D53换元法与分部积分法-5

D53换元法与分部积分法(7)高等数学·不定积分的核心计算方法Contents课程目录从换元积分的理论根基出发，逐步掌握两类核心方法与分部积分的应用技巧。01换元积分法理论基础02第一类换元法（凑微分法）03第二类换元法与三角代换04分部积分法及其应用CHAPTER01换元积分法理论基础从链式法则到变量替换的数学原理CALCULUS·INTEGRATION换元法的引入与核心思想直接积分法仅能处理基本积分表中的简单形式，面对复合函数、根式函数等复杂被积函数时往往无从下手。换元法通过引入新变量实现"化繁为简"，是不定积分计算中最核心的策略性工具。高等数学课堂·不定积分教学板书01直接积分法的局限：仅适用于基本积分表中列出的标准形式，如多项式、基本三角函数等简单被积函数的直接运算基本积分表02复合函数的积分困境：形如∫sin(3x+1)dx或∫xe^(x²)dx的积分无法直接套用基本公式，需要变量替换才能求解∫sin(3x+1)dx03换元法的本质思想：通过令t=φ(x)进行变量替换，将关于x的复杂积分转化为关于t的简单积分，求解后再回代原变量t=φ(x)04与链式法则的对应关系：换元积分法实质上是复合函数求导链式法则的逆运算，两者构成微积分的一对核心对称工具链式法则Calculus·Integration换元积分法的基本定理换元积分法定理建立了变量替换的严格数学基础：若F(u)是f(u)的原函数且u=φ(x)可导，则∫f[φ(x)]·φ'(x)dx=F[φ(x)]+C。01定理条件要求f(u)具有原函数F(u)，且u=φ(x)在积分区间上具有连续导数，保证变量替换的合法性与可逆性连续导数·可逆性02定理公式表述∫f[φ(x)]·φ'(x)dx=[∫f(u)du]在u=φ(x)处取值，即先对f(u)积分再回代u=φ(x)先积分·再回代03证明思路对F[φ(x)]求导，由链式法则得F'[φ(x)]·φ'(x)=f[φ(x)]·φ'(x)，恰好等于被积函数，定理得证链式法则04微分形式不变性无论u是自变量还是中间变量，du的表达式形式不变，这是换元法成立的深层数学原因形式不变CALCULUS·INTEGRATION第一类与第二类换元法对比两类换元法基于同一数学定理但操作方向相反：第一类换元法（凑微分）通过"收"的方式将φ'(x)dx合并为du以简化积分；第二类换元法则通过"放"的方式主动引入新变量替换x，消除根号等结构性障碍。第一类换元法（凑微分法）📥操作方向"收"：将被积函数中的φ'(x)dx部分凑成d[φ(x)]，令u=φ(x)使积分化简。关键在于识别复合函数的内层导数恰好出现在被积表达式中。🎯适用场景：被积函数能明确拆分为f[φ(x)]与φ'(x)的乘积，如∫2x·cos(x²)dx、∫eˣ/(1+eˣ)dx等常见形式。💡核心技巧：识别"谁的导数在旁边"，把dx前的因子凑成d(新变量)的形式，保持微分关系的一致性。↩️回代方式：积分完成后将u=φ(x)直接代回，得到关于原变量x的最终结果，无需辅助构造。换元公式：u=φ(x)第二类换元法📤操作方向"放"：主动引入新变量x=ψ(t)替换原变量，将被积函数转化为关于t的更易处理的形式。需要构造可逆的函数关系。🎯适用场景：含√(a²−x²)、√(x²+a²)、√(x²−a²)等根式的积分，以及高次根式、复杂分式等直接计算困难的情形。💡核心技巧：根据根式结构选择三角代换（如x=a·sint）或双曲代换，利用三角恒等式sin²t+cos²t=1等消除根号。↩️回代方式：积分完成后需借助辅助直角三角形，将t的三角函数表达式转换回x的代数表达式，完成变量还原。换元公式：x=ψ(t)CHAPTER02第一类换元法（凑微分法）识别微分结构，化复合积分为基本积分CALCULUS·积分技巧凑微分法的核心步骤与常用公式凑微分法的操作精髓是"三步走"：识别内层函数φ(x)、凑出φ'(x)dx=d[φ(x)]、令u=φ(x)化为基本积分01识别结构观察被积函数是否为f[φ(x)]·φ'(x)的形式，关键是找出被复合的"内层函数"φ(x)。f[φ(x)]·φ'(x)02凑微分将φ'(x)dx凑成d[φ(x)]的形式，若差常数倍则提出常数。