概率论基础-第三章-随机变量与分布函数

第三章随机变量与分布函数3.1随机变量及其分布3.2随机向量,随机向量的独立性3.3随机变量的函数及其分布2023最新整理收集do

something§3.1随机变量及其分布一、随机变量及分布函数的定义二、分布函数的性质三、离散型随机变量四、连续型随机变量一、随机变量的定义在随机试验中,有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数).

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；六月份广州的最高温度；每天进入地铁站的人数；昆虫的产卵数；

在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.

1A

=1，如果A发生0，如果A不发生

一般地,对任意的随机事件A,都可以引进一个 函数(

{0,1})来表示A是否发生:

例如，在抛硬币的试验中，我们可以如下方法将试验结果与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，当出现反面时对应数“0”.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.

.x

.

Rξ(

)若对于随机试验E的每一个可能结果ω∈Ω，都有唯一的一个实数值ξ(ω)相对应，则称实值函数ξ(ω)为随机变量，简记为ξ.

随机变量(randomvariable,r.v.)的概念

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,w,n等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N，…，或希腊字母

,η,ζ,…，等表示在试验之前只知道ξ可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.它的取值与试验结果形成对应，(1)

随机变量ξ是定义在样本空间上的实值函数，(2)

由于试验结果的出现具有一定的概率，

ξ

的取值情况;

它取值的概率的分布情况.

随着实验结果的不同而取不同的值，

所以随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.如何把握一个随机变量ξ?

随机变量的取值既具有可变性，也有随机性。这种双重性正是随机变量与普通变量(函数)的本质区别。引入随机变量的意义?以函数为工具

研究随机事件的概率规律通过将随机事件数值化转化为

研究随机变量取值的概率规律使概率可转化为我们所熟知的函数形式

分析工具有了用武之地

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，随机试验中的任一随机事件就可以通过随机变量的取值关系式表达出来，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律我们用变量X表示，2.抛一枚硬币，结果分为“正面”、“反面”1.生化检验结果分阳性和阴性，X=0表正面；X＝1表反面。X=0表阴性；X＝1表阳性。Example:3

抛掷骰子,观察出现的点数.Ω={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有:则有则称

()为随机变量，而P(

()B)称为随机变量

()的概率分布.定义

3.1.1设

()是定义于概率空间(,F,P)上的单值实函数,如果对于直线上任一Borel点集B，有下面给出随机变量的严格数学定义.例3.1.3

对于

={

1,

2,

3}，构造σ代数-代数F={

,

,{

1,

2},{

3}}，再定义概率：P(

)=1,P(

)=0,P({

1,

2})=2/3,P({

3})=1/3.这里(

,F,P)显然是一个概率空间，但实值函数

(k)=k,1≤k≤3不是随机变量，例如取Borel点集B=(0,1.5)，则因为有{

:

()

B}={

1}∉

F.另外，注意到，

所以只要对一切实数给出概率，就能算出落入某个区间的概率，再利用概率的性质还可以算出属于某些相当复杂的直线点集的概率。特别地,若取,则有定义

3.1.2称为随机变量

()的(累积)分布函数((cumulative)distributionfunction,c.d.f.)

。记作按定义,随机变量是样本点的函数,因此在试验前我们只能知道它可能取那些值，而不能确知它将取何值，这就是随机性；但到了试验之后,它的取值就明确了.

为了计算概率,必须要求随机变量具有可测性,而分布函数的引进则把对于随机变量的概率计算化为对分布函数的数值运算。

由测度论的方法还可以证明:分布函数可以唯一决定概率分布.（测度扩张的唯一性—见《现代概率论基础》,汪嘉冈,P48.)二、分布函数的性质⑴单调性:若a<b,则F(a)≤F(b);⑶左连续性：⑵有界性：0≤F(x)≤1,且

注：在第三节中我们将证明：满足上述三条性质的函数必为某个随机变量的分布函数。因此，以后我们把满足这三条性质的函数称为分布函数。如果分布函数定义中的“<”改为“≤”,则为右连续.由于F(x)的单调有界性，证明:因为0≤F(x)≤1,

