2027版53B版新高考版数学总复习分层训练培优1　三次函数性质综合

专题三导数及其应用培优1三次函数性质综合目录类型1三次函数的极（最）值类型2三次函数的对称问题类型3三次函数的零点类型1三次函数的极(最)值1.(2021全国乙,文12,理10,5分)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则

()A.a<b

B.a>b

C.ab<a2

D.ab>a2

D

解析

f(x)=a(x-a)2(x-b)=a[x3-(2a+b)x2+(2ab+a2)x-a2b],∴f'(x)=a[3x2-(4a+2b)x+2ab+a2]=a(x-a)[3x-(a+2b)].令f'(x)=0,得x1=a,x2=

.(i)若a>0,要使函数f(x)在x=a处取得极大值,则需f(x)在(-∞,a)上单调递增,在

上单调递减,此时需a<

,得0<a<b,∴a2<ab.(ii)若a<0,要使函数f(x)在x=a处取得极大值,则需f(x)在

上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,此时需满足a>

,得b<a<0,∴a2<ab.综上可知,a2<ab,故选D.小题速解由于a≠0,故三次函数f(x)图象可用数轴标根法画出,结合“奇穿偶不穿”

及x=a为f(x)的极大值点,f(x)图象有两种,如图所示.

结合两图可得0<a<b或b<a<0,则一定能得到ab>a2.故选D.2.(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则

()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)

ACD

解析由题意知f'(x)=3(x-1)(x-3).对于A,令f'(x)>0,得x<1或x>3,令f'(x)<0,得1<x<3,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上

单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以x=3是f(x)的极小值点,故A正确;对于B,当0<x<1时,0<x2<x<1,由f(x)在(0,1)上单调递增,得f(x2)<f(x),故B错误;对于C,由1<x<2,得1<2x-1<3,由f(x)在(1,3)上单调递减,得f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<

0,故C正确;对于D,f(2-x)-f(x)=(x-1)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-2x+2)=-2(x-1)3,当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)>

0,则f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD.3.(多选)(2026江苏南京一中月考)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则

()A.若f(x)为奇函数,则b=0且d≠0B.当a>0,b>0,c=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增C.当a>0,b=0,c<0时,f(x)有两个极值点D.当a=1,b=3,c=d时,f(x)的图象关于点(-1,2)对称

BCD

解析对于A,因为函数f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,所以f(0)=0⇒d=0,因此A错误.对于B,f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f'(x)=3ax2+2bx+c,当a>0,b>0,c=0,x>0时,显然f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B正确.对于C,f'(x)=3ax2+2bx+c,当a>0,b=0,c<0时,f'(x)=3ax2+c,f'(x)=0有两不等实根,设为x1,x2,x1

<x2,当x<x1和x>x2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x1<x<x2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x

=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,所以该函数有两个极值点,故C正确.对于D,当a=1,b=3,c=d时,f(x)=x3+3x2+cx+c,所以f(x)图象的对称中心的横坐标为-

=-1,又f(-1)=(-1)3+3×(-1)2-c+c=2,所以f(x)的图象关于点(-1,2)对称,故D正确.故选BCD.4.(多选)(2026湖北十堰二模)已知函数f(x)=

x3-x2-3x-

,则

()A.y=f(x+1)+4为奇函数B.3是f(x)的极大值点C.曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程为5x-y-27=0D.若a>-1,则f(x)在(-2,a)上存在最大值

AC

解析对于A,解法一:曲线f(x)的对称中心的横坐标为-

=1,又f(1)=

-1-3-

=-4,所以曲线f(x)的对称中心为(1,-4),又曲线y=f(x+1)+4是由曲线y=f(x)向左平移1个单位长度且

向上平移4个单位长度得到,所以曲线y=f(x+1)+4关于点(0,0)对称,故y=f(x+1)+4是奇函

数,故A正确.解法二:y=f(x+1)+4=

(x+1)3-(x+1)2-3(x+1)-

+4=

(x3+3x2+3x+1)-x2-2x-1-3x-3-

+4=

x3-4x,为奇函数,故A正确.对于B,f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),易得f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减,所以3是f(x)的极小值点,故B错误.对于C,因为f'(4)=5,f(4)=-7,故曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程为y-(-7)=5(x-4),即5x-

y-27=0,故C正确.对于D,由上分析画出f(x)的图象如图,

因为f(-1)=f(5)=

,所以-1<a≤5时,f(x)在(-2,a)上存在最大值,故D错误.故选AC.5.(2025全国二卷,13,5分)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=_________.