xdx=½d(x²)03换元求解令u=φ(x)，原积分变为∫f(u)du，利用基本积分表求解后再回代u=φ(x)。∫f(u)du04常用凑配公式dx=d(x+c)，nxⁿ⁻¹dx=d(xⁿ)，cosxdx=d(sinx)，sec²xdx=d(tanx)，1/xdx=d(ln|x|)。5组速记CALCULUS·INTEGRATION凑微分法基本例题凑微分法的基本应用模式：对复合函数求积分时，关键是识别内层函数并在被积表达式中找到其导数（或差一个常数倍），凑出du后即可套用基本积分公式直接求解。01∫sin(3x+1)dx令u=3x+1，du=3dx，即dx=du/3→(1/3)∫sin(u)du=−(1/3)cos(3x+1)+C02∫x·e^(x²)dx因(x²)′=2x，凑出(1/2)∫e^(x²)·2xdx令u=x²→(1/2)∫eᵘdu=(1/2)e^(x²)+C03∫cos²x·sinxdx令u=cosx，du=−sinxdx→−∫u²du=−cos³x/3+C幂函数复合的凑微分04∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx，令u=cosx，du=−sinxdx→−∫(1/u)du=−ln|cosx|+CINTEGRATIONTECHNIQUES凑微分法进阶技巧进阶凑微分需要在换元前对被积函数进行预处理：加减项拆分、分母配方、分子分母同乘同除、三角恒等式变形等技巧，将原始积分转化为可以凑微分的标准形式后再进行变量替换。01加减项拆分如∫1/(1+eˣ)dx，将分子写为(1+eˣ)−eˣ进行拆分，分离出可直接积分的部分与可凑微分的部分，从而降低被积函数的复杂度。(1+ex)−ex02分母配方如∫1/(x²+2x+3)dx，先配方为∫1/[(x+1)²+2]dx，令u=x+1后套用arctan积分公式求解，将二次式化为标准型。arctan公式03三角恒等式预处理如∫sin²xdx，先用半角公式变为∫(1−cos2x)/2·dx，再分别积分，避免直接处理高次三角函数的复杂性。半角公式04分子分母同除法如∫eˣ/(1+eˣ)dx，观察到分子恰好是分母的导数，直接凑成∫d(1+eˣ)/(1+eˣ)，一步完成变量替换。ln(1+ex)+CCALCULUS·INTEGRATION凑微分法四大常见题型凑微分法的常见题型可归纳为四大模式：多项式复合、三角函数复合、指数对数复合、有理函数型。每种模式都有固定的凑微分路径，识别题型并匹配对应策略是高效解题的关键。Polynomial多项式复合∫xⁿ·f(xⁿ⁺¹)dx型，凑d(xⁿ⁺¹)后换元，如∫x²·sin(x³)dx令u=x³💡关键：观察被积函数中是否含有导数链式关系Trigonometric三角函数复合∫f(sinx)·cosxdx凑d(sinx)，∫f(tanx)·sec²xdx凑d(tanx)，利用三角导数关系💡关键：熟记sin、cos、tan的导数互逆关系Exponential&Log指数对数复合∫f(eˣ)·eˣdx令u=eˣ，∫f(lnx)·(1/x)dx令u=lnx，利用指数对数导数特性💡关键：eˣ与lnx的导数互为倒数，注意定义域Rational有理函数型∫1/(ax²+bx+c)dx先配方再换元，∫P(x)/Q(x)dx需部分分式分解后逐项凑微分💡关键：配方后转化为反正切或对数形式CHAPTER03第二类换元法与三角代换以三角函数替换消除根号，化无理函数为三角积分Calculus·Integration第二类换元法定理与三角代换第二类换元法通过令x=ψ(t)主动引入新变量，利用三角恒等式消除根号等结构性障碍。三大标准三角代换分别对应三种根式结构，其消根原理均基于勾股恒等式的不同变形形式。