面积是8×2=16（平方厘米）

答：运行4秒后，重叠面积是16平方厘米。（2）解：6秒到8秒面积不变，因此正方形的边长是运行6秒后的长度，即6×2=12（厘米）。

答：正方形的边长是12厘米。（3）解：（1）因为“长方形纸条的速度是每秒2厘米”，因此4秒的时候，长方形纸条进入到正方形中的长是2×4=8（厘米），宽不变仍是2厘米，所以利用长方形的面积计算公式“长×宽=长方形面积”，计算出重叠的面积就是8×2=16（平方厘米）。

（2）如果长方形纸条完全进入到正方形中，那么会有一段面积保持不变。因此当在6秒的时候，就是纸条完全刚好进入到正方形中，此时纸条的长就是正方形的边长，即6×2=12（厘米）。

（3）纸条的长明显要长过正方形的边长，所以当纸条刚开始进入正方形的时候到纸条开始离开正方形的时候，距离正好是一个纸条的长度20厘米，对应的时间就是20÷2=10（秒）；当纸条开始逐步离开正方形，直到完全离开的时候，距离就是正方形的边长12厘米，因此用时为12÷2=6秒，再加上之前累计的10秒，因此最后一个括号里面应该填16秒。11．（1）3；12；72（2）解：当5≤t≤9.5时，表示点P在AD边上，即点P沿D→A运动，.AD=18cm，

此时，点P的速度为18

9.5-5=4(cm/s)，

答：此时点P的速度为4cm/s；（3）解：∵BC=18cm，CD=12cm，

长方形ABCD的面积=BCxCD=18x12=216(cm2)，

S∆ABE=14长方形ABCD=14×216=54(cm2)，

①当点P在BC上时，即0

：.S∆BP1E=BE×BP=12×8×6t=24t=54：.t=94

②当点P在CD上时，S△BPE=72cm2≠54cm2(舍去)，

③当点P在AD上时，DP2=4(t-5)=(4t-20)cm，

：.AP2=AD-DP2=18-(4t-20)=18-4t+20=(38-4t)cm

：.S∆解：（1）(1)当t=a表示点P由点B运动到点C处时，∵BC=18cm，点P的速度为6cm/s，6a=18，a=3，

S∆BPE=12BE×BC=12×8×18=72(cm2)，∴b=72，

当a≤t≤5时，表示点P在CD边上，∵点P的速度为6cm/s，：.CD=(5-a)x6=(5-3)x6=2x6=12(cm)

故答案为：3；12；72

(1)当t=a表示点P由点B运动到点C处时，6a=18，求出a，当t=3时，点P运动到点C处为点BC的长度，即S△BPE=BE.BC，求出b，当a≤t≤5时，表示点P在CD边上，CD=(5-a)x6，进而作答即可；

(2)当5≤t≤9.5时，表示点P在AD边上，根据速度=路程÷时间作答即可；

(3)先求出S长方形ABCD=BCxCD，则S12．解：（1800-80×10）÷（65-50-5）=200（米/分）

200-80=120（米/分）

答：甲返回的速度是120米/分。从图像中获取信息。第一段两人上山，由于甲速度快，两人之间的距离逐步增加，甲到达山顶用时50分钟，两人之间的距离1800米。第二段甲到达山顶休息10分钟，这时乙继续上山两人之间的距离逐步减少，此时两人之间的是1800-80×10=1000米，第三段，甲下山乙上山两人相向而行，路程是1000米相遇时间是65-50-10=5分钟，速度和是1000÷5=200米/分，可求甲下山速度13．解：当点P运动到B点时，S△APD=AB×AD÷2

=8×10÷2

=40(cm2)；

所以当点P运动a秒时，点P在AB之间，设该点为E

AE×AD÷2=24，即4AE=24，AE=6；

a=6÷1=6(s)；

点P速度变化后到B点用了8-6=2(秒)；

b=EB÷2

=(10-6)÷2

=4÷2

=2(cm/s)；

c=(BC+CD)÷2+8

=(8+10)÷2+8

=9+8

=17(s)

答：a、b、c的值分别为6、2、17。由图可知，当点P运动到B点时，S△APD=AB×AD÷2=40(cm2)，所以当点P运动a秒时，点P在AB之间，设该点为E，根据三角形面积计算公式即可求出AE的长度，再用AE的长度除以点P的速度即可求出a的值。由图象可知，当点P运动8秒时，点P运动到了点B，因此，用8减去a的值求出点P在EB上的运动时间，接着再用EB的长度除以该运动时间即可求出b的值。由图象可知，8到c的这段时间，点P由B点运动到D点，因此，用BC加CD的长度除以b可以求出8到c的这段时间，再加上8即可求出c的值。14．解：设李明的速度为x米/秒，小刚的速度为y米/秒。

1600+100x=1450+100y1600+300x=1450+200y

解得：x=1.5y=3

S0=1600+100×1.5=1750可以设李明的速度为x米/秒，小刚的速度为y米/秒，由图可知，S0表示100秒时，小刚追上李明两人所跑的路程；S1表示终点到起点之间的距离，即200秒时，小刚所跑的路程，以及300秒时，李明所跑的路程，根据速度×时间=路程，列方程求出两人的速度，进而求出S0和S1的值。15．（1）解：速度和：900÷6=150（千米/小时）

乙车的速度：120÷（8-6）

=120÷2

=60（千米/小时）

甲车的速度：150-60=90（千米/小时）

答：甲车的速度是90千米/小时，乙车的速度是60千米/小时。（2）解：120÷（90-60）

=120÷30

=4（小时）

8时+4时+8时=20时

答：D点所表示的时间是20：00。（3）解：90÷（90-60）

=90÷30

=3（小时）

20时+3时=23时

答：又过了3个小时两车相距90千米，此时的时间是23：00。由图象看出a、他们6小时相遇共行了900千