2021年陕西省汉中市汉台区数学一模试卷

一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的)(其中第4、7、8题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(3分)的倒数是()2.(3分)如图是某个几何体的三视图，该几何体是()A.长方体B.正方体C.三棱柱D.圆柱3.(3分)如图，直线a,b被c所截，al|b,若∠3=3∠2,则∠1的度数为()A.30°B.45°C.50°D.64.(3分)已知ab<0,则正比例函x的图象经过()A.第二、四象限B.第二、三象限C.第一、三象限D.第一、四象限5.(3分)下列运算正确的是()A.2m³+3m²=5m⁵B.(m+n)(n-m)=m²-n²C.m·(m²)³=m⁶E为AC的中点，连接DE,则△CDE的周长为()A.11B.177.(3分)若直线y=kx-b沿y轴平移3个单位得到新的直线y=kx-1,则b的值为()AA8.(3分)如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分LBAC,AE=CE,BE=2,则矩形ABCD的面积为()A.24√3B.249.(3分)如图，△ABC内接于00,BD是○○的直径.若LDBC=33°,则∠A等于()10.(3分)对于二次函数y=z²-4x+3,当自变量z满足a≤x<3时，函数值y的取值范围为-1≤y<0,则a的取值范围为()A.-1<a≤2B.1<a≤3C.1<a<2二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)(其中第1、4题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(3分)16的算术平方根是2.(3分)若正多边形的一个外角等于36°,那么这个正多边形的边数是·3.(3分)如图，正比例函数y=x和反比例函数!)的图象在第一象限交于点A,且OA=2,则k的值为·上的一动点，则最小值等于·三、解答题(共11小题，计78分.解答题应写出过程)(其中第8、9题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(5分)解不等式组：2.(5分)化简：△ABC分成两个等腰三角形.(保留作图痕迹，不写作法)5.(7分)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从全校学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分均为整数),并对成绩进行整理、描述和分析.部分信息如下：a.成绩频数分布表与扇形统计图：学生测试成绩的频数表组别成绩a(分)频数(人)各组总分数(分)ABCmDE根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：m=,n=,所抽取学生成绩在60≤a<70这一组的众数是分；(2)求所抽取学生的平均成绩；(3)若该校有1400名学生，假设全部参加此次测试，请估计成绩不低于80分的人数.6.(7分)如图，某地有一座古楼，小华和数学组的成员想用所学知识测量古楼的高AB.测量方法如下：首先，小华站在D处，用测角仪测得古楼顶端A的仰角为50.3°;然后，小华在点N处竖立高2米的标杆MN,接着沿DN后退到点F,恰好看到标杆顶端M和古楼顶端A在一条直线上.量得小华的眼睛到地面的距离CD=EF=1.5米，NF=1测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，CD⊥DF,AB⊥DF,MN⊥DF,EF⊥DF,求这座古楼的7.(7分)在全球关注的抗击“新冠肺炎”中某跨国科研中心的一个团队研制了一种助治“新冠肺炎”的新药，在试验药效时发现，如果成人按规定的制量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升8微克(1微克=10-³毫克),接着逐步安减，10小时时血液中含药最为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.(1)分别求线段OA、AB所表示的函数关系式；x(小时)(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的，那么这个有效时间是多长?8.(7分)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作，北京冬残奥会吉祥物“雪容融”则以中国标志性符号的灯笼为创意进行设计创作.“冰墩墩”和“雪容融”是一个非常完美的搭配和组合，是中国文化和奥林匹克精神又一次完美的结合.莉莉有各2张(如图),这4张邮票背面完全相同，莉莉想给好友小婷和小华各送一张纪念邮票，她先让小婷从这4张邮票中随机抽取一张，然后，再让小华从剩下的3张中随机抽取一张.(2)利用树状图或列表法求小婷和小华均抽到“雪容融”的纪念邮票的概率.9.(8分)如图，AB为○○的直径，弦CD⊥AB,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点(1)求证：直线BF是⊙O的切线；10.(10分)如图，抛物线L:y=-x²+bx+c与x轴交于点A(-1,0),(1)求抛物线L的函数表达式及顶点C的坐标；(2)抛物线L与抛物线L关于原点○对称，抛物线L与x轴交于点M、N(点M在点N的左侧),在点N右侧的抛物线L上是否存在一点P,作PD⊥x轴于点D,使得以点P,M,D为顶点△ABC相似?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.11.(12分)问题探究(1)如图①,在△ABC中，LC=90°,BD平分∠ABC,AB=6,CD=2,(2)如图②,在△ABC中，∠BAC=30°,BC边上的高AD=7,△ABC外接圆的半径为4,求△ABC的面积；问题解决(3)如图③,现要修建一个形状为△ABC的水上乐园，并在BC边上的点D处建一个储物间，其中∠BAC=60°,AD平分∠BAC且AD=300m,为节约成本，水上乐园管理部门计划使△ABC的面积尽可能的小，问能否修建一个满足要求的面积最小的△ABC?若能，请求出△ABC的最小面积，若不能，请说明理由.(结果保留根号)B一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的)(其中第4、7、8题包含解题视【解析】直接利用倒数的定义得出答案.2.