中考数学高分突破 专题13　几何的计算与证明及探究问题 第5课时　与角度有关的几何问题

第5课时与角度有关的几何问题专题十三几何的计算与证明及探究问题

1.

证明两个角相等的方法主要有（1）两个全等三角形的对应角相等；（2）同一三角形中等边对等角；（3）等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角；（4）两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等；（5）同角（或等角）的余角（或补角）相等；（6）相似三角形的对应角相等.2.

角的和、差问题，就是证一个角等于两个角的和或差，如证明∠1＋

∠2＝∠3，可将∠3分成两个角，使其中一个角等于∠1，再证另一个角

等于∠2即可.3.

角的倍、分问题，就是证一个角等于另一个角，或证一个角等于另

一个角的几倍或几分之一.对于角的差、倍、分问题，可将其转化为证

一个角等于两角的和.4.

角的和、差、倍、分问题，往往要利用角平分线的性质，等腰三

角形的性质，三角形的内角和定理及外角和，三角形全等或相似中

角的性质等，通过计算、整理，来转化角与角之间的关系，进而达

到求解目的.注意：解决角度的和、差、倍、分问题与证明线段的和、差、倍、分思

路相同.

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，连接AD，

AE，且AD＝AE.

（1）如图1，若∠B＝30°，∠DAE＝40°，则∠BAD＝

；

40°

证明两角相等

图1

图2

如答案图，延长AM至点H，使MH＝AM，连接DH.

∵点M为DF的中点，∴DM＝FM.

又∵AM＝HM，∠AMF＝∠HMD，∴△AMF≌△HMD（SAS），∴AF＝HD，∠AFM＝∠HDM，∴AE∥DH，（答案图）∴∠ADH＝180°－∠DAE＝120°＝∠ADB.

∵AF＝CE，∴CE＝DH＝AF＝BD.

又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADH（SAS），∴∠BAD＝∠DAM.

已知在▱ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，作

EF⊥DE，交AD于点F，点G为AD边上一点，且AB＝AG，连接GE.

证明角的倍数关系（1）如图1，若点G为DF的中点，AF＝2，EG＝4，∠B＝60°，求

AC的长；[答案]

（1）解：如答案图1，过点C作CH⊥AD于点H，则∠AHC＝

∠DHC＝90°.∵EF⊥DE，点G为DF的中点，∴FD＝2EG＝2×4＝8，FG＝EG＝4.∴AD＝AF＋FD＝10，AG＝AF＋FG＝6.

（答案图1）∴AB＝AG＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，∠HDC＝∠B＝60°.在Rt△HDC中，∠HDC＝60°，CD＝6，

∴AH＝AD－HD＝10－3＝7.

（2）如图2，连接CG交DE于点H，若EG∥CD，∠ACB＝∠DCG，

求证：∠ECG＝2∠AEF.

图1图2[答案]

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC.

∴∠ACB＝∠DAC，AG＝CD.

又∵∠ACB＝∠DCG，∴∠DAC＝∠DCG.

∵EG∥CD，∴∠AGE＝∠ADC，∠EGC＝∠DCG＝∠DAC.

在△AEG和△CGD中，1

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∴△AEG≌△CGD（ASA）.∴AE＝CG，EG＝GD.

∴∠GED＝∠GDE.

∵EF⊥ED，∴∠FED＝90°.∴∠GED＋∠FEG＝90°，∠GDE＋∠DFE＝90°.∴∠FEG＝∠DFE.

如答案图2，在EG上截取GM＝AF，连接CM.

在△AFE和△GMC中，

∴△AFE≌△GMC（SAS）.∴∠AEF＝∠GCM，∠AFE＝∠GMC.

∴∠DFE＝∠EMC.

又∵∠FEG＝∠DFE，∴∠FEG＝∠EMC.

∴FE∥CM.

∴∠AEF＝∠ECM＝∠GCM.

∴∠ECG＝∠ECM＋∠GCM＝2∠AEF.

（答案图2）

（2025·八中）在△ABC中.（1）如图1，若∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝10且

△ABD的面积为15，求CD的长；

证明垂直（2）如图2，若△ABC为等边三角形，点D为边AC上一点，连接BD，

点M为边BC的中点，点H为BD上的一点，连接AH，HM，且∠AHM

＝120°，求证：AH⊥BD.

[答案]（2）证明：如图2，延长MH至点E，使EH＝AH，连接AE，

CE，延长EM至点F，使MF＝EM，连接BF，延长BD，交CE于点G.

∵∠AHM＝120°，∴∠AHE＝60°，∴△AHE是等边三角形，∴AE＝AH，∠HAE＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠HAE，∴∠BAC－∠HAD＝∠HAE－∠HAD，即∠BAH＝∠CAE，∴△BAH≌△CAE（SAS），∴CE＝BH，∠ACE＝∠ABH.

∵∠ADB＝∠CDG，∴∠DGC＝∠BAC＝60°.∵M是边BC的中点，∴BM＝CM.

又∵∠BMF＝∠CME，MF＝ME，∴△BMF≌△CME（SAS），∴CE＝BF，∠F＝∠HEG，∴BF＝BH，∴∠F＝∠BHF.

∵∠EHG＝∠BHF，∴∠EHG＝∠F＝∠HEG，∴∠DGC＝∠HEG＋∠EHG＝2∠EHG＝60°，∴∠EHG＝∠BHF＝30°，∴∠AHB＝∠AHM－∠BHM＝120°－30°＝90°，∴AH⊥BD.

如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB.

证明角的和差关系图1

（2）如图2，H为线段AC上一点，连接BH，E为BH的中点，连接CE

并延长交AB于点F，连接HF.

若AH＝BF，求证：∠FBH＋∠FHB＝

∠FCH.

图2[答案]

（2）证明：如答案图，过点H作HG∥AB交CF于点G.

∴∠BFE＝∠HGE，∠A＝∠GHC.

∵E为BH的中点，∴BE＝HE.

∴△BEF≌△HEG（AAS），∴BF＝H