01定理要求令x=ψ(t)需满足单调可导且ψ'(t)≠0，以保证反函数存在、积分完成后可回代原变量ψ'(t)≠002√(a²−x²)令x=asint，利用1−sin²t=cos²t消根号，得acost，积分限t∈[−π/2,π/2]x=asint03√(x²+a²)令x=atant，利用1+tan²t=sec²t消根号，得asect，积分限t∈(−π/2,π/2)x=atant04√(x²−a²)令x=asect，利用sec²t−1=tan²t消根号，得atant，积分限t∈[0,π/2)∪(π/2,π]x=asectCALCULUS·INTEGRATIONTECHNIQUE三角代换例题：√(a²−x²)型对∫√(a²−x²)dx的求解完整展示了三角代换的四步流程：令x=asint代换消根号→利用半角公式化简三角积分→完成关于t的积分→借助辅助三角形将结果回代为x的表达式。01代换步骤令x=a·sint（t∈[−π/2,π/2]），则dx=a·costdt，√(a²−x²)=a·cost，原式变为∫a²cos²tdt02化简步骤利用半角公式cos²t=(1+cos2t)/2，积分变为(a²/2)∫(1+cos2t)dt=(a²/2)(t+sin2t/2)+C03回代步骤由sint=x/a得t=arcsin(x/a)，sin2t=2(x/a)·√(a²−x²)/a，代入整理得最终结果04最终结果∫√(a²−x²)dx=(x/2)√(a²−x²)+(a²/2)arcsin(x/a)+C，几何意义为圆面积的解析表达高等数学·积分技巧三角代换例题：另两种根式型√(x²+a²)型和√(x²-a²)型的三角代换分别通过令x=atant和x=asect消除根号，化简后的三角积分通常涉及sect的积分，回代时借助辅助三角形建立t的三角函数与x之间的代数关系。01√(x²+a²)型例题∫1/√(x²+a²)dx→令x=atant→∫sectdt=ln|sect+tant|+C回代得ln|x+√(x²+a²)|+C02辅助三角形回代法由tant=x/a画直角三角形：对边x、邻边a、斜边√(x²+a²)从中读出sect=√(x²+a²)/a03√(x²-a²)型例题∫1/√(x²-a²)dx→令x=asect→利用sec²t-1=tan²t消根号化简为∫sect·(1/tant)·tantdt=∫sectdt04统一回代策略三种三角代换均可通过构造辅助三角形统一处理回代问题避免复杂的反三角函数运算SubstitutionTechniques其他第二类换元技巧除三角代换外，倒代换（x=1/t）和直接根式代换（t=ⁿ√(ax+b)）是第二类换元法的两大补充工具。倒代换适用于分母含高次项的有理函数，根式代换则可将无理函数直接有理理化。倒代换x=1/t01适用场景：被积函数分母含x的高次幂（如x²、x³），且分子次数较低时，令x=1/t可降低分母次数，简化积分结构02操作要点：dx=−1/t²dt，代入后原积分变为关于t的有理函数，通常比分母含高次x的原式更易处理，注意积分限相应变化03典型例题：∫1/(x·√(1+x²))dx，令x=1/t后根号变为√(1+1/t²)=√(t²+1)/|t|，化简后可求解根式代换t=ⁿ√(ax+b)01适用场景：被积函数含ⁿ√(ax+b)形式的根式，令t=ⁿ√(ax+b)即x=(tⁿ−b)/a可将无理函数转化为有理函数02操作要点：dx=(n·tⁿ⁻¹/a)dt，代入后原积分变为关于t的有理函数积分，可用部分分式法等工具求解03多种根式并存：若同时含√x和³√x，令t=⁶√x（取最小公倍数指数），可一次性消除所有根式SubstitutionStrategy换元法选择策略总结换元法的选择取决于被积函数的结构特征：复合函数优先考虑凑微分法，含三种标准根式时选用对应三角代换，分母高次或含一般根式时考虑倒代换或根式代换。正确的选择策略是高效解题的前提。换元法方法选择速查表方法识别特征代换方式典型例题凑微分法f[φ(x)]·φ'(x)形式令u=φ(x)∫x·cos(x²)dx三角代换①含√(a²−x²)x=a·sint∫√(4−x²)dx三角代换②含√(x²+a²)x=a·tant∫1/√(x²+9)dx三角代换③含√(x²−a²)x=a·sect∫√(x²−1)/xdx倒代换分母含x高次幂x=1/t∫1/(x²√(1+x²))dx根式代换含ⁿ√(ax+b)t=ⁿ√(ax+b)∫1/(1+³√x)dx根据被积函数的结构特征选择对应换元方法，是不定积分计算的首要决策步骤Chapter04分部积分法及其应用处理不同类型函数乘积积分的系统方法CALCULUS·DERIVATION分部积分法的公式推导分部积分法源于乘积求导法则的逆运算，核心是将不易计算的积分转化为可能更简单的积分，实现"交换微分与积分对象"的化简策略。