2027新高考数学复习53A版3-2.3　函数的奇偶性、周期性和对称性

2.3函数的奇偶性、周期性和对称性考点1函数的奇偶性五年高考1.★★(2024天津,4,5分)下列函数是偶函数的为()A.y=eC.y=e答案B2.★★(2023全国乙理,4,5分)已知f(x)=xexeax−1是偶函数,则a=A.-2B.-1C.1D.2答案D3.★★(2023新课标Ⅱ,4,5分)若f(x)=(x+a)·ln2x−12x+1为偶函数,则a=()A.-1B.0C.12答案B4.★★(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B5.★★★(2021新高考Ⅱ,8,5分)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则()A.f−12=0B.f(-1C.f(2)=0D.f(4)=0答案B6.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点答案ABC7.★★★★(多选)(2025全国二卷,10,6分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则()A.f(0)=0B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2C.f(x)≥2当且仅当x≥3D.x=-1是f(x)的极大值点答案ABD8.★★(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

答案19.★★★(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.答案f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)三年模拟1.★(2026届江西赣抚吉十二校联考,3)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x−22x,则f(1)=(A.32B.−3答案D2.★★(2026届湖北武汉调研,5)若函数f(x)=4x+a2x+cosx是奇函数,则实数a=A.1B.-1C.2D.-2答案B3.★★(2025届广东八校联考,4)已知函数f(x)=sinx(x2+2x)(x+a)为偶函数,则a=A.-2B.-1C.0D.2答案A4.★★(2026届江苏镇江监测,3)下列函数为偶函数的是()A.f(x)=2x-2-xB.f(x)=2C.f(x)=xln(x+x2D.f(x)=-x3+x答案C5.★★(2026届河北保定部分高中质检,3)以下函数是奇函数且在(-∞,0)上单调递减的是()A.y=x3C.y=x|x|D.y=-x|x|答案D6.★★(2026届广东深圳模拟,5)若函数f(x)=xeaxex−1的图象关于y轴对称,则aA.-12B.1答案B7.★★(2026届安徽潜山源潭中学段考,8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则下列结论正确的是()A.f(0)<f(-1)<f(2)B.f(2)<f(0)<f(-1)C.f(-1)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(-1)<f(0)答案D8.★★(2026届河北石家庄一中开学考,5)设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是()A.{x|x>1}B.{x|-1<x<0}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|-1<x<0或x>1}答案C9.★★(2025届云南昆明摸底测试,6)函数f(x)=ln(x2+1+kx)是奇函数且在R上单调递增,则k的取值集合为(A.{-1}B.{0}C.{1}D.{-1,1}答案C10.★★★(2026届安徽江淮十校联考,4)已知定义在[1-m,2m-3]上的偶函数f(x),且当x∈[0,2m-3]时,f(x)单调递增,则关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)的解集是()A.(0,1)B.2答案B11.★★★(2026届广东八校联盟质检,5)已知函数f(x)=ex-3-e3-x+x,则满足f(2m-2)+f(m+1)>6的m的取值范围是()A.(3,+∞)B.3C.1答案D12.★★★(2026届江苏南京一中月考,5)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)-3ex是奇函数,则f(x)的最小值为()A.eB.22C.2答案B13.★★★(2026届四川成都阶段检测,5)函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且f(-1)=0,若∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立,A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)答案D14.★★★(2026届黑龙江龙东十校期中,5)定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,且当x2>x1>1时,f(x2)−f(x1)x2−x1>0恒成立,设a=fcos11π6,b=fA.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a答案A15.★★★(2026届江苏扬州中学月考,12)已知函数f(x)=12x-2x,则满足f(x2-5x)+f(6)>0的实数x的取值范围是答案(2,3)16.★★★(2026届河南南阳一中期中,17)已知函数f(x)=loga1−mxx+1(a>0,a≠1,m≠-1)是定义在(-1,1)上的奇函数(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性;(3)若f12>0且f(b-2)+f(2b-2)>0,求实数b的取值范围解析(1)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以loga1−mxx+1+log则loga1−mxx+1·则1−mxx+1·即1-m2x2=1-x2对定义域中的x都成立,所以m2=1,又m≠-1,所以m=1.(2)由(1)知f(x)=loga1−xx+1设t=1−xx+1=−(x+1)+2x+1=−1+2x+1,任取x1,x2∈(-1,1),则t1-t2=2x∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,∴t1>t2.当a>1时,logat1>logat2,即f(x1)>f(x2).