2026-2027学年寒假奥数专题：优化问题-数学四年级下学期人教版（含答案）

/寒假奥数专题：优化问题-数学四年级下册人教版一、选择题1．学校要给区数学速算比赛获奖的45名同学发奖品，每名同学发一支钢笔，商店有下面两种包装的钢笔，最省钱的购买方案是（）。A包装一盒8支共30元B包装一盒5支共20元A．买A包装的6盒 B．买8包装的9盒C．买A包装的5盒和B包装的1盒 D．买A包装的1盒和B包装的8盒2．三个小朋友排队打电话。小明要打3分钟，小兰要打5分钟，小红要打2分钟。要使三人等候时间的总和最少，应该安排打电话的顺序为（

）。A．小明→小红→小兰 B．小红→小明→小兰 C．小兰→小明→小红3．学校为了更好的培养同学们对篮球运动的兴趣，决定开一个篮球班，需要购买篮球60个．甲店：每个篮球25元，买满10个送2个，不满不送；乙店：每个篮球25元，每个篮球打八折．到（）购买比较合算．A．甲店 B．乙店 C．两个店都可以4．师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（）方案最省钱。A．6条大船 B．5条大船，1条小船 C．4条大船，2条小船5．小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟．小明合理安排以上事情，最少要（

）几分钟使客人尽快喝茶．（提示：先接水，再烧水，烧水的同时，可以洗茶杯，拿茶叶，最后沏茶）A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟6．黄芳早晨起床后，在家刷牙洗脸要用3分钟，有电饭锅烧早饭要用14分钟，读英语单词要用12分钟，吃早饭要用6分钟，她经过合理安排，起床后用（）分钟就能去上学．A．35分钟 B．26分钟 C．21分钟7．小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（

）分钟。A．21 B．25 C．26 D．418．一个理发店，同时来了四位顾客，按他们所要理的发型，甲需要15分钟，乙需要25分钟，丙需要18分钟，丁需要40分钟．要求四个人等候时间综合最少，则理发时间的总和是（）A．98分钟 B．63分钟 C．141分钟 D．204分钟二、填空题9．小花猫和小白猫一起吃鱼。小花猫每分钟吃1条鱼，但每吃1分钟要休息3分钟；小白猫每分钟吃2条鱼，但每吃1分钟要休息1分钟，他们吃完30条鱼需要()分钟。10．商店促销一种圆珠笔，规定：每支1元，每5支4元，每10支7元，每20支13元，小明的钱最多可以买56支，小华的钱最多能买65支，小华的钱比小明多()元。11．一把钥匙只能开一把锁。现在有10把钥匙10把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁。最多要试()次才能将所有的钥匙和锁成功配对。12．同样的荧光笔有下面两种包装方式。王老师想买15支，她最少要花()元。4支装8元一盒3支装7元一盒13．用载质量2吨的车和载质量3吨的车来运煤。如果每次运煤的车都装满，有()种方案可以恰好运完8吨煤。14．小张买了24瓶汽水，每4个空瓶可以换1瓶汽水，小张共能喝到()瓶汽水。15．同学们去买玩具，要买37个玩具狗。大包装5个一盒，每盒10元，小包装4个一盒，每盒8元。这样购买最省钱：大包装的买()盒，小包装的买()盒。16．孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他拔下毫毛就变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化的时间是1秒钟，如果要变化出15个孙悟空，最短需要()秒钟。三、解答题17．一种蛋糕零售每盒20元，如果批发每箱（一箱5盒）90元。（1）如果买5盒，那么批发合算还是零售合算？

（2）如果买7盒，那么应该怎样买省钱？18．三（5）班共有45名学生，在5位老师的带领下去公园游玩。怎样买票最合算？19．①端午节到了，食堂供应每人一个粽子，三年级平均每班44人，共有6个班，还有10位任课老师，共需要（