根据概率的可列可加性可知（3）由于F(x)是单调函数，只须证明对于任意一列单调上升的数列，成立

即可。另证:利用概率的下连续性有了分布函数,关于随机变量的许多概率都能方便算出:两类重要随机变量：离散型随机变量；连续型随机变量。三、离散型随机变量定义1.若随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称

是离散型随机变量。定义2.设离散型随机变量的所有可能取值为,其中事件的概率：称为

的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示：性质：称之为随机变量的分布列.离散型分布函数的图像可见,ξ为离散型随机变量当且仅当ξ的分布函数F(x)为阶梯型函数.进一步，ξ

的取值点恰为F(x)的间断点，且常见的离散型随机变量及其分布1.退化(degenerate)分布：单点分布随机变量

只取常数值c，即P{

=c}=1.这时分布函数为伯努利分布可以看成为n=1的二项分布。2.伯努利(Bernoulli)分布若以

记一次伯努利试验中事件A出现的次数，则称为伯努利分布，亦称两点分布或(0－1)分布。3.二项(binomial)分布若以μ记n重伯努利试验中事件A出现的次数，则4.超几何(hyper-geometric)分布

N件产品中共有M件次品，若以ν记从这批产品中（不放回地）抽取n件产品中出现的次品数，则5.泊松(Poisson)分布若随机变量ξ可取一切非负整数值，且记为其中λ>0,则称ξ

服从泊松分布.如果n<<N以及n<<M，可用二项分布近似.6.几何(geometric)分布在事件A发生的概率为p的伯努利试验中,若以记A首次出现时的试验次数，则称为几何分布，它是一种等待时间分布.

几何分布的无记忆性定理.取值于自然数的随机变量服从几何分布，当且仅当有无记忆性：或者Remark:几何分布是唯一无记忆性的离散型分布.

在伯努利试验中，等待首次成功的时间服从几何分布。无记忆性表明：已知试验了m次未获得成功，再加做n次试验仍不成功的条件概率，等于从开始算起做n次试验都不成功的概率。就是说，已做过的m次失败的试验被忘记了。

产生几何分布这种无记忆性的根本原因在于，我们进行的是独立重复试验。

如果真的在做“独立重复试验”，那么不管已经失败过多少次，也不会为今后地试验留下可借鉴的东西。直观解释:证明:【必要性】因为服从几何分布，故于是，对任意的有因而具有无记忆性。【充分性】设因而，且对任意的有至此得证服从几何分布。证毕.由乘法公式知：因为具有无记忆性，故有令则P(

>m+n)=P(

>m)P(

>n),7.帕斯卡(Pascal)分布在事件A发生的概率为p的伯努利试验中，若以记第r次成功出现时的试验次数，则称为帕斯卡分布.显然,当r=1时,即为几何分布.若以记从第次成功之后的第一次试验算起至第i次成功为止共进行的试验次数，则服从几何分布：

相互独立，并且

因而，参数为r的帕斯卡分布可以分解为r个独立同分布的几何分布的随机变量的和。

另一方面，若记则表示为等待第次成功所经历过的失败次数，那么注：不少书上把这个分布作为帕斯卡分布的定义。另一个则只记失败的次数，它们描述的是同样的随机模型，因而它们本质上是相同的。显然，与只是计数方式的不同，一个记全部试验数，

特别地，取，考察为等待第1次成功所经历过的失败次数，那么，这也是一个分布，表示等待首次成功所经历过的失败数，也称为几何分布。8、负二项分布对于任意的实数，称为负二项分布.四、连续型随机变量定义.设F(x)是随机变量ξ的分布函数，若存在非负可积函数p(x),使对对任意实数x有则称ξ为连续型随机变量,称p(x)为ξ的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(probabilitydensityfunction,pdf)

