吉林省长春市慧泽高中2025-2026学年高一（下）第一次质检数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春市慧泽高中高一（下）第一次质检数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列说法正确的是（）A.若，方向相反，则与为相反向量

B.模相等的两个平行向量相等

C.零向量与任意向量平行

D.共线向量是在同一条直线上的向量2.已知向量，若，则x=（）A.-4 B.2 C.4 D.-23.已知，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.如图，在△ABC中，D为BC中点，E在线段AD上，且AE=2ED，则=（）A.

B.

C.

D.5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a：b：c=2：3：4，则=（）A. B. C.1 D.-16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，则b=（）A.25 B.5 C.4

$ D.7.如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测量得∠CDB=120°，CD=30米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，则塔高AB=（）A.30米

B.米

C.米

D.米8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量的投影向量为（）A. B. C. D.-二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设向量=（2，0），=（1，1），则（）A.||=|| B.（-）∥

C.（-）⊥ D.与的夹角为10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）A.若sinA＞sinB，则A＞B

B.若，则△ABC是钝角三角形

C.若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形

D.若b=2，，这样的三角形有两解，则a的取值范围为11.已知矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=8，AD=6，点P是矩形ABCD所在平面内的一点，且满足，.则下列说法正确的是（）A.PO=1 B.m+n的最大值是为

C.的最小值为-12 D.的最大值为40三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，若A=45°，B=30°，，则b=

.13.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），则顶点D的坐标是

．14.已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量.

（1）求；

（2）若，求λ的值.16.(本小题15分)

已知平面内三点A（-1，-3），B（2，1）、C（-4，m）．

（1）若A，B，C三点共线，求m的值；

（2）当m=-3时，线段BC上的点D满足=2，求的值．17.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=45°，∠BAD=105°，，BC=2，AC=3.

（1）求边AB的长；

（2）求△ABC的面积.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC=2a+c．

（1）求角B的大小；

（2）若，D为AC边上的一点，BD=1，且，求△ABC的面积．

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）19.(本小题17分)

“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点.对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，a=2，点P是△ABC的费马点.

（1）求A；

（2）若，求△ABC的面积；

（3）求△ABC周长的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】CD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】（2，2）

14.【答案】

15.【答案】解：（1），

则，

故；

（2），，

由可得：=2λ+1-4（4λ+4）=-14λ-15=0，解得．

16.【答案】（本小题12分）

解：（1）∵A，B，C三点共线，

∴=（3，4），=（-6，m-1）

据向量共线的充要条件知，3（m-1）+24=0

∴m=-7

（2）∵m=-3

∴C（-4，-3）又=2

∴据线段定比分点坐标公式得D（-2，-）

∴=（-1，），=（-6，-4）

∴•=6-=

17.【答案】解：（1）在△ABD中，∠ABD=180°-（45°+105°）=30°，

由正弦定理得．

（2）在△ABC中，由余弦定理得．

∴．

∴．

18.【答案】解：（1）因为2bcosC=2a+c，

由正弦定理知，2sinBcosC=2sinA+sinC，

在三角形中，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

代入上式得2cosBsinC+sinC=0，

∵C∈（0，π），

∴sinC＞0，cosB=-，

∵B∈（0，π），所以B=π；

（2）若选①：由BD平分∠ABC得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，BD=1，

所以acsinπ=×1×csin+×1×asin，

即ac=a+c，

在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ，

又b=2，∴a2+c2+ac=12，即（a+c）2-ac-12=0，

所以（ac）2-ac-12=0，

解得ac=4（ac=-3舍去），

所以S△ABC=acsinB=×4×sinπ=．

所以△ABC的面积为．

若选②：因为D为线段AC的中点，所以=（+），

两边平方可得2=（2+2+•），

而BD=1，

所以1=（c2+a2+2accosB），而B=π，

可得a2+c2-ac=4，

在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，

即a2+c2+ac=12，

联立，可得ac=4，

S△ABC=acsinB=×4×sinπ=．

所以△ABC的面积为．

19.【答案】解：（1）因为，

所以，

又因为sinB=sinAcosC+cosAsinC，

所以，

又C为三角形