STEP01推导起点：乘积求导法则由(uv)′=u′v+uv′出发，这是微积分中最基本的运算规则之一。STEP02两边积分∫(uv)′dx=∫u′vdx+∫uv′dx，左边由积分与导数互逆得uv=∫vdu+∫udv。STEP03移项得公式∫udv=uv−∫vdu，即分部积分公式的标准形式，简洁而强大。INSIGHT核心逻辑：化简策略将"对v积分与u微分之积"转化为"u·v减去对u积分与v微分之积"，关键在于后者更简单。IntegrationbyPartsu与dv的选取原则分部积分法的核心决策是u和dv的选取。基本策略是：让u微分后变得更简单，让dv积分后不变得更复杂。错误的选取可能导致积分越做越复杂，因此选取原则的掌握比公式本身更重要。01选u的原则优先选微分后"降阶"的函数，如多项式xⁿ微分后降次，lnx微分后变为1/x大幅简化02选dv的原则优先选积分后"类型不变"的函数，如eˣdx→eˣ，sinxdx→−cosx，cosxdx→sinx03错误选取的后果∫xeˣdx若令u=eˣ、dv=xdx，新积分∫(x²/2)eˣdx反而更复杂04灵活处理有时第一次分部后需再次分部，如∫x²eˣdx需分部两次，每次多项式降一次高等数学自习场景IntegrationStrategyLIATE法则：'反对幂指三'LIATE法则是分部积分中选取u的系统化优先级准则：反三角(A)>对数(L)>幂(P)>指数(E)>三角(T)。L对数函数最高优先级选u：lnx微分后变为1/x，从超越函数降为代数函数，简化幅度最大u=lnx→du=1/xdxA反三角函数次高优先级选u：arcsinx、arctanx等微分后变为代数函数，复杂度显著降低u=arctanx→du=1/(1+x²)dxP幂函数中间优先级：xⁿ微分后降次为nxⁿ⁻¹，n次分部后变为常数，是最常见的u选择u=xⁿ→du=nxⁿ⁻¹dxE/T指数与三角函数优先选dv：eˣ、sinx、cosx积分后类型不变，适合作为dv被积分而非被微分dv=eˣdx→v=eˣCALCULUS·INTEGRATION分部积分法基础例题按LIATE法则确定u和dv→计算du和v→代入公式∫udv=uv−∫vdu→计算剩余积分01∫x·exdx令u=x,dv=exdx→du=dx,v=ex。代入公式得xex−∫exdx，化简为(x−1)ex+C02∫x·cosxdx令u=x,dv=cosxdx→du=dx,v=sinx。代入公式得xsinx−∫sinxdx，化简为xsinx+cosx+C03∫x²·exdx令u=x²,dv=exdx→第一次分部得x²ex−2∫xexdx，需两次分部方可完成04∫x·lnxdx令u=lnx,dv=xdx→du=dx/x,v=x²/2。代入得(x²/2)lnx−∫(x/2)dx，化简为(x²/2)lnx−x²/4+CINTEGRATIONTECHNIQUES多次分部积分与列表法对∫xⁿ·eˣdx或∫xⁿ·sinxdx等题型，需连续n次分部积分，每次多项式降一次直至变为常数。列表法是高效处理多次分部的快捷工具。01连续分部原理：∫xⁿ·eˣdx中每次令u为多项式部分，分部一次降一次幂，经n次分部后多项式变为常数即可终止02列表法步骤：左列写u的逐阶导数（x³→3x²→6x→6→0），右列写dv的逐阶积分（eˣ→eˣ→eˣ→eˣ），交叉相乘交替取±03例题∫x³eˣdx：+x³·eˣ−3x²·eˣ+6x·eˣ−6·eˣ+C=eˣ(x³−3x²+6x−6)+C04终止条件：当左列导数为0时停止（多项式），或当左右列出现与原积分相同的项时停止（循环型）列表法演示∫x³·eˣdx→u=x³dv=eˣdx±u→求导↓dv→积分↓+x³→eˣ−3x²→eˣ+6x→eˣ−6→eˣ■0eˣ结果=x³eˣ−3x²eˣ+6xeˣ−6eˣ+C=eˣ(x³−3x²+6x−6)+CIntegrationbyParts循环型分部积分（解方程法）当指数函数与三角函数相乘时（如∫eˣsinxdx），分部两次后会在等式右端再次出现原积分，形成循环。