2026年海南省北师大版高一数学第2单元不等式练习题

2026年海南省北师大版高一数学第2单元不等式练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x≤3}，B={x|x>1}，则集合A∩B等于（）A．{x|x≤3}B．{x|x>1}C．{x|1<x≤3}D．{x|x<1}解析：集合A表示所有小于等于3的实数，集合B表示所有大于1的实数。交集A∩B表示同时属于A和B的元素，即1<x≤3。选项C正确。2.不等式3x-7>2x+1的解集为（）A．{x|x>8}B．{x|x<-8}C．{x|x>6}D．{x|x<6}解析：移项得3x-2x>1+7，即x>8。选项A正确。3.若a>b，则下列不等式一定成立的是（）A．a^2>b^2B．1/a<1/bC．a+5>b+5D．a-3>b-3解析：不等式两边加同一数仍成立，故C正确。其他选项需验证反例，如a=2，b=1时A不成立；a=2，b=-1时B不成立；a=2，b=1时D不成立。4.不等式|2x-1|<3的解集为（）A．{x|-1<x<2}B．{x|x<-1或x>2}C．{x|-1<x<4}D．{x|x<-4或x>1}解析：去绝对值得-3<2x-1<3，解得-1<x<4。选项C正确。5.若a<0，b>0，且a^2>b^2，则下列关系一定成立的是（）A．a>bB．a<-bC．-a>bD．a^3>b^3解析：a<0时a^2>|b|^2=b^2，故a<-b。选项B正确。6.不等式(x-1)/(x+2)>0的解集为（）A．{x|x>1}B．{x|x<-2}C．{x|x<-2或x>1}D．{x|-2<x<1}解析：分子分母异号时不等式成立，解得x<-2或x>1。选项C正确。7.若f(x)=ax^2+bx+c，且△=b^2-4ac<0，则不等式f(x)>0的解集为（）A．空集B．全体实数C．{x|x属于R}D．空集或全体实数解析：△<0时二次函数开口向上且不过x轴，故f(x)>0恒成立。选项B正确。8.不等式1/|x-1|>1的解集为（）A．{x|x<0或x>2}B．{x|x∈(0,2)}C．{x|x<1}D．{x|x>1}解析：去绝对值得1/|x-1|>1⇔|x-1|<1⇔0<x<2。选项B正确。9.若x>0，y>0，且x+y=4，则xy的最大值为（）A．4B．8C．16D．不存在解析：由均值不等式xy≤(x+y)/2)^2=4，当x=y=2时取等。选项B正确。10.不等式3^(2x-1)<27的解集为（）A．{x|x<3}B．{x|x>2}C．{x|x<2}D．{x|x>3}解析：27=3^3，故2x-1<3⇔x<2。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若集合M={x|1<x<3}，N={x|x≤a}，且M∩N={x|2<x<3}，则a=________。参考答案：2解析：M∩N⊆M，故a=2。2.不等式-2x+5>3的解集用区间表示为________。参考答案：(0,5)解析：解得x<2，区间表示为(0,5)。3.若a<0，b>0，且ab>1，则a+b与0的大小关系为________。参考答案：a+b<0解析：ab>1且a<0⇒b<-1⇒a+b<-1<0。4.不等式|3x+4|≥5的解集为________。参考答案：(-∞,-3]∪[-1/3,∞)解析：3x+4≥5或3x+4≤-5⇒x≥1/3或x≤-3。5.若f(x)=mx^2+nx+1，且f(1)>0，f(-1)<0，则不等式f(x)>0的解集为________。参考答案：(1,1/m)解析：f(1)=m+n+1>0⇒n>-m-1，f(-1)=m-n+1<0⇒n>m+1，故n>1/m。6.不等式1/(x-1)^2>0的解集为________。参考答案：(-∞,1)∪(1,∞)解析：分母不为0且平方项始终为正。7.若x>0，y>0，且x+2y=6，则1/x+1/y的最小值为________。参考答案：3/2解析：令u=1/x，v=1/y，则u+v=3/(x+y)≥3/6=1/2，最小值1/2×3=3/2。8.不等式log_(1/2)(3x-2)>1的解集为________。参考答案：(2,8/3)解析：3x-2<1/2⇒x<8/3，且3x-2>0⇒x>2/3。9.若a^2+b^2=1，且a+b>0，则ab的最大值为________。参考答案：1/2解析：由(a+b)^2≥4ab⇒1≥4ab⇒ab≤1/4，当a=b=1/√2时取等。10.不等式(2x-1)/(x+3)<0的解集为________。参考答案：(-3,1/2)解析：分子分母异号时成立，解得-3<x<1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则1/a>1/b。参考答案：×解析：反例：a=2，b=1时1/2<1。2.不等式|2x-3|=|3-2x|恒成立。参考答案：√解析：绝对值相等当且仅当表达式同号或互为相反数。3.若x^2>4，则x>2。参考答案：×解析：x可取-3，此时x<-2。4.不等式3x^2-2x+1>0恒成立。参考答案：√解析：△=(-2)^2-4×3×1=-8<0，开口向上。5.若a>b，则a^3>b^3。参考答案：√解析：对任意实数a>b，立方仍保持大小关系。6.不等式1/(x-2)^2<0有解。参考答案：×解析：分母平方项始终非负，分式不可能小于0。7.若x>1，则x^2>1/x。参考答案：√解析：x>1⇒x^3>1⇒x^2>x。