中考数学总复习 高分突破 第23课时　正方形

第23课时正方形第四章图形的性质

知识点1正方形的性质和判定性

质边对边平行，四边都相等

角四个直角对角线对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对

角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形判定（1）有一组邻边相等的

⁠是正方形（2）有一个角是直角的

⁠是正方形（3）对角线

⁠的平行四边形是正

方形面积公式S＝边长2＝

·对角线长度之积矩形

菱形

互相垂直且相等

知识点2中点四边形定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，称为中点四边形常见结论顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是

⁠顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是

⁠顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是

⁠平行四边形

菱形

矩形

常见结论顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是

⁠顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是

⁠

⁠顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形

是

⁠顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四

边形是

⁠正方形

菱

形

矩形

正方形

知识点3正方形中的基本图形及结论【模型一】正方形中的十字架模型模型介绍：如图1，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF＝MN.

变形1：如图2，若AF⊥BE，则AF＝

⁠.变形2：如图3，若BE⊥MN，则BE＝

⁠.易错点：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.解题技巧：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.BE

MN

【模型二】双中点（十字架模型拓展）（1）知2推1：①M是中点；②N是中点；③AM⊥DN.

（2）已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于点F.

①EM∶ED∶EN∶AE＝

⁠；②EC平分∠NEM，即∠MEC＝∠NEC＝

°；③DF∶AF＝

⁠.1∶2∶3∶4

45

1∶2

【模型三】中点＋折叠如图1，点E为中点，正方形ABCD沿BE折叠.性质一：如图2，AA'⊥A'D；性质二：如图2，F，G为中点；性质三：如图3，A'M＝CM；性质四：如图3，∠EBM＝

°；性质五：如图3，DM＝2CM；性质六：如图4，tan∠DCN＝

⁠.45

考点一

正方形的性质及判定

（1）如图1，要使▱ABCD是正方形，需增加条件.在条件①AB

＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝90°中选取两个作为条

件，不正确的是（

B

）BA.

①和②B.

①和③C.

②和③D.

③和④

图1

图2

图31

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打印前可删除此页（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接

AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于

（

A

）A.2αB.90°－2αC.45°－αD.90°－αA（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接

AE，作∠DAE的平分线交CD于点F.

若F为CD的中点，则BE的长为

（

C

）A.

B.

C.

D.

C

（2025·兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的

图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在

AB，BC上，根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋

转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接

BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系.【解决问题】证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；

或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三

角形.（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出

AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；

（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化

问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关

系，并说明理由；

如答案图1，在AE上截取AM＝CH，连接BM.

同（1）得△ABE≌△CBG（SAS），∴∠2＝∠1，∠ABE＝∠CBG.

∵AB＝BC，∴△MAB≌△HCB（SAS），∴∠3＝∠4，BM＝BH，∴∠5＝∠6，∴∠MBH＝∠6＋∠EBH＝∠5＋∠EBH＝∠EBG＝90°，∴△MBH是等腰直角三角形，

（答案图1）（答案图2）【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕

点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交

于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系.

考点二

中点四边形

（1）如图1，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形

EFGH，下列说法中正确的是（

C

）图1CA.

当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形0B.

当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C.

当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形D.

以上说法都不对（2）（2025·德阳）如图2，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边

AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为

24，且HF＝6，则GH＝（

B

）图2A.4B.5C.8D.10B1.

中点四边形的形状只与原四边形对角线（相等、垂直、相等且垂

直）有关.2.

中点四边形的周长是原图形对角线之和，面积是原图形面积的一半.

1.

（2025·陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，

点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（

C

）A.10B.8C.5D.4（第1题）C2.

（2025·苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接

BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接A'C，A'D，则下列结论不

正确的是（

D

）A.

A'D∥BEB.

A'C＝