解：A、长方体的三视图均为矩形，不符合题意；B、正方体的三视图均为正方形，不符合题意；C、三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意；D、圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意；【解析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得.【解析】根据平行线的性质求出∠1=∠2,求出∠3=3L1,根据邻补角互补求出∠1即可.∴正比例函数图象经过第二、四象限.【解析】根据两数相乘除，同号得正，异号得负可得a,b异号，则,根据正比例函数的性质可得结论.5.解：A、2m³与3m²不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；B、原式=n²-m²,故本选项计算错误；C、原式=m¹+⁶=m⁷,故本选项计算错误；D、原式=m³-²=m,故本选项计算正确.【解析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法计算法则解答.【解析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC,根据三角形中位线定理求出DE,根据三角形的周长公式计算，得到答解得b=-2或4.【解析】根据上加下减的原则可知，将直线y=kz-b沿y轴平移3个单位得到直线y=kz-b±3,即直线y=kz-1,那么-b±3=-1,即可求出b的值.8.解：∵四边形ABCD是矩形，∴矩形ABCD面积=AB×BC=2√3×6=12√3;【解析】由矩形的性质得出∠B=90°,得出∠BAC+∠BCA=90°,由角平分线和等腰三角形的性质得出LBAE=∠EAC=∠ECA,求出∠BAE=∠EAC=∠ECA=30°,由直角三BC=BE+CE,即可得出结果.9.解：连接CD,如图，【解析】连接CD,如图，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°,则利用互余可计算出∠D=57°,然后根据圆周角定理即可得到LA的度数.10.解：函数图象如下，函数的对称轴为：x=2,顶点D坐标为：(2,-1),则点A、B的坐标分别为：(1,0)、(3,0),从图象可以看出：y的取值范围为-1≤y<0时，【解析】函数的顶点D坐标为：(2,-1),则点A、B的坐标分别为：(1,0)、(3,0),从图象可以看出：y的取值范围二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)(其中第1、4题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.解：∵4²=16,故答案为：4.【解析】根据算术平方根的定义即可求出结果.2.解：正多边形的一个外角等于36°,且外角和为360°,则这个正多边形的边数是：360°÷36°=10.故答案为：10.【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数.3.解：设A(t,t)(t>0),:2²+t²=22,解得t=√2(负值舍去),故答案为2.【解析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，设A(t,t)(t>0),根据两点间的距离公式得到t²+t²=2²,求出得到A(√2,√2),然后把A点坐标代入!(k≠0)中可求出k的值.4.解：如图，过点P作PE⊥AD,交AD的延长线于点E,故答案为3√3【解析】过点P作PE⊥AD,交AD的延长线于点E,由锐角三角函数可得,即,则当三、解答题(共11小题，计78分.解答题应写出过程)(其中第8、9题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)则不等式组的解集为1<x≤3.【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.2.解：原【解析】根据分式的运算法则即可求出答案.3.解：如图，线段BD即为所求作.【解析】作LABC的角平分线BD交AC于点D,线段BD即为所求作.【解析】利用SAS判定△ABC=△ADE,再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得∠B=∠D.5.解：(1)本次抽取的学生有：10÷10%=100(人),所抽取学生成绩在60≤a<70这一组的众数是67分，故答案为：20,20,67;=78.5(分),即所抽取学生的平均成绩是78.5分；即估计成绩不低于80分的有770人.【解析】(1)根据频数表中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m、n的值，并写出成绩在60≤a<70这一组的众数；(2)根据频数表中的数据，可以计算出所抽取学生的平均成绩；(3)根据频数表中的数据，可以计算出计成绩不低于80分的人数.可得延长EQ经过点C,则CD=QB=PN=EF=1.5,MP=MN-PN=0.5,CE=DF=68,PE=NF=1,设AB=x,则AQ=x-1.5,答：这座古楼的高AB为25.5米.【解析】过点E作EQ⊥AB于点Q,交MN于点P,根据锐角三角函数可得CQ,进而利用相似三角形的判定和性质可得高度AB.7.解：(1)设线段OA所表示的函数关系式为y₁=kx,将(2,8)代入y₁=kx,故线段OA所表示的函数关系式为y₁=4x,设线段AB所表示的函数关系式为y₂=kx+b,将(2,8),(10,3)代入y₂=kx+b,故线段AB所表示的函数关系式为：解得x=1,∴这个有效时间是8.4-1=7.4(小时).【解析】(1)直接利用待定系数法分别求出函数解析式；(2)直接利用(1)中所求解析式，进而得出有效时间.8.解：(1)小婷抽到“冰墩墩”的纪念邮票的概率是2,AABBAABB由表可知，共有12种等可能的结果，其中均为B的结果有2种，∴P(小婷和小华均抽到“雪容融”的纪念邮票)【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.【解析】(1)欲证明直线BF是⊙○的切线，只要证明AB⊥BF即可.进,(2)连接OC,设OC=OB=x,则PB=a-1,解直角三角形求得PC=2(z-1),在Rt△OPC中，利用勾股定理求出而求得,即可解决问题.进,10.解：(1)将点A、B