高考数学一轮复习 8.5 数列前n项和

第五节数列前项和考向1公式法1.等差数列求和公式:.特别地,当项数为奇数时,,即前项和等于项数乘以中间项,用此公式可以简化运算.2.等比数列求和公式:（1），；（2），，特别要注意对公比的讨论.3.常用公式（1）平方和公式:；（2）立方和公式:.4.如果一个数列通过适当分组可写成的形式,而数列可利用公式求和或可转化为能够求和的数列,进而分别求和,再将其合并从而得出原数列的和.例31已知等差数列中,,公差;等比数列中,是和的等差中项，是和的等差中项.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.考向2奇偶讨论、并项分类题型1常规四大类型1.常见模型①通项含或或或型；②型；③型；④.2.解题策略:①并项求和:将与并项,把看作一个整体; ②分组求和.3.注意事项:①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”.②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式,再加上最后的奇数项通项;若通项公式不确定,则按照求偶的方式求奇即可;③并项后要注意新数列的项数.例32已知，数列的前项和为，求数列的前项和.例33已知数列满足.（1）若为等差数列，求；（2）若，求.例34数列中,为数列的前项和,求.例35记为数列的前项和,若,且,则的值为_____.A.5050B.2600C.2550D.2450例36已知为数列的前项和,且.（1）求证:数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和.例37（2026·天津模拟）已知是公差不为0的等差数列,是等比数列,.（I）求和的通项公式;（II）若与满足关系:,且当时,,则称数列是由数列生成的“不减数列”.（i）若，求的前项和；（ii）满足以下两个条件:①为项有穷数列,且,其中,是的任意一个排列;②为等差数列.若满足条件的的个数为,并将不同的记作,且,求.题型2非常规找规律型1.隔四项出规律的递推数列——形如型定理:若数列满足为其前项和,则数列,...}是以为首项,为公差的等差数列.证明:同理故数列是以为首项,为公差的等差数列,此类型题可以求出通项,但花的时间太多,显然每4项为一个整体操作更简单.一些数列含有周期性,需要列举几项,先发现规律后再简化要简单得多.例38已知数列满足,则数列的前2020项的和为A.0B.1010C.2020D.20242.二阶等差数列的求和公式在数列中,从第二项起,每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列,即成为一个等差数列,则称数列为二阶等差数列.记,其通项公式为;二阶等差数列的前项和公式为.例39（2020新课标I文）数列满足,前16项和为540,则考向3倒序相加法1.等差数列的前项和公式即是用此法推导的,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到个.2.如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法.例40求的值.例41已知函数.（1）证明函数的图像关于点对称；（2）若，求；考向4分段求和法求数列的前项和,关键在于分清哪些项为非负的,哪些项为负的,最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和.例（2023·乙卷）记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.考向5裂项相消法1.适用于分式型是各项不为0的等差数列;部分无理数列.可用待定系数法对通项公式拆项,把每一项都裂成正负两项,使其正负抵消,只剩下开头和结尾的有限几项,再求和.相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.2.裂项原理:,其中.3.裂项公式（1）裂差型①;②;③；④；⑤;⑥;⑦；⑧；（2）裂和型①;②；（3）先分离，再裂项①;②.（4）阶乘及三角型①; ②；③.题型1裂差型例42已知数列的前项和为，，.（1）求；（2）求.例43新高考I）记为数列的前项和,已知是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明:.例44已知正项数列的前项和,满足:.（1）求数列的通项公式；（2）记，设数列的前项和为，求证.例45已知数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.题型2裂和型例47设数列的前项和为,已知.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和.例48（2014・山东理）已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.题型3三角型例49数列各项均为正数,的前项和记作,已知.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前2023项和.考向6错位相减法题型1错位相减法1.设数列为等差数列,数列为等比数列,则不妨称为差比数列.教材中给出了这类数列的前项和的求法-错位相减法,消除中的各项系数差异,转化为等比数列（中间项构成一个等比数列）求和问题.2.错位相减法解题步骤细化（1）表达前项和，得（）（2）①式乘公比，可得②（书写时,尾首加零,并将“十”号对齐,①与②自动对齐,避免出错）（3）两式相减，①一②得（4）代入等比数列求和公式①中间项一定是等比数列；②求和公式用，避免项数出错.（5）化简.有负号给括号，能约分的约分3.万能公式法（1）若差比数列的通项公式为，则数列的前项和，其中（2）若差比数列的通项公式为，则数列的前项和，其中.注:在考试书写时可以按照错位相减法的具体步骤进行书写，再结合万能公式对所求结果进行检验，确保我们最后得到结果就是正确的答案,完美闭环!例50（2023·甲卷）已知数列中,,设为前项和,.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.例51已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前项和为，点在直线上，,求以及的最小值.例52（2025天津卷）已知数列是等差数列,是等比数列,.（1）求，的通项公式；（2），有，,（i）求证:对任意实数,均有;（ii）求所有元素之和.题型2裂项相消破错位相减法①若差比数列的通项公式为，利用待定系数法将差比数列通项进行裂项:不妨设,则,比较系数得,,于是.②若差比数列的通项公式为,不妨设,后面同①中的操作待定系数裂项即可.例53（2025·新课标1卷）已知数列中，，满足.（1）证明:为等差数列；（2）设，求.例54（2022·天津卷）设是等差数列，是等比数列，.（1）求与的通项公式；（2）设的前项和为，求证:；（3）求.例55（2021·浙江卷）已知数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立,求实数的取值范围.考向7放缩求和法1.命题规律:数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减,将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手,若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形;在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢.2.核心考点:①裂项放缩核心；②等比放缩.3.常见放缩公式:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）;（6）;（7）;（8）;（9）;（10）（11）（12）;（13）.（14）.（15）二项式定理①由于,于是②； （16）糖水不等式若,则;若,则.题型1放缩成裂项对于放缩后,再裂项相消求和类型,通过放缩后的裂项公式的首项或前几项的和即可判断放缩的精度是否满足题设要求,常见的题目无非是从第一项开始放缩、从第二项开始放缩或者从第三项开始放缩这三种.比如:,从第二项开始放缩,放缩的精度为;保留前两项,从第三项开始放缩,放缩的精度为.例56记为数列的前项和,已知是首项为3,公差为1的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明:当时，.例57（2013·广东理19）设数列的前项和为.已知.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明:对一切正整数，有.例58（2019・浙江