.Reamrk:连续型r.v.的分布函数F(x)是绝对连续的,且F(x)几乎处处可导,即概率密度的性质:⑵规范性：⑴非负性：注：概率密度函数的充要条件：性质（1）+（2）。另外,因为故注意到,故给定密度函数p(x),便可以算出r.v.落入某个区间的概率.概率近似为：特别地,在p(x)的连续点处,ξ落在小区间上的进一步可以证明，r.v.落入任何Borel点集B的概率为：Remark：一个事件的概率为零，它并不一定是不可能事件，一个事件的概率为一，它也不一定是必然事件。在零测集上可以改变密度函数的值，而不影响分布函数的值。若两个两个连续性随机变量的概率密度几乎处处相等，我们即可说二者同分布。分布函数、概率密度函数，都是对随机变量的概率性质的完整刻划，它们含有相同的信息量，可以相互唯一确定（几乎处处意义下），但在图形上，密度函数对各种分布特征的显示要优胜得多，因此它比分布函数更常用。解：

例：设ξ的密度函数为

(1)求常数a的值；(2)写出ξ的分布函数；常见的连续型随机变量及其分布1.均匀(uniform)分布分布函数为:定义.若连续型随机变量ξ的密度函数为：则称ξ服从[a,b]上的均匀分布，记作ξ～U[a,b].

服从区间[a,b]上均匀分布的随机变量ξ,具有下述意义的等可能性:对任意子区间(c,c+l),即随机变量ξ在区间[a,b]上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关.2.正态(normal)分布定义.

若随机变量

的概率密度函数为定义.若

=0,=1，称

服从标准正态分布，记作

ξ～N(0,1).其中，μ

与σ为常数，且σ>0，则称

服从参数为(,)的正态分布或高斯分布，记作ξ～N(,2).特点：(1)p(x)关于x=

对称;(3)决定位置,决定形状.(2)p(x)在x=

处取最大值思考：怎样验证证明：

正态分布是概率论中最重要的分布。

一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布,例如测量的误差;炮弹弹落点的分布;人的生理特征的尺寸:身高，体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸:直径，长度，宽度，高度等等都近似服从正态分布。

一般来说,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用不太大,则这个指标服从正态分布。这一点可以利用概率论的极限定理来证明。

另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可用正态分布来近似,另外一些分布又可以通过正态分布来导出,因此在理论研究中,正态分布十分重要。例4.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解:

设车门高度为hcm,按设计要求，因为分布函数非减,3.指数(exponential)分布定义

分布密度函数为：其中λ>0为参数,这个分布称为指数分布,简记为Exp(λ).分布函数为：因而ξ具有无记忆性.指数分布的重要性还表现在它具有类似于几何分布的“无记忆性”.命题.

取非负实值的随机变量ξ服从指数分布，当且仅当它是无记忆性的：证明：必要性。因为ξ服从指数分布，故

于是,对任意的s,t≥0,有由无记忆性，有:证毕.由条件概率公式知：由于G(x)单调，故根据前面的引理知：因为

G(x)是概率，故0<a<1，可以写成，其中

λ>0。因此充分性。设ξ非负，其分布函数为F(x)，记

假定某种产品的使用寿命服从指数分布,那么,

“无记忆性”表明,无论它已经被使用了多长一段时间,只要还没有损坏,它能再使用一段时间t的概率与一件新产品能使用到时间t的概率一样,就是说,这种产品将“永远年轻”.

尽管如此,在有些场合人们还是愿意采用这种易于计算的分布作为产品使用寿命的模型.当然,应用中也可以选用正态分布或威利分布作为寿命分布.这一点正好说明以指数分布作为寿命分布是有缺陷的.