此时将原积分视为未知量I，通过移项解方程即可求得结果。01循环产生条件eˣ与sinx/cosx互相积分后类型不变，分部两次后必然再次出现原积分，形成循环结构。02第一次分部令I=∫eˣsinxdx，取u=sinx、dv=eˣdx，得I=eˣsinx−∫eˣcosxdx，产生新积分。03第二次分部对∫eˣcosxdx取u=cosx、dv=eˣdx，得eˣcosx+∫eˣsinxdx=eˣcosx+I，原积分再次出现。04解方程求II=eˣsinx−eˣcosx−I，移项得2I=eˣ(sinx−cosx)，故I=eˣ(sinx−cosx)/2+CIntegrationbyParts对数与反三角函数的分部积分含lnx或arctanx等函数的积分可通过巧妙设置dv=dx（即v=x）来应用分部积分法。对数函数和反三角函数微分后变为代数函数，大幅简化。01∫lnxdx令u=lnx,dv=dx，则du=dx/x,v=x，代入分部积分公式得x·lnx−x+C02∫arctanxdx令u=arctanx,dv=dx，则du=dx/(1+x²),v=x，代入得x·arctanx−½ln(1+x²)+C03∫arcsinxdx令u=arcsinx,dv=dx，则du=dx/√(1−x²),v=x，代入得x·arcsinx+√(1−x²)+C04∫lnx/x²dx令u=lnx,dv=x⁻²dx，则du=dx/x,v=−1/x，代入得−lnx/x−1/x+CINTEGRATIONTECHNIQUES换元法与分部积分法的综合应用换元法与分部积分法的灵活组合，是解决高难度积分题的核心策略01∫e√xdx令t=√x换元得∫2tetdt，再令u=2t,dv=etdt分部积分，回代得最终结果2(√x−1)e√x+C02∫sin(lnx)dx令t=lnx换元得∫et·sintdt（因x=et,dx=etdt），再用循环型分部积分法解方程求解CyclicIntegration03∫x·arctan(x²)dx令t=x²换元得½∫arctantdt，再令u=arctant,dv=dt分部积分后回代Subst+ByParts04∫cos√x/√xdx令t=√x换元得∫2costdt=2sint+C，仅需换元不需分部，需注意区分2sin√x+CCALCULUS·INTEGRATION分部积分法与递推公式分部积分法可建立高次幂积分的递推关系式，将Iₙ与Iₙ₋₂联系起来，任意正整数次幂的三角函数积分都能逐步降次求解。Formulasinⁿx递推公式将sinⁿx=sinⁿ⁻¹x·sinx分部积分，利用sin²x=1−cos²x替换，得Iₙ=−(sinⁿ⁻¹x·cosx)/n+((n−1)/n)·Iₙ₋₂Iₙ→Iₙ₋₂Boundary递推终止条件n为偶数时递推至I₀=∫dx=x+C，n为奇数时递推至I₁=∫sinxdx=−cosx+C，奇偶分治两条路径I₀·I₁Symmetrycosⁿx对称递推Jₙ=(cosⁿ⁻¹x·sinx)/n+((n−1)/n)·Jₙ₋₂，推导方法与sinⁿx完全对称，仅首项符号与三角函数互换Jₙ对称ApplicationWallis公式联系将递推公式应用于定积分∫₀ᵖⁱ⁄²sinⁿxdx，可得著名的Wallis公式，建立积分与阶乘的深层联系∫₀ᵖⁱ⁄²IntegrationbyParts·Comprehensive分部积分法综合例题综合例题展示了分部积分法在复杂场景下的灵活应用：含高次对数的积分需多次分部、含展开多项式的积分可用列表法高效处理、含多种"优先u"函数时需按LIATE法则排序并逐步消去超越函数部分。01∫x²ln²xdx令u=ln²x，dv=x²dx，第一次分部得(x³/3)ln²x−(2/3)∫x²lnxdx，再对lnx分部一次完成求解。02∫eˣ(x+1)²dx展开为∫(x²+2x+1)eˣdx，用列表法一次处理：eˣ(x²+2x+1)−eˣ(2x+2)+2eˣ=eˣ(x²+1)+C。03∫x·sin²xdx先用半角公式sin²x=(1−cos2x)/2化简，拆为∫x/2·dx−∫x·cos2x/2·dx，后者分部一次即可。