2027新高考数学复习53A版6-1.3 不等式的性质与解法（十年高考）

1.3不等式的性质与解法考点1不等式的性质1.(2022全国甲理,12,5分)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则(A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案A解法一:当x∈0,π2时,sinx<x<tanx,又14∈0,π2,所以tan14>14.由cb=4tan14>4×14=1,可得c>b.当x∈R时,|x|≥|sinx|,即x2≥sin2x,所以x22≥sin2x2,所以x22≥2sin2x2=1-cosx解法二:当x∈0,π2时,sinx<x①比较a与b.b=cos14=cos2×18=1−2sin218,故b-a=132②比较b与c.当x∈0,π2时,由x<tanx可知∴cos14<4sin14综上可知,c>b>a.故选A.2.(2019课标Ⅰ理,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−125−12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案B本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于260.618≈42cm,可得到此人的身高应小于26+42+26+420.618≈178同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170cm,结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B.一题多解用线段代替人,如图.已知ab=cd=5−12≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为hcm,则由c<26,c所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,由a<68.07,a整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B.3.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz答案B用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.4.(2015北京文,10,5分)2-3,312,log25三个数中最大的数是答案log25解析∵2-3=18<1,1<312<2,log2∴这三个数中最大的数为log25.考点2不等式的解法1.（2025全国二卷，4,5分）不等式x-4x-1≥A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}【答案】C【解析】由x-4x-1≥2,得-x-2x-1≥0,即x+2x-2.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组x(xA.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.3.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9答案C由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C.4.(2015江苏,7,5分)不等式2x2−x答案{x|-1<x<2}解析不等式2x2−x<4可转化为2x2−x<22,利用指数函数y=2x5.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)

答案(-4,1)解析不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.6.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a=.

答案-3解析依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为−1从而有5a=