指数分布有重要应用，常用它来作为各种“寿命”分布的近似，例如无线电元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常假定服从指数分布。指数分布的应用

可以证明：参数为λt的泊松过程中第1个跳跃发生的时刻ξ服从参数为λ的指数分布。

指数分布与泊松过程的关系4.埃尔朗(Erlang)分布对任意的正整数r

及实数λ>0

，密度函数为的分布，称为埃尔兰分布。

可以证明：参数为λt的泊松过程中第r

个跳跃发生的时刻Wr服从埃尔兰分布。证明：5.Г

分布对任意的实数r>0,λ>0，密度函数为的分布称为

分布.简记为

(r,

).特别地，

(1,

)=Exp(

);当r为正整数数时,

(r,)就是Erlang分布;当n为正整数数时,

(n/2,1/2)就是自由度为n的χ2(n)

分布.r=1,=0.5r=2,=0.5r=3,=0.5r=5,=1r=9,=2Exp(0.5);2(2)

2(4)

2(6)

当r=1时，埃尔兰分布化作指数分布，另外，若记

埃尔朗分布是丹麦数学家埃尔朗在研究电话问题时引进的，这些研究开创了排队论这一学科。则表示泊松过程的第r个来到间隔，用它们可以给出来到时刻Wr的如下表达式：

可以证明，均服从参数为的指数分布，并且相互独立。埃尔朗分布与帕斯卡分布有着类似的性质。

分布包含埃尔朗分布作为它的特例,此外,它在概率论和数理统计中有许多应用,是重要分布之一.

为等待第一次成功，伯努利实验中的等待时间服从几何分布，而泊松过程中则服从指数分布。小结：伯努利过程与泊松过程

若每隔进行一次实验，则伯努利实验也可以看作是一个随时间而变化的过程。

在伯努利实验中，到时刻为止，共进行n

次实验，这时成功次数服从二项分布，而在泊松过程中，到时刻t

的来到数则服从泊松分布。

为等待第r

次成功，伯努利实验中的等待时间服从帕斯卡(负二项）分布，而泊松过程中则服从埃尔朗()分布。§3.2随机向量,随机变量的独立性一、随机向量及其分布二、边际分布三、条件分布四、随机变量的独立性问题的提出:例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标X和纵坐标Y来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。一、随机向量及其分布构成一个n维随机变量或n维随机向量。定义.若随机变量定义在同一概率空间上，则称若B为Rn上任一博雷尔点集,有二维随机向量定义示意图

定义.称n元函数为随机向量的(联合)分布函数。

特别地,对于任意的n个实数亦即对于Rn中的n维矩形，有给出了分布函数以后，我们可以计算事件的概率，例如当n=2时，有类似于一元的场合,可以证明多元分布函数的一些性质:（1）单调性：关于每个变元是单调不减函数。（2）规范性:(3)关于每个变元左连续。（4）在二元场合，还应该有:对任意,都有

性质(4)能推出单调性(1)，但(1)不能推出(4)(习题12).这是多元场合与一元场合的不同之处。

随机向量也有离散型与连续型。离散型：多项分布、多元超几何分布等；连续型：多元均匀分布、多元正态分布等.

可以证明：满足(2)，(3)，(4)这三条性质的二元函数必为某二元随机变量的分布函数。因此，以后我们称满足以上三条性质的函数F(x,y)为二元联合分布函数。这里整数，且仅当时上式才成立，否则为0。1.多项(multinomial)分布在实验中,若每次实验的可能结果为，而重复这种实验n次，并假定这些实验是相互独立的,若以

分别记出现的次数，则且多项分布用于有放回抽样场合。常见的多元离散型分布2.多元超几何分布袋中装有i

号球Ni

只，i=1,2,…,r,

N1

+N1+...+Nr=N,

从中随机摸出n只，若以分别记i=1,2,…,r号球的出现数，则这里整数,且仅当时上式才成立，否则为0。多元超几何分布用于不放回场合。在连续型场合,存在着非负函数,使

这里的称为联合密度函数，满足:联合密度函数的充要条件：(1)+(2)常见的多元连续型分布均匀分布和n元正态分布是比较常见的多元连续型分布.1.均匀分布若G为Rn中有限区域，其测度S(G)>0

,则由密度函数给出的分布称为G上的均匀分布。二维均匀分布所反映的背景:

向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关,则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布。2.多元正态分布二元正态分布定义

若二维随机向量(X,Y)具有概率密度则称服从参数为的二元正态分布。

二维正态分布的联合密度函数p(x,y)的图形是一个钟形曲面，它与平行于坐标平面OXY的水平平面相交的截口为椭圆，而与平行于另外两个坐标平面的竖直平面相交的截口为正态曲线。二维正态分布的图形特点:1.离散型场合二、边际分布为方便起见,讨论将对二维场合进行.