04∫(arctanx)²dx令u=(arctanx)²，dv=dx，分部后得x(arctanx)²−∫2x·arctanx/(1+x²)dx，后者再分部一次。CALCULUS·INTEGRATION分部积分法五种模式总结分部积分法的应用可归纳为五种模式：基本型（一次完成）、连续型（多项式多次降次）、循环型（解方程求积分）、降次型（递推公式）和隐含型（dv=dx）。掌握每种模式的识别特征和操作流程是系统应对各类积分题的基础。分部积分法五种典型模式模式识别特征操作方法典型例题基本型多项式×指数/三角（一次幂）令u=多项式，一次分部完成∫x·eˣdx连续型高次多项式×指数/三角列表法，多次分部至多项式为0∫x³·sinxdx循环型指数×三角函数两次分部后解方程求I∫eˣ·sinxdx降次型高次三角函数sinⁿx/cosⁿx建立Iₙ与Iₙ₋₂的递推关系∫sin⁵xdx隐含型单个对数/反三角函数令dv=dx，巧妙引入v=x∫lnxdx五种分部积分模式覆盖不定积分计算中绝大多数需要分部的题型DECISIONFLOW不定积分方法选择决策流程不定积分计算的方法选择遵循优先级递进的决策流程：基本积分表→凑微分法→第二类换元法→分部积分法→组合方法。每一步的决策依据是被积函数的结构特征，快速准确地识别题型是高效解题的核心能力。01基本积分表检查被积函数是否为标准形式（如1/x→ln|x|、sec²x→tanx），能直接查表则无需复杂操作标准形式02凑微分法检查是否能拆出f[φ(x)]·φ'(x)的结构，若能凑出d[φ(x)]则用第一类换元法求解f·φ'03第二类换元检查是否含√(a²−x²)、√(x²±a²)等根式，或分母含高次项，选用三角代换或倒代换根式结构04分部积分检查是否为两类不同函数的乘积（如多项式×指数、对数×幂函数），用分部积分法处理函数乘积05组合方法当单一方法不够时，先换元消除障碍（如根号），再对新积分用分部积分法多法联动易错点常见易错点与注意事项不定积分计算中的常见错误集中在四个方面：遗漏积分常数C、三角代换回代错误、凑微分时忽略常数因子、以及分部积分中u/dv的错误选取。建立系统化的检查习惯可有效避免这些非知识性失分。01积分常数C不可遗漏尤其是分部积分移项求解时（如循环型），等式右端不再含积分号时必须加上任意常数C02三角代换回代需画辅助三角形由t的三角函数值构造直角三角形，从三角形的边长关系中读出x的表达式，避免符号错误03凑微分时常数因子要配齐如∫e^(2x)dx需凑(1/2)d(e^(2x))=(1/2)e^(2x)+C，∫cos3xdx=(1/3)sin3x+C04分部积分选错及时止损若第一次选取u/dv后新积分比原积分更复杂，应立即换一种选取方式，不要强行继续计算CALCULUS·FORMULASHEET核心公式速查表本页汇总本节课所有核心公式：分部积分公式∫udv=uv-∫vdu、三种三角代换对应关系、LIATE优先级法则、以及常用凑微分恒等式。公式的系统化整理有助于考前快速复习和查缺补漏。分部积分与换元核心公式分部积分：∫udv=uv−∫vdu（乘积求导法则的逆运算）三角代换①：√(a²−x²)→x=asint→√(a²−x²)=acost三角代换②：√(x²+a²)→x=atant→√(x²+a²)=asect三角代换③：√(x²−a²)→x=asect→√(x²−a²)=atantLIATE法则与常用凑微分LIATE优先级：反三角>对数>幂函数>指数>三角（排前选u，排后选dv）常用凑微分：xdx=½d(x²)、cosxdx=d(sinx)、eˣdx=d(eˣ)、1/xdx=d(lnx)、sec²xdx=d(tanx)EXERCISES课堂练习以下四道练习题涵盖核心方法，难度递进。建议独立完成后再对照答案，关注方法选择的判断过程。01·凑微分法∫x/(1+x⁴)dx令u=x²，化为arctan形式02·三角代换∫1/(x²√(4−x²))dx令x=2sint，消根号化为三角积分03·分部积分法∫x²·arctanxdx令u=arctanx，分部后需配方处理04·综合应用∫e^√(x+1)dx先令t=√(x+1)