）个粽子。②这些粽子有两种包装，甲种每盒8个，价格是48元，乙种每盒6个，价格是42元。三（1）班的44人可以如何购买，需要花费多少元？甲包装/盒乙包装/盒共买个数/个共需钱数/元方案一方案二方案三20．240名师生去参加比赛，计划租车费用不超过2100元。现在有甲、乙两种客车，每辆车的载客量和租金如下表：甲客车乙客车载客量/人5040租金/元400330可以怎样租车？费用最少是多少元？21．据统计，宁波境内遗存的古桥梁有415座。这些古桥，有许多依旧在履行着使命，它们连接着往昔与今朝，沟通着当下与未来；为保护古桥，桥上仅限小货车通行。如果用下面两辆车运输10吨沙土，从古桥经过。每次每辆车都装满，怎样安排恰好能运完？你有几种方案？

22．一共有20只兔子入住酒店，酒店有如下两种房子。小房子：每间能住4只兔子。大房子：每间能住6只兔子。（1）如果每间房子都住满，可以怎样住？（2）如果住一间大房子8元，住一间小房子6元，在每间房子都住满的情况下，哪种住房方案省钱？23．鼓浪屿凤梨外皮松化口，凤梨内馅甜而不腻，深受人们喜爱。商家推出两种包装，如果每个盒子都装满，王老师，怎样买能恰好买到16粒凤梨酥？（1）请列出购买方案。购买方案6粒装4粒装共装粒数1从表中可以知道方案（

