2027版53B版新高考版数学总复习分层训练9.1　计数原理

专题九计数原理、概率与统计9.1计数原理目录考点1计数原理、排列与组合考点2二项式定理五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1计数原理、排列与组合五年高考·考点练1.★(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层

随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部

和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有

()A.

·

种

B.

·

种C.

·

种

D.

·

种

D

解析根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据

分步乘法计数原理,得不同的抽样结果共有

·

种.故选D.2.★★(2026全国Ⅱ卷,6,5分)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A,B两个技术攻关组,要

求每组4人,其中甲、乙同组,丙、丁不同组,则分组方案共有

()A.10种

B.12种

C.16种

D.24种

C

解析当甲、乙都在A组时,从丙、丁中任选一人也加入A组,再从除去甲、乙、丙、

丁后剩下的4人中任选1人加入A组,则有

×

=8种选法,同理,当甲、乙都在B组时,也有8种选法,所以分组方案共有8+8=16(种).故选C.3.★★(2023全国甲理,9,5分)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、

星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同

安排方式共有

()A.120种

B.60种

C.30种

D.20种

B

解析从5人中选1人两天都参加,有

=5(种)安排方式,从剩下4人中选2人进行排列,有

=4×3=12(种)安排方式,则共有

=5×12=60(种)安排方式,故选B.4.★★★(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若

甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有()A.12种

B.24种

C.36种

D.48种

B

解析解法一(直接法):第一种情况:甲站在最中间,丙丁站在甲的左边或右边有2种选择,然后丙丁两个内部全

排,乙戊在剩下的两个位置全排列,有2

=8种站法.第二种情况:甲站在左二或右二有2种选择,以甲站左二位置为例,丙丁在甲的右侧三个

位置中相邻有2种选择,然后丙丁两个内部全排列,乙戊在剩下的两个位置全排列,有2×

2

=16种站法.∴甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式共有8+16=24种.解法二:丙和丁相邻共有

·

种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有

·

·

种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有

·

-

·

·

=24种站法,故选B.5.★★(2023新课标Ⅰ,13,5分)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生

需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

____________种(用数字作答).

64

解析选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有

·

=16种选课方案;选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有

·

+

·

=48种选课方案.因此不同的选课方案共有16+48=64种.6.★★★★(2024新课标Ⅰ,14,5分)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数

字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比

赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的

大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片

在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为___________.解析若甲总得分小于2,则甲得0分或1分,记甲、乙所选卡片数字大小为有序数对

(a,b),可固定甲卡片数字顺序为1,3,5,7,然后将乙所选卡片数字进行全排列,共

=24种,甲得0分时,一定是(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),甲得1分时,符合条件的有①(1,2),(3,4),(5,8),(7,6),②(1,2),(3,6),(5,8),(7,4),③(1,2),(3,6),(5,4),(7,8),④(1,2),(3,8),(5,6),(7,4),⑤(1,4),(3,2),(5,6),(7,8),⑥(1,4),(3,6),(5,2),(7,8),⑦(1,4),(3,6),(5,8),(7,2),⑧(1,4),(3,8),(5,6),(7,2),⑨(1,6),(3,4),(5,8),(7,2),⑩(1,6),(3,4),(5,2),(7,8),

(1,8),(3,4),(5,6),(7,2),共11种.综上,符合条件的共12种,所以甲总得分不小于2的概率为1-

=

.7.★★★★(2024新课标Ⅱ,14,5分)在右图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列

均恰有一个方格被选中,则共有____________种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中

方格中的4个数之和的最大值是_____________.

112

24

解析第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4

×3×2×1=24种选法.由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对

值算出来,如下表.

要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21,3

3,43和15,和为112,故最大值为112.考点2二项式定理1.★(2025天津,11,5分)在(x-1)6的展开式中,x3的系数为__________.

-20

解析

Tr+1=

x6-r·(-1)r,令6-r=3,则r=3,T4=

x3·(-1)3=-20x3,所以x3的系数为-20.2.★(2023天津,11,5分)在

的展开式中,x2的系数为____________.

60

解析

的展开式的通项是Tk+1=

·(2x3)6-k·

=(-1)k26-k

x18-4k.令18-4k=2,得k=4,∴x2的系数为(-1)4×22×

=60.3.★(2024天津,11,5分)在

的展开式中,常数项为____________.