-4

解析由题意,得f'(x)=3x2-(2a+6)x+3a+2,由x=2是函数f(x)的极值点,得f'(2)=3×22-2(2a+6)

+3a+2=0,解得a=2,则f(x)=(x-1)(x-2)2,所以f(0)=(0-1)×(0-2)2=-4.类型2三次函数的对称问题1.(2026贵州贵阳适应性考试)已知函数f(x)=x3-3x+1,则

()A.函数f(x)有3个零点B.曲线y=f(x)存在一条对称轴C.函数f(x)有3个极值点D.曲线y=f(x)的对称中心在x轴上

A

解析对f(x)=x3-3x+1求导得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-∞,-1),(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)

单调递增,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,则f(x)有两个极值点,f(1)=-1,f(-1)=3,当x

→-∞时,f(x)→-∞当x→+∞时,f(x)→+∞,作出f(x)的图象如图,则f(x)有3个零点,任何三

次函数的图象都没有对称轴,曲线y=f(x)的对称中心为(0,1),在y轴上,故选A.

2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数f(x)=x3-x+1,则

()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

AC

解析∵f(x)=x3-x+1,∴f'(x)=3x2-1,令f'(x)=0,得x=±

,当x∈

时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈

时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈

时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)有两个极值点,故选项A正确.∵f

=

-

+1=

>0,∴f(x)的极小值大于0,∴f(x)仅有一个零点.故选项B错误.由于函数f(x)的图象是由奇函数y=x3-x的图象向上平移1个单位长度得到的,故f(x)的图象关于点(0,1)对称,即点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故选项C正确.曲线y=f(x)的切线斜率为2,即f'(x)=2,得x=±1,故曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程为y=2x-

1或y=2x+3,故选项D错误.故选AC.类型3三次函数的零点1.(多选)(2024新课标Ⅱ,11,6分)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则

()A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心

AD

解析依题意得f'(x)=6x2-6ax,令f'(x)=0,得6x(x-a)=0,解得x=0或x=a.对于选项A,a>1时,f(0)=1>0,f(a)=2a3-3a3+1=1-a3<0,f(x)的图象如图1所示,故A正确.

对于选项B,a<0时,f(x)的图象如图2所示,x=0是f(x)的极小值点,故B错误.对于选项C,由三次函数的性质知,三次函数的图象只有对称中心,不存在对称轴,故C错

误.对于选项D,由三次函数图象的对称性知f(x)图象的对称中心为

,所以当

=1,即a=2时,点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,故D正确.2.(多选)(2026河北石家庄一模)已知函数f(x)=ax3-

,a∈R,f(1)=-

,则

()A.a=

B.函数f(x)的零点为±2C.曲线y=f(x)上任意一点处切线的倾斜角不小于

D.若x1<x2,且x1,x2≠0,则f(x1)<f(x2)

AC

解析

f(x)的定义域为{x|x≠0}.由f(1)=a-1=-

,得a=

,则f(x)=

x3-

,令f(x)=

=0,即x4=4,解得x=±

,对f(x)求导得f'(x)=

x2+

,易知f'(x)>0,则f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,作出f(x)的图象如图,由图知当-

<x1<0<x2<

时,f(x1)>f(x2),

由f'(x)=

≥

×2

=

,故曲线y=f(x)上任意一点处切线的倾斜角不小于

,故选AC.3.(多选)(2026浙江杭州二模)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax,则

()A.∃a∈R,f(x)是增函数B.∀a∈R,f(x)是奇函数C.若f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=-3D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-2<m<0

ACD

解析已知f(x)=2x3+6x2+ax,则f'(x)=6x2+12x+a=6(x+1)2+a-6.选项A,若f(x)是增函数,则f'(x)≥0恒成立,只需a-6≥0即可,所以a≥6.所以∃a∈R,f(x)是

增函数,故A正确.选项B,f(-x)=2(-x)3+6(-x)2+a(-x)=-2x3+6x2-ax,-f(x)=-2x3-6x2-ax,则f(-x)≠-f(x),故∀a∈R,f(x)不是奇函数,故B错误.选项C,若f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3,则f(x)=2x3+6x2+ax=x(2x2+6x+a)=0有3个根.其中一

个零点为x1=0,另外两个零点为2x