称为(,)的联合分布律.显然

设

取值

取值，记

的分布律：称为边际分布或边缘分布。

的分布律：通常用以下表格表示(,)的联合概率分布和边际分布，这种表称为列联表.由此可见：联合分布不能由边际分布唯一确定，也就是说二维随机向量的性质不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的必要性。一般地,若(,)是二维随机向量(离散型或连续型)，其分布函数为F(x,y)，我们能得出

或

的分布函数

及称为的边际分布函数。连续型随机向量(,)的联合分布函数F(x,y),联合密度函数p(x,y),则2.连续型场合在连续点(x,y)，(,)落在小矩形上的概率近似为：进一步,(,)落在平面上任意区域D的概率为：或利用（3）则也是连续型分布函数，其密度函数为同理,也是连续型分布函数,其密度函数为

及称为的边际(分布)密度函数.

若F(x,y)是连续型分布函数,有密度函数p(x,y)

,则二元正态分布的边际分布:二元正态分布的边际分布仍为正态分布。注意：例如：例设二维随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中区域试求二维随机向量(X,Y)关于X,Y的边际概率密度。解：由题意有当时，由于有所以关于的边际概率密度为问题：均匀分布的边际分布是否还是均匀分布？所以,二维随机向量的边际概率密度为关于同理可得，随机向量的边际概率密度。关于可见，圆面上均匀分布的边际分布不是一维均匀分布。当时，三、条件分布

对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。仍对二维的场合进行讨论。1.离散型场合:若已知则事件的条件概率为此式定义了随机变量

关于

的条件分布。例如：前面例中的随机取数问题，对于一般随机向量(,)，我们也想定义条件分布函数,

但是由于会出现，因此我们定义特别对于有连续密度函数的场合，这定义导出2.连续型场合:类似地，在给定的条件下，的分布密度函数为因此在给定的条件下，的条件密度函数为

这里当然也要求：当条件分布函数为例二元正态分布的条件分布仍然是正态分布，即例:若(,)服从单位圆上的均匀分布,在=x的条件下

的条件分布?故:|=x

~U四、随机变量之间的独立性定义设是概率空间上的n个随机变量,如果他们的联合分布函数等于各自边缘分布函数之积，即则称相互独立。一族无限多个随机变量称作相互独立的，如果其中任意有限个相互独立。定理如果随机变量相互独立，则其中任何一部分随机变量仍独立。

于是，整体独立的多个随机变量是两两独立的，但其逆命题不真。下面，以n=2为例讨论独立性定义的等价形式。定理2

如果(,)为离散型随机向量，则

与

独立定理3

如果(,)

为连续型随机向量，则

与

独立

定理1

随机变量

与

相互独立，当且仅当命题二维正态随机变量相互独立

ρ=0.推论若随机变量

与

独立,则条件分布化为无条件分布:随机向量之间的独立性:其中A,B分别是任意一个n

维和m

维的Borel点集,则称

与

相互独立。定义对于n维随机向量

和m维随机向量

，如果显然，若

与

独立，则

的子向量与

的子向量独立。§3.3随机变量的函数及其分布一、博雷尔函数与随机变量的函数二、单个随机变量的函数的分布三、随机向量的函数的分布四、随机向量的变换五、随机变量的函数的独立性一、博雷尔函数与随机变量的函数定义

设是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均有则称是一元博雷尔(可测)函数。

博雷尔函数是很广泛的一类函数，我们所碰到的大部分函数都是博雷尔函数，例如，所有的连续函数和单调函数都是博雷尔函数。命题

若是概率空间上的随机变量，而是一元博雷尔函数，则是上的随机变量.证明：对一切一元博雷尔点集，有这里,由博雷尔函数的定义知它是一维博雷尔点集，再根据随机变量的定义知上式成立。则称是n元博雷尔(可测)函数.命题