）王老师可以恰好买到16粒凤梨酥。（2）恰好买到16粒凤梨的情况下，哪种购买方案最合算，需要多少钱？

参考答案：1．C【分析】先用除法初步判断出哪种包装便宜就尽量买哪种包装的，然后把剩下的买另外一种包装的，这样就是最省钱的方案。【详解】30÷8＝3（元）……6（元），20÷5＝4（元），A包装每支不到4元，B包装每支4元，A包装便宜，因此尽量买A包装；45÷8＝5（盒）……5（支），先买A包装5盒，剩下的5支买一盒B包装的。故答案为：C2．B【分析】根据题意，要使三人等候的时间总和最少，就要使每个人等待的时间最少，即让打电话时间最短的人先打，据此解答。【详解】2＜3＜5所以要按小红→小明→小兰的顺序打电话，这样三人等候时间的总和最少。故答案为：B【点睛】本题考查优化问题，掌握怎样排队打电话才能使等候时间的总和最少的方法是解题的关键。3．B【分析】本题根据需要购买的篮球的个数及两个商店不同的优惠方案分别进行分析计算即能得出到哪个商店比较合算．甲店：每个篮球25元，买满10个送2个．60÷（10+2）=5，即可获送2×5=10个．只要再买60﹣10=50个即可，需花50×25=1250元；乙店：每个篮球25元，每个篮球打八折．需花25×60×80%=1200元．1200元＜1250元，即到乙店比较合算．【详解】甲店需花：60÷（10+2）=5（60﹣5×2）×25=（60﹣10）×25，=50×25，=1250（元）．乙店需花：25×60×80%=1200（元）．1200元＜1250元，即到乙店比较合算．故选B．4．C【分析】根据“租一条大船需30元可乘坐6人，租一条小船需24元可积坐4人”，可以求出坐大船每人的钱数（30÷6）元，坐小船每人的钱数（24÷4），然后比较是坐大船便宜还是坐小船便宜，再设计方案时尽量租便宜的，而且不留空位【详解】解：因为，30÷6＝5（元）24÷4＝6（元）所以尽可能租用大船，而且不能有空座；30＋2＝32（人）或6×4＋4×2＝32（人）32÷6＝5（条）…2（人）租用5条大船，还有2人不能上船，其余2人租一条小船费用为：5×30＋1×24＝150＋24＝174（元）；或者租用4条大船，2条小船，6×4＋4×2＝32（人）刚好满座费用为：4×30＋24×2＝120＋48＝168（元）168＜174答：租用4条大船和2条小船，租金最少，租金是168元。故答案为：C5．B【详解】略6．C【分析】解答此题的关键是，运用合理的统筹方法，即在干一件事时，另一件事同时也在进行，这样才能做到用最少的时间做更多的事情．根据题意知道，用电饭锅烧早饭的时候，可以同时刷牙洗脸，读英语单词，这样就可节约时间．【详解】3+12+6=21（分）．7．B【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地、擦家具，可节约6＋10＝16分钟，所以做完这件事至少需要20＋5＝25分钟，据此解答。【详解】由分析可知做完这些事至少要花25分钟。故答案为：B【点睛】本题考查了运筹问题，要明白哪些事情要先做，哪些事情可以同时做。8．D【解析】要使他们等候时间的总和最少，应该让用时最少的顾客先理，即理发顺序是：甲、丙、乙、丁，第一个人理发三个人等，时间和是这人理发时间的4倍，依此类推，第二人理发时间的3倍，第三人理发时间的2倍，第四人理发时间的1倍（只有自己），加起来，即可得解．由此即可选择．【详解】15×4+18×3+25×2+40=60+54+50+40=204（分钟），答：这四人理发及等候的时间总和最少是204分钟；故选D．9．23【分析】小花猫每4分钟吃1条鱼，小白猫每两分钟吃2条鱼，一共每四分钟吃5条鱼，20分钟可以吃25条鱼，然后第21分钟后又吃了3条鱼，第22分钟都休息，第23分钟又吃了2条鱼，刚好共30条鱼。【详解】（条）（条）（条）（分钟）【点睛】每4分钟吃5条鱼，吃完30条鱼并不是直接用30除以4，需要考虑每一分钟的具体情况。10．5【分析】买的越多，相对越划算，小明的钱最多可以买56支，可以先每次买20支，买两次，40支总共26元，剩下的16支分成10支、5支、1支，依次需要7元、4元、1元，总共38元；小华的钱最多能买65支，每次买20支，三次买了60支，花了39元，剩下5支4元，总共43元。【详解】（支）（元）（支）（元）（元）【点睛】由于每次购买的越多，对自己越有利，所以尽可能每次购买更多数量的圆珠笔。11．45【分析】考虑最倒霉的情况，给第1把锁找钥匙时，前面9次都不匹配，那么一定是剩下的1把，这样试了9次可以确定第1把锁的钥匙；给第2把锁找钥匙时，剩下的9把钥匙中前面8次都不匹配，那么一定是剩下的1把，这样试了8次可以确定第2把锁的钥匙；同理，找出后面第3、4、5、6、7、8、9、10把锁的钥匙最多需要7、6、5、4、3、2、1、0次。