∴当a>1时,f(x)在(-1,1)上单调递减.当0<a<1时,logat1<logat2,即f(x1)<f(x2),∴当0<a<1时,f(x)在(-1,1)上单调递增.(3)由f(b-2)+f(2b-2)>0得f(b-2)>-f(2b-2),∵函数f(x)是奇函数,∴f(b-2)>f(2-2b),∵f12=loga13>0,由(2)得f(x)在(-1,1)上单调递增,∴b−2>2−2b,∴43∴b的取值范围是43考点2函数的周期性和对称性五年高考1.★★(2025全国一卷,5,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f−34=(A.-1答案A2.★★★(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则k=122f(k)=()A.-3B.-2C.0D.1答案A3.★★★★(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-9答案D4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32−2x,g(2+x)均为偶函数,则()A.f(0)=0B.g−1C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC三年模拟1.★★(2026届江苏南通调研,6)定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=3-4x,则f52=()A.2B.1C.-2D.-1答案B2.★★(2025届重庆八中月考,5)下列函数的图象不存在对称中心的是()A.y=x3+1B.y=xC.y=e答案D3.★★(2025届湖南长沙长郡中学月考,4)若函数f(x)=x2+x+1x2+1的最大值为M,最小值为N,则M+NA.1B.2C.3D.4答案B4.★★(2024届湖南师大附中期末,5)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)()A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递增B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递增D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递减答案B5.★★(2026届江苏兴化中学摸底考,4)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)=()A.-1答案A6.★★(2026届安徽合肥月考,6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(4-x)=f(x),当0≤x≤32时,f(x)=3-2x,则f(-2025)=()A.-1B.1C.3D.7答案B7.★★★(2025届江苏连云港第一次检测,7)已知函数f(2x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则f322=(A.2B.-2C.1D.-1答案A8.★★★(2026届广东深圳联考,6)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=()A.10B.2C.0D.4答案C9.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,6)已知奇函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.若x∈[0,2],f(x)=x,则f(13)=()A.1B.-1C.2D.-2答案B10.★★★(教材溯源·人教A版87页T13)(2026届浙江杭州教学质量监测,8)设函数f(x)=x3+3x2+6x+5,若f(a)=15,f(b)=-13,则a+b=()A.2B.1C.-1D.-2答案D11.★★★(2026届山东滨州质量检测,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x-1)=2,f(x+2)为偶函数,若f(0)=0,k=1nf(k)=111,则n的值为()A.107B.118C.109D.110答案D12.★★★(多选)(2026届广东深圳中学摸底,9)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.函数f(x)的图象关于(1,0)对称D.函数f(x)为奇函数答案BC13.★★★★(多选)(2026届湖北黄冈一模,10)定义在R上的函数f(x)和g(x),f(x+2)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x+1)+g(3-x)=4,则()A.g(2)=2B.f(6)=0C.f(x)的图象关于直线x=4对称D.8为g(x)的一个周期答案BCD14.★★★★★(多选)(2026届福建三明一中开学考,11)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,g(x-1)+1是奇函数,且g(x)=f(x+2)+4,f(4)=-3,则下列说法正确的有()A.f(x)=f(-x)B.g(-1)=0C.g(2)=1D.i=12023g(i)答案ACD15.★★★★★(多选)(2025届皖豫名校联盟联考,11)已知函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)与g'(x),且f(x),g(x),f'(x),g'(x)的定义域均为R,g(x)-f(6-x)=3,f'(x)=g'(x-2),g(x+4)为奇函数,则()A.g(2)+g(6)=0B.f'(x+4)为偶函数C.f(x)=f(x+8)D.k=12024g(k)答案ACD16.★★★(2026届湖南长沙长郡中学入学考,14)f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2025)=.

答案017.★★★★★(2026届江苏启东中学测试,19)若函数f(x)的定义域为D,∀x∈D都有f(m-x)+f(m+x)=2n,则称函数f(x)为中心对称函数,其中(m,n)为函数f(x)图象的对称中心.(1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,且当x≥2时,f(x)=x2,求f(0),f(1)的值.(2)探究函数g(x)=x33-x2是不是中心对称函数.若是,请求出对称中心并用定义证明;若不是,(3)运用第(2)问的结论,求S(k)=g(-2k+1)+g(-2k+3)+…+g(-3)+g(-1)