20

解析

的展开式的通项为Tk+1=

=32k-6

x12-4k,k=0,1,…,6,令12-4k=0,可得k=3,所以常数项为30

=20.4.★★(2025北京,12,5分)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=___________;a1+a2+a3+a4=____________.

15

1

解析令x=0,得a0=(1-0)4=1.a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4=a0+a1·(-2x)1+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4,结合(1-2x)4=

+

(-2x)1+

(-2x)2+

(-2x)3+

(-2x)4,可得a1+a2+a3+a4=

+

+

+

=15.5.★★(2022新高考Ⅰ,13,5分)

(x+y)8的展开式中x2y6的系数为__________(用数字作答).

-28

解析

(x+y)8=(x+y)8-

(x+y)8.(x+y)8的展开式的通项为Tk+1=

x8-kyk,令k=6,则T7=

x2y6,令k=5,则T6=

x3y5,所以

(x+y)8的展开式中x2y6的系数为

-

=-28.6.★★(2024全国甲理,13,5分)

的展开式中,各项系数中的最大值为___________.

5

解析

的展开式中第r+1项的系数为

,由

解得

≤r≤

,又∵r为整数,∴r=8,∴各项系数中的最大值为

=5.三年模拟·限时练基础强化练

限时45分钟1.(2026江苏苏锡常镇调研一)(x-1)8的二项展开式的第6项系数是

()A.

B.

C.-

D.-

C

解析

(x-1)8的二项展开式的第6项为

x8-5(-1)5=-

x3,所以第6项的系数是-

.故选C.2.(2026黑龙江省实验中学开学考)黑龙江省实验中学科技节活动,将4位学生志愿者分

配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动,若每个地点至少需要1名

学生,每位志愿者仅去一个地点,则不同的分配方法种数为

()A.81

B.72

C.36

D.12

C

解析先从4位学生中选出2位学生作为一组,共

种方法,再将三组人进行分配,共

种方法,故共有

=36种分配方法.故选C.3.(2026湖北鄂州质量监测)已知(2-x)5=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a2+a3+a4+a5=()A.32

B.31

C.-31

D.1

C解析令x=0,则a0=25=32,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=1-a0=-31.故

选C.4.(2026重庆巴蜀中学月考七)在

的展开式中,若常数项为240,则x-3项的系数为

()A.60

B.36

C.729

D.6

A

解析

的展开式的通项为

(2

)n-k

=2n-k

,由题意得

解得

故2n-k

=26-k

,令

=-3,得k=4,则x-3项的系数为22

=60.故选A.5.(2026河南部分学校联考四)某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐,小王同学计划周

一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐,且在这五天里将这四种套餐都尝一

遍,则不同的方案共有

()A.120种

B.144种

C.240种

D.288种

C

解析由题意可得,小王同学有两天吃同一种套餐,先从5天中选出两天吃同一种套餐,

然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中,则不同的方案共有

=240种.故选C.6.(2026山东淄博一模)有5名同学A,B,C,D,E参加唱歌比赛,抽签决出出场顺序.若A和B

都不是第1个出场,且C不是最后一个出场,则这5人不同的出场顺序种数为

()A.42

B.50

C.54

D.60

D

解析根据题意,分C是第1个出场和C不是第1个且不是最后一个出场两种情况讨论:当C是第1个出场时,A,B,D,E全排列,共有

=24种不同的出场顺序;当C不是第1个且不是最后一个出场时,先排第1个出场的,从D,E中选一个,有2种选法,再

排C,有三个位置可选,有3种排法,最后三人全排列,有

=6种排法,所以共有2×3×6=36种不同的出场顺序.由分类加法计数原理得,共有24+36=60种不同的出场顺序.故选D.7.(2026陕西师大附中模拟五)若(2x+1)n的展开式中第7项的二项式系数最大,则n的值不

可能是

()A.10

B.11

C.12

D.13

A

解析当n为偶数时,(2x+1)n的展开式中二项式系数最大的项为第

+1项,令

+1=7,得n=12;当n为奇数时,(2x+1)n的展开式中二项式系数最大的项为第

+1项和第

+1项,令

+1=7,得n=13;令

+1=7,得n=11.所以结合选项可知n的值不可能是10.故选A.8.(多选)(2026山东名校考试联盟开学联考)若(3x+1)(x-2)n=a0+a1x+a2x2+…+a6x6(a6≠0),则