若是概率空间上的随机向量，而是n元博雷尔函数，则是上的随机变量。定义

设是到上的一个映照,若对于一切中的博雷尔点集均有更一般地，n维随机向量的m

个函数这里都是n元博雷尔函数，则得到一个m维随机向量

一般地来说，对于离散性随机变量，求出它的函数的分布并不困难，例如，若

的分布列为则g(

)的分布列可由下法得到，列出当然这里可能有某些相等，把它们作适当并项即可.离散型随机变量的函数的分布表上作业法:更一般场合的方法第三步:将第二部表格中g(xi,yj,)的值相同的项合并,即得g(X,Y)的分布律.离散卷积(convolution)公式:若ξ与η是相互独立的随机变量，它们都取非负整数值，其概率分布为及,下面是的分布:因为利用独立性假定得---独立随机变量和的分布的公式.二项分布的加法定理:

注.

从二项分布的背景很容易理解这一结论:已知ξ～B(m,p),

则ξ表示在m次独立重复试验中事件A出现的次数,p=P(A);已知η

～B(n,p),则

η表示在n

次独立重复试验中事件

A出现的次数.由于ξ与η相互独立,则ξ+η表示在m+n

次独立重复试验中事件A

出现的次数,即ξ+η

～B(m+n,p).若 相互独立,则Poisson分布的加法定理:若ξ～P(λ1),η～P(λ2),且相互独立,则

ξ+η～P(λ1+λ2).二、单个随机变量的函数的分布直接法：Figure:对数正态分布的密度函数Figure-分布例4(分段单调情形）设随机变量X的密度为求Y=sinX

的概率密度.解：随机变量Y=sinX的分布函数为

所以有法二：一般地，若ξ为连续型随机变量，其密度函数为p(x)，而η=g(ξ),我们对下面两种情形进行讨论.

（1）若严格单调，且反函数有连续导函数，则是具有密度函数的连续型随机变量。变换法：注：这里和后面均约定，对使反函数无意义的点y，密度函数定义为0.证明:对于任一实数a

，这里利用了“变量代换”，由上式知结论成立。（2）若在不相重叠的区间上逐段严格单调，其反函数分别为，而且它们均有连续导数，那么是连续型随机变量，其密度函数为因此结论成立。证明:给定实数a，.

显然诸不相交，且例如：若

服从N(0,1),计算

2

的密度函数。这恰为自由度为n=1的分布,或

(0.5,0.5).解：每个R上的严格单调的连续函数F(x)都有唯一的反函数F-1(x),反函数与F(x)有相同的单调性和连续性.分布函数只有非降性和左连续性，需要将反函数的概念加以推广。定义:称为分布函数F(x)的单调逆。1.分布函数的单调逆函数

均匀分布的应用(x*,y*)(x’,y’)分布函数的单调逆函数的性质：（1）当F(x)是严格上升的连续函数时，它的单调逆就是普通的反函数。（2）单调不降。当F(x)在点连续时等号成立，反之不真。严格不等号有时成立.推论对任意给定的，有（5）在任意点处均右连续。2.均匀分布的特殊地位命题1

设随机变量

的分布函数为F(x),且F(x)为连续函数,则

=F()服从[0,1]上的均匀分布。命题2

设F(x)为分布函数,

服从[0,1]上的均匀分布,则随机变量以F(x)为分布函数。证明:对任意的，有证明:对任意的，有随机变量的存在性定理:定理:若F(x)

是左连续的单调不减函数,且，，,则存在一个概率空间及其上的随机变量，使的分布函数正好为。三、随机向量的函数的分布律则若，而的密度函数为更进一步, 的密度函数为

和的分布

定理.设 的密度函数为 则的密度函数为特别地,当 相互独立时,习惯上,函数 的卷积定义为所以,当 相互独立时,有

商、差、积的分布定理.设