广东省茂名市2025-2026学年高一下学期期中考试 数学 版含解析

广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．已知复数，，则（

）A． B．1 C． D．2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度3．在中，，，，则（

）A． B． C． D．4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．已知复数满足，则的值为（

）A． B． C．1 D．6．已知，，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A． B．1 C． D．8．已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，10．已知，是复数，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．三、单选题11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（）A．B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则四、填空题12．设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________.13．如图，在中，已知弦，则________.14．设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________.五、解答题15．已知向量与的夹角为，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)求向量与向量的夹角.16．在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积；(3)若，求周长的取值范围.17．已知是虚数，，，且.(1)求的值和的实部的取值范围；(2)求证：为纯虚数；(3)求的最小值.18．图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）.(1)求A，B，，的值；(2)求入口处M离地平面的高度；(3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长.19．如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.(1)在仿射坐标系中，若，求；(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.

参考答案1．B【详解】∵，，∴.∵，，∴.∴.∴.2．D【详解】∵目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到.∴要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度.3．A【详解】由题意得，又，所以.故选：A4．A【详解】由，，得，因为，所以，解得，所以，则.5．C【详解】设，则，计算可得，所以，计算可得，所以.6．B【详解】在方向上的投影向量为.7．B【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以.，所以.又，，所以.所以.将代入解析式，得，所以，则，则，又，所以.因此.将的图象向右平移个单位长度得到.所以.8．A【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.∵是圆的直径，且为边长为的等边三角形，∴，设圆上动点，，∴，，∴.∵，∴，即的取值范围为.9．ACD【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量.对选项A，∵为零向量，零向量与任意向量共线，∴不能作为基底.对选项B，∵，计算得，∴与不共线，可作为基底.对选项C，∵，计算得，∴与共线，不能作为基底.对选项D，∵，计算得，∴与共线，不能作为基底.综上，不可以作为基底的是ACD.10．ACD【详解】对于A选项：设，∵，∴.∴.又∵，∴，故A正确.对于B选项：取，，此时，但，故B错误.对于C选项：∵设，，且，∴，∴虚部，即，∴，故C正确.对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确.11．B【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得，当时，，即，，所以，则，故A错误；因为，，所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确；若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，所以，解得，即，故C错误；因为，令，，则，，满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误.故选：B12．【详解】设点，则，.由，得，解得.所以点的坐标为.13．2【详解】过点作，垂足为，则为的中点，则.14．20【详解】由题意知，，所以.解方程，得.所以，，在复平面内对应的点为，，点.若为直角顶点，，，，解得（不合题意，舍去）.若为直角顶点，，，，解得（不合题意，舍去）.若为直角顶点，，，，解得，满足.综上，.15．(1)(2)(3)【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，则.（2）因为向量与的夹角为，且，且.可得.（3）设向量与向量的夹角为，可得，因为，可得，所以向量与向量的夹角为.16．(1)(2)(3)【详解】（1）∵在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.∴，.代入得.∵，∴，两边同时约去，得，即.又∵，∴.（2）∵，，，由余弦定理得，代入得，即，整理得.解得或（边长为正，舍去）.∴的面积.（3）由余弦定理得，即.由基本不等式得，当且仅当时等号成立，∴，∴，即，当且仅当时等号成立.又∵三角形两边之和大于第三边，∴，∴，∴的周长.17．(1)，的实部.(2)证明见详解.(3)最小值为1.【详解】（1）设，且，则.因，得出为实数，那么，..，因为，所以，.（2）证:，且(1)得.因此为纯虚数.（3）由上题得，，，那么.设，那么.其最小值在时取得，即，因为，所以，因此时取得最小值且最小值为.18．(1)，，，；(2)；(3)【详解】（1）∵高度最大值为，最小值为，∴，解得，.∵从最高点到最低点的时间间隔为半个周期，∴，即，∴.∴.将，代入得，即，∴.∵，∴.（2）由（1）知，入口处对应，∴.即入口处离地面高度为.（3）令，即，化简得.函数周期，取一个周期，则.由，得，即，解得.∴时长为.19．(1)(2)(3)