()A.n=5

B.a4=130C.a1+a2+…+a6=28

D.a1+2a2+3a3+…+6a6=23

AC

解析对于A,因为a6≠0,所以多项式a0+a1x+a2x2+…+a6x6的最高次项的次数为6,所以n=

5,A正确.对于B,因为a4=3×

×(-2)2+1×

×(-2)1=110,B不正确.对于C,在(3x+1)(x-2)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中,令x=0,得1×(-2)5=a0⇒a0=-32,令x=1,得4×(-1)5=a0+a1+a2+…+a6⇒a1+a2+…+a6=-4-(-32)=28,C正确.对于D,对(3x+1)(x-2)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6两边同时求导,得3(x-2)5+5(3x+1)(x-2)4=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5,令x=1,得3×(-1)5+5×4×(-1)4=a1+2a2+3a3+…+6a6⇒a1+2a2+3a3+…+6a6=17,D不正确.故选AC.9.(多选)(2026山西大学附中月考三)现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的

小球,要求把4个小球全部放进盒子中,则下列结论不正确的有

()A.没有空盒子的方法共有16种B.有空盒子的方法共有256种C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种D.没有空盒子且恰有一个小球放入与自己编号相同的盒子的方法有16种

ABD

解析对于A,没有空盒子,即将4个球在4个盒子上进行全排列,共有

=24种方法,故A中结论不正确;对于B,有空盒子,有4个球,每个球有4种放法,再减去没有空盒的情况,共有44-

=256-24=232种方法,故B中结论不正确;对于C,恰有1个空盒,即另外3个盒子都有球,而球有4个,必然有1个盒子中放了2个球,先

从4个盒子中选1个作为空盒,再从4个球中选出2个球绑在一起,与另外两个球对余下的

3个盒子全排列,则共有

=144种方法,故C中结论正确;对于D,没有空盒子且恰有1个小球放入与自己编号相同的盒子,则可从4个盒子和4个球中选定标号相同的盒和球,有

种方法,另外3个球和3个盒子的标号不能互相对应,共2种方法,则共有

×2=8种方法,故D中结论不正确.故选ABD.10.(2026浙江Z20名校联盟第二次联考)(1+x)(1-x)8的展开式中,x2的系数为____________.

20

解析

(1-x)8的展开式的通项为

·(-x)k,故(1+x)(1-x)8的展开式中,x2的系数为

·(-1)2+

·(-1)=20.11.(2026江苏苏州一模)在(1-x)3+(1-x)4+(1-x)5的展开式中,含x2项的系数为____________.

19

解析由题意知含x2项的系数为

·(-1)2+

·(-1)2+

·(-1)2=19.12.(2026四川成都七中开学考)

的展开式中,二项式系数最大的项为____________.

70

解析由二项式系数的性质得

的展开式中二项式系数最大的项为第5项,又

的展开式的通项为Tk+1=

x8-k

=

x8-2k,k=0,1,2,…,8,故令k+1=5,解得k=4,则第5项为

x0=70.13.(2026重庆八中开学考)已知(1+2x)60+(4-x)60=a0+a1x+a2x2+…+a60x60,若存在k∈{0,1,2,

…,60},使得ak<0,则k的最大值为____________.

39

解析二项式(1+2x)60的通项为Tr+1=

(2x)r=

·2r·xr,r∈{0,1,2,…,60},二项式(4-x)60的通项为Tm+1=

460-m·(-x)m=

·460-m·(-1)mxm,m∈{0,1,2,…,60},∴ak=

·2k+

·460-k·(-1)k=

[2k+460-k·(-1)k],k∈{0,1,2,…,60},若ak<0,则k为奇数,此时ak=

(2k-460-k),∴2k-460-k<0,得2k<22(60-k),∴k<120-2k,∴k<40,又∵k为奇数,∴k的最大值为39.14.(2026湖南湘潭二模)将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一个3×3的方格中,每个格子填1个数

字,且不重复,要求第一行数字满足a11<a12<a13,第三行数字满足a31<a32<a33,第三列数字满

足a13<a23<a33,则符合要求的填数方法共有_______________种.(用数字作答)

1080

解析从9个数中任取2个数填入a21和a22的位置,有

=72种方法.因为a11<a12<a13<a23<a33,a31<a32<a33,所以在剩下的7个数中,最大的数只能填入a33的位置,再从剩下的6个数字中

选择4个数字填入a11,a12,a13,a23的位置,且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入a1