8.不等式|3x+1|<5的解集为(-4,4)。参考答案：×解析：解得-2<x<4/3，区间错误。9.若a>b，则|a|>|b|。参考答案：×解析：反例：a=1，b=-2时|1|<|-2|。10.不等式2x-1>0与x>1等价。参考答案：√解析：解得x>1/2，不等价。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知集合A={x|x^2-5x+6>0}，B={x|x-2<0}，求A∪B。参考答案：(-∞,2)∪(3,∞)解析：A={x|x<2或x>3}，B={x|x<2}，故A∪B=(-∞,2)∪(3,∞)。2.解不等式组：{3x-1>2,x+4<6}。参考答案：(-1,1)解析：分别解得x>1和x<2，交集为(-1,1)。3.若a<0，b>0，且a+b=1，求a^2+b^2的最小值。参考答案：1解析：由(a+b)^2=1⇒a^2+b^2+2ab=1⇒a^2+b^2≥1-2×0=1。4.解不等式|4x-3|>1。参考答案：(-∞,1/2)∪(3/2,∞)解析：4x-3>1或4x-3<-1⇒x>1/2或x<1/2。5.若f(x)=x^2-2x+3，求f(x)<0的解集。参考答案：空集解析：△=(-2)^2-4×3×1=-3<0，且f(1)=2>0，故f(x)>0恒成立。6.若x>0，y>0，且x+2y=4，求x^2+y^2的最小值。参考答案：4解析：由柯西不等式(x^2+y^2)(1^2+2^2)≥(x+2y)^2=16⇒x^2+y^2≥4。7.解不等式(1-x)/(x+1)>0。参考答案：(-1,1)解析：分子分母同号时成立，解得-1<x<1。8.若a>b>0，求证a^3-b^3>3(a-b)(a^2+ab+b^2)。解析：左边=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，右边=3(a-b)(a^2+ab+b^2)，因a>b>0⇒a-b>0⇒左边>右边。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润为3元，每件B产品利润为5元，生产每件A产品需消耗原料2kg，生产每件B产品需消耗原料3kg，工厂每日最多消耗原料60kg，若要使每日利润最大，应如何安排生产？解：设生产A产品x件，B产品y件，利润z=3x+5y，约束条件为2x+3y≤60，x≥0，y≥0。当x=0时，y≤20，z最大为100元；当y=0时，x≤30，z最大为90元；当2x+3y=60时，z=3x+5(20-2x/3)=100-7x/3，x=0时取等。最优方案：生产A产品0件，B产品20件，利润最大为100元。2.解不等式组：{x^2-4x+3>0,|2x-1|<3}。解：x^2-4x+3>0⇒x<1或x>3；|2x-1|<3⇒-1<x<2。交集为(-1,1)。3.若a>0，b>0，且a+b=4，求1/a+1/b的最小值。解：1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=4(1/a+1/b)⇒1/a+1/b≥4/√(ab)，由均值不等式ab≤(a+b)^2/4=4⇒√(ab)≤2⇒1/a+1/b≥2，当a=b=2时取等。4.解不等式组：{x^2-3x+2≥0,1/(x-1)<2}。解：x^2-3x+2≥0⇒x≤1或x≥2；1/(x-1)<2⇒x>3/2。交集为(3/2,1)∪(2,∞)。5.若x>0，y>0，且x+2y=6，求x^2+y^2的最小值。解：由柯西不等式(x^2+y^2)(1^2+2^2)≥(x+2y)^2=36⇒x^2+y^2≥12，当x=2y=3时取等。6.解不等式|5x+2|>8。解：5x+2>8或5x+2<-8⇒x>6/5或x<-10/5⇒x>6/5或x<-2。7.若a<0，b>0，且ab=1，求a+b的最小值。解：ab=1⇒b=1/a，a+b=a+1/a⇒a+b≥2√(ab)=2，当a=-1时取等。8.解不等式组：{2x-1>0,x^2-4x+3<0}。解：2x-1>0⇒x>1/2；x^2-4x+3<0⇒1<x<3。交集为(1,3)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.C4.C5.B6.C7.B8.B9.B10.C解析：略（同上）二、填空题1.212.(0,5)13.a+b<014.(-∞,-3]∪[-1/3,∞)2.(1,1/m)16.(-∞,1)∪(1,∞)17.3/218.(2,8/3)3.1/220.(-3,1/2)解析：略（同上）三、判断题1.×22.√23.×24.√25.√26.×27.√2.×29.×30.√解析：略（同上）四、简答题1.(-∞,2)∪(3,∞)解析：A={x|x<2或x>3}，B={x|x<2}，故A∪B=(-∞,2)∪(3,∞)。2.(-1,1)解析：分别解得x>1和x<2，交集为(-1,1)。3.1解析：由(a+b)^2=1⇒a^2+b^2+2ab=1⇒a^2+b^2≥1-2×0=1。4.(-∞,1/2)∪(3/2,∞)解析：4x-3>1或4x-3<-1⇒x>1/2或x<1/2。5.空集解析：△=(-2)^2-4×3×1=-3<0，且f(1)=2>0，故f(x)>0恒成立。6.4解析：由柯西不等式(x^2+y^2)(1^2+2^2)≥(x+2y)^2=16⇒x^2+y^2≥4。7.(-1,1)解析：分子分母同号时成立