【详解】（次）【点睛】本题考查的是最不利原则，最不利原则就是要考虑最不利于自己的情况。12．31【分析】根据题意可知，一共有3种购买方案，比较哪种购买方案最省钱。方案一：都买每盒4支装的，买15支，需要买4盒，一共需要花4×8＝32（元）；方案二：都买每盒3支装的，买15支，需要买5盒，一共需要花5×7＝35（元）；方案三：买3盒4支装、1盒3支装的，需要花3×8＋7=31（元）。将三种方案花费的钱数比较大小，花费钱数最少的那个方案即为所求。【详解】方案一：都买每盒4支装的。15÷4＝3（盒）……3（支）3＋1＝4（盒）4×8＝32（元）方案二：都买每盒3支装的。15÷3＝5（盒）5×7＝35（元）方案三：买3盒4支装、1盒3支装的。3×8＋7＝24＋7＝31（元）31＜32＜35则王老师想买15支，她最少要花31元。【点睛】解决本题时应找出不同的购买方案，根据总价＝单价×数量，分别求出各个方案花费的钱数。再找出花费钱数最好的方案即可。13．2【分析】两辆车的载质量分别为3吨和2吨，可以只安排一辆车，也可以两辆车同时安排，但要每次都装满。用列表的方法把不同的运送方案一一列举出来，再选择最优方案。【详解】运送方案载质量3吨的车载质量2吨的车运煤吨数①3次0次9吨②2次1次8吨③1次3次9吨④0次4次8吨则大车运2次、小车运1次或者小车运4次都能恰好运完这些煤，共2种方案。【点睛】根据已知条件和数量关系将所有可能的方案一一列举出来，然后再从各种方案中选择最优方案。14．32【分析】先喝24瓶汽水，这24个空瓶可以换24÷4＝6（瓶），喝完了6瓶，产生6个空瓶，用4个空瓶换1瓶水，还剩下2个空瓶，喝完这一瓶水后，一共剩下了3个空瓶，然后向老板借1瓶水，喝完后还给老板1个空瓶，再加上总共能喝到24＋6＋1＋1＝32（瓶），据此解答即可。【详解】24÷4＝6（瓶）6÷4＝1（瓶）……2（空瓶）1＋2＝3（空瓶）然后向老板借1瓶水，用4个空瓶换一瓶水再还给老板，一共可以喝到，24＋6＋1＋1＝30＋1＋1＝31＋1＝32（瓶）【点睛】解答此题的关键需要考虑到的是先借1瓶汽水，再还回去。15．18【分析】根据题意，逐一列举出各种购买的方案；购买方案大包装（盒）小包装（盒）玩具狗（个）①8040②7139③6238④5337⑤4540⑥3639⑦2738⑧1837⑨01040分别计算出这9种方案的需要的钱数，再比较大小。【详解】①8×10＝80（元）②7×10＋8＝70＋8＝78（元）③6×10＋2×8＝60＋16＝76（元）④5×10＋3×8＝50＋24＝74（元）⑤4×10＋5×8＝40＋40＝80（元）⑥3×10＋6×8＝30＋48＝78（元）⑦2×10＋7×8＝20＋56＝76（元）⑧1×10＋8×8＝10＋64＝74（元）⑨10×8＝80（元）80元＞78元＞76元＞74元则方案④和方案⑧最省钱。这样购买最省钱：大包装的买5盒，小包装的买3盒；或者大包装的买1盒，小包装的买8盒。【点睛】解答此题时，一般先安排全部购买大包装的，看要买几盒，然后把大包装的盒数依次减1，用列表法枚举出所有的购买方案，并从中找出最省钱的方案。16．4【分析】1秒可以由1个孙悟空变成2个孙悟空；2秒可以由2个孙悟空变成4个孙悟空；3秒可以由4个孙悟空变成8个孙悟空；4秒可以由8个孙悟空变成16个孙悟空，减去原来的孙悟空，相当于变出了（16－1）个孙悟空，因此，要变出15个孙悟空，至少需要4秒钟。【详解】1×2＝2（个）2×2＝4（个）4×2＝8（个）8×2＝16（个）16－1＝15（个）所以，如果要变化出15个孙悟空，最短需要4秒钟。【点睛】解决本题的关键是知道每过1秒孙悟空的个数变为原来的2倍。17．（1）批发合算；（2）批发1箱，零买2盒合算【分析】（1）根据批发每箱里面一共有5盒，批发价格一箱90元，零售每盒20元，计算出这5盒零售需要多少钱，与批发价格比较，得出最合算的方案。（2）买7盒有两种方案，第一种批发5盒，剩下2盒零买；第二种方案，7盒都用零售价格购买，求出需要花费的价格比较，得出省钱的方案。【详解】（1）批发：90元零买：20×5＝100（元）90＜100答：批发合算。（2）批发一箱，零买2盒：20×2＝40（元）40＋90＝130（元）零买7盒：20×7＝140（元）130＜140答：批发一箱，零买2盒合算。【点睛】本题主要考查的是一位数乘两位数的计算，解题关键在于整数的大小比较，从而得出最划算的方案。18．