1,a12,a13,a23的位置,最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入a31,a32的位置,

故填好a33,a11,a12,a13,a23,a31,a32的位置的数字共有

=15种方法.因此,符合要求的填数方法共有72×15=1080种.综合提升练

限时30分钟1.(2026陕西西安一中模拟)一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核

心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连,且两个家庭

中间至少间隔一个座位,则符合要求的排座方式一共有

()A.48种

B.72种

C.144种

D.216种

B

解析三口之家三人全排列有

=6种不同的排法,一对夫妇有

=2种不同的排法,则两个家庭之间有1个空位的排法有

×2×2=48种;两个家庭之间有2个空位的排法有

×2=24种,所以符合要求的排座方式一共有24+48=72种.故选B.2.(2026广东深圳高级中学等校联考)在(x+y)(x-2y)5的展开式中,x3y3的系数为

()A.120

B.80

C.40

D.-40

D

解析根据二项式定理,知(x-2y)5的展开式的通项为Tk+1=

x5-k(-2y)k=

·(-2)kx5-kyk.令k=3,可得T4=

(-2)3x2y3=-80x2y3,此时x3y3的系数为-80;令k=2,可得T3=

(-2)2x3y2=40x3y2,此时x3y3的系数为40,所以x3y3的系数为-80+40=-40.故选D.3.(2026河南南阳一模)今天是星期一,再过10100天是

()A.星期二

B.星期三

C.星期四

D.星期五

D

解析

10100=10050=(98+2)50=

+

·2+…+

98·249+

250,(※)由98能被7整除,知(※)式的前50项都能被7整除,只需看最后一项

250=250除以7的余数,由250=4×816=4×(7+1)16=4(

716+

715+…+

7+

),则250除以7的余数为4

=4,所以今天是星期一,再过10100天是星期五.故选D.4.(2026山东济南二模)如图,△ABC三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,将1,2,3,4,5,6六个

数字全部标注在A,B,C,D,E,F六个点处,每个点处标注一个数字,使得每个中点处的数字

都比其相邻两顶点处的数字小,则不同的标注方法有

()

A.36种

B.48种

C.60种

D.72种

B

解析由题意可得顶点标注的数字只能为4,5,6或3,5,6,其余情况不满足题意.若顶点处标注数字4,5,6,则1,2,3标注在中点处,此时有

=36种标注方法,若顶点处标注数字3,5,6,则4只能标注在5,6之间的边的中点,此时有

=12种标注方法,所以不同的标注方法有36+12=48种.故选B.5.(多选)(2026重庆育才中学月考)杨辉三角是第1行为1,第n行(n≥2)的元素是组合数

(k=0,1,…,n-1)按k依次增大排列的一个三角数阵,它具有对称性

=

、递推性

=

+

.关于杨辉三角与组合数的下列结论正确的有

()A.第10行所有数字之和为512B.对任意正整数n,

(-1)k

=0C.

+

+

+…+

=

(n>r)D.

+

+

+…+

=

ABD

解析对于A,第10行所有数字之和为

+

+…+

=29=512,故A正确;对于B,

(-1)k

=

-

+…+(-1)n-1·

+(-1)n

=(1-1)n=0,故B正确;对于C,令n=4,r=1,则

+

+

+

=10,而

=6,显然

+

+

+…+

=

(n>r)不成立,故C不正确;对于D,(1+x)2n的通项为Tk+1=

xk,xn的系数为

,(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(

+

x+…+

xn)·(

+

x+…+

xn),此时xn的系数为

·

+

+…+

·

=

+

+…+

,所以

+

+

+…+

=

,故D正确.故选ABD.6.(多选)(2026湖南长沙一中月考)下列有关排列数、组合数的等式中(n∈N*,m∈N,m≤

n),正确的是

()A.

=

B.

=

(m≥2)C.

+

+

+…+

=210D.2

+3

+4

+…+20

=5×221-20

ACD

解析对于A,由组合数性质知,

=

,故A正确.对于B,当n≥m≥2时,

=

=

,故B错误.对于C,

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=

+

+…+

=

+

+…+

=…=

+

=

=

=210,故C正确.对于D,因为k

=k·

=

=n·

=n

,所以2

+3

+4

+…+20

=20

+20

+20

+…+20

=20(

+