40张学生票和10张团体票【分析】学生票票价乘学生数可以算出购买学生票需要（6×45）元，成人票票价乘老师数即可算出购买成人票需要（12×5）元，购买学生票需要钱数加上购买成人票需要钱数，可以算出老师和学生分别购票需要多少元。学生人数加上老师人数可以算出游玩总人数是（45＋5）名，团体票票价乘游玩总人数即可算出购买团体票需要（45＋5）×8（元）。学生票购买40张，剩下（45－5＝5）名同学和老师一起购买团体票，则需要40张学生票和（5＋5＝10）张团体票，学生票票价乘学生数可以算出购买学生票需要（6×40）元，团体票票价乘购买团体票张数即可算出购买团体票需要（8×10）元，再将购买学生票需要钱数和购买团体票需要钱数相加。比较三种购票方案所需钱数，选择合算的方案。【详解】6×45＝270（元）12×5＝60（元）270＋60＝330（元）8×（45＋5）＝8×50＝400（元）6×40＝240（元）45－5＋5＝5＋5＝10（张）8×10＝80（元）240＋80＝320（元）320＜330＜400答：购买40张学生票和10张团体票合算。【点睛】本题主要考查最优化问题，关键是根据购票方案，算出各需多少钱，选出最省钱的方案。19．①274②4盒甲种和2盒乙种包装；276元【分析】①三年级平均每班人数乘班级数可以算出供应给学生需要（44×6）个粽子，再加上供应给老师的粽子个数即可算出共需要（44×6＋10）个粽子。②三（1）班的44人需要购买44个粽子，甲种包装每盒粽子个数乘盒数加上乙种包装每盒粽子个数乘盒数算出可以购买多少个粽子，甲种包装每盒价钱乘盒数加上乙种包装每盒价钱乘盒数算出共需多少元，再选择最省钱的方案。【详解】①44×6＋10＝264＋10＝274（个）端午节到了，食堂供应每人一个粽子，三年级平均每班44人，共有6个班，还有10位任课老师，共需要（274）个粽子。②甲包装/盒乙包装/盒共买个数/个共需钱数/元方案一606×8＝486×48＝288方案二515×8＋6＝465×48＋42＝282方案三424×8＋2×6＝444×48＋2×42＝276方案四343×8＋4×6＝483×48＋4×42＝312方案五252×8＋5×6＝462×48＋5×42＝306方案六168＋6×6＝4448＋6×42＝300方案七086×8＝488×42＝336276＜282＜288＜300＜306＜312＜336答：可以买4盒甲种包装粽子和2盒乙种包装粽子；需要花费276元。【点睛】本题主要考查最优化问题，关键是利用列举法找到符合题意的购物组合。20．租车方案见详解；1930元【分析】因为甲客车每人租金为：400÷50＝8（元）；乙客车每人租金为：330÷40＝8（元）……10（元），所以尽量租用甲客车，且尽量满载最经济；由此根据坐车的总人数与甲客车和乙客车可以乘坐的人数，确定租车的方案；然后再分别计算租车方案所需钱数，比较即可得出结论。【详解】甲客车每人需要的钱数为：400÷50＝8（元）乙客车每人需要的钱数为：330÷40＝8（元）……10（元）所以尽量租甲客车且尽量满载最经济。240÷50＝4（辆）……40（人）方案一：如果租5辆甲客车，需要的钱数为：400×5＝2000（元）方案二：如果租4辆甲客车和1辆乙客车，需要的钱数为：400×4＋330＝1600＋330＝1930（元）方案三：如果租3辆甲客车和3辆乙客车，需要的钱数为：3×400＋3×330＝1200＋990＝2190（元）方案四：如果租2辆甲客车和4辆乙客车，需要的钱数为：2×400＋4×330＝800＋1320＝2120（元）方案五：如果租1辆甲客车和5辆乙客车，需要的钱数为：400＋5×330＝400＋1650＝2050（元）方案六：如果租6辆乙客车，需要的钱数为：330×6＝1980（元）1930＜1980＜2000＜2050＜2100＜2120＜2190答：可以租5辆甲客车；租4辆甲客车和1辆乙客车；租3辆甲客车和3辆乙客车；租2辆甲客车和4辆乙客车；租1辆甲客车和5辆乙客车；租6辆乙客车；费用最少是1930元。【点睛】本题主要考查优化问题。根据需要乘车的人数及每种车的承载人数及租车费用进行分析是完成此类问题的关键。21．2吨的小货车运5次或2吨的小货车运2次、3吨的小货车运2次；2种方案【分析】10吨沙土用2吨的小货车运，5次刚好运完，然后2吨的小货车运的次数每次减少1次，剩下的沙土由3吨的小货车运，计算出3吨小货车要运的次数，求出每种方案可运的吨数，用列表的方法把不同的运送方案一一列举出来，找出恰好可以运10吨的方案即可解答。【详解】派车方案2吨3吨运沙吨数①5次0次10吨②4次1次11吨③3次2次12吨④2次2次10吨⑤1次3次