2026年河南省北师大版高中数学必修第三册第4章函数性质习题

2026年河南省北师大版高中数学必修第三册第4章函数性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，下列关于其单调性的说法正确的是（）A.f(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增B.f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增C.f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减D.f(x)在整个实数域上单调递增2.函数g(x)=|x-2|+|x+1|的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.若函数h(x)=sin(x+α)在x=0处取得最大值，则α的可能取值是（）A.kπ+π/2（k∈Z）B.kπ-π/2（k∈Z）C.2kπ+π/2（k∈Z）D.2kπ-π/2（k∈Z）4.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-2，则实数a的取值范围是（）A.a≤1B.a≥3C.a≤1或a≥3D.1<a<35.函数y=log₃(2x-x²)的定义域为（）A.(0,2)B.[0,2]C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)6.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-27.函数y=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值是（）A.4B.5C.6D.78.若函数f(x)=x²+px+q的图象开口向上且关于y轴对称，则f(x)在区间[-2,2]上的最小值是-1，则q的值为（）A.-1B.0C.1D.29.函数y=2cos²(x-π/4)-1在[0,2π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.510.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则方程f(x)=1在区间[-1,3]上的实数解的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3的单调递增区间为________。2.函数g(x)=|x-1|+|x-3|的最小值是________。3.若函数h(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称，则φ的可能取值为________（k∈Z）。4.函数y=log₅(x²-5x+6)的定义域为________。5.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处的极值为________。6.函数y=|x+1|+|x-2|在区间[-2,2]上的最大值是________。7.若函数f(x)=x²+ax+b在x=1处取得极小值-2，则a+b的值为________。8.函数y=3sin²(x)-4sin(x)+1在[0,2π]上的最大值是________。9.函数f(x)=x³-3x+2的图象与直线y=1的交点个数为________。10.函数y=|x-1|+|x+1|的单调递减区间为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在实数域上单调递增。2.函数g(x)=|x|在(-1,1)上单调递减。3.函数h(x)=sin(x+π/2)在整个实数域上单调递增。4.函数y=log₃(x²-2x+1)在(1,+∞)上单调递增。5.函数f(x)=x²-4x+4在(-∞,2)上单调递减。6.函数y=|x-2|+|x+2|在(-∞,-2)上单调递减。7.函数f(x)=x³-3x+2在(-∞,+∞)上存在两个极值点。8.函数y=cos²(x)-sin²(x)在[0,π/2]上单调递减。9.函数f(x)=x²-2x+1在(1,+∞)上单调递增。10.函数y=|x-1|+|x-3|在(1,3)上单调递增。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。2.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。3.求函数h(x)=sin(2x-π/3)在[0,π]上的单调递增区间。4.求函数y=log₂(x²-3x+2)的定义域。5.求函数f(x)=x³-3x+1在x=2处的极值。6.求函数y=|x+1|+|x-1|的单调递增区间。7.若函数f(x)=x²+ax+b在x=1处取得极小值0，求a²+b²的值。8.求函数y=2cos²(x-π/4)-1在[0,2π]上的零点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=x²-6x+5（x为产量），求该函数的最小值及取得最小值时的产量。2.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。若某乘客乘坐出租车行驶了x公里（x>3），求出租车费用y关于x的函数关系式，并求该函数的最小值。3.某函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象在x=π/4处取得最大值，周期为π，求φ的可能取值。4.某函数g(x)=log₃(x²-mx+1)的定义域为(0,+∞)，求实数m的取值范围。5.某函数h(x)=x³-3x+2在x=1处的极值为a，求a的值。6.某函数y=|x-1|+|x-3|在区间[0,4]上的最大值与最小值分别为b和c，求b+c的值。7.某函数f(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极小值，求a的值。8.某函数y=3sin²(x)-4sin(x)+1在[0,2π]上的最大值与最小值之差为d，求d的值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0。故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。2.C解析：g(x)=|x-2|+|x+1|表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3。3.A解析：sin(x+α)在x=0处取得最大值，即sin(α)=1，故α=kπ+π/2（k∈Z）。4.C解析：f(x)=(x-a)²+3-a²。对称轴为x=a。当a∈[1,3]时，f(x)在[1,3]上的最小值为f(a)=3-a²=a²-2，解得a=±1。结合a∈[1,3]，得a=3。当a<1时，最小值为f(3)=9-6a+3=a²-2，解得a=1（舍）或a=3。当a>3时，最小值为f(1)=1-2a+3=a²-2，解得a=1（舍）或a=3。综上，a=3。5.A解析：2x-x²>0，即x(2-x)>0，解得0<x<2。6.A解析：f'(x)=3x²-a。由题意，f'(1)=0，即3-a=0，得a=3。7.C解析：y=|x-1|+|x+2|在[-3,-2]上单调递减，在[-2,1]上单调递增，在[1,3]上单调递增。最大值为y(-3)=6。8.A解析：f(x)=x²+px+q关于y轴对称，则p=0。f(x)在[-2,2]上的最小值为f(0)=q=-1。9.C解析：y=2cos²(x-π/4)-1=cos(2x-π/2)。令cos(2x-π/2)=0，得2x-π/2=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/4（k∈Z）。在[0,2π]上，x=π/4,3π/4,5π/4,7π/4，共4个零点。10.B解析：f(x)=x³-3x²+2。f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1,f(0)=2,f(2)=0,f(3)=2。由f(-1)<0,f(0)>0,f(2)<0,f(3)>0，知方程f(x)=1在(-1,0),(0,2),(2,3)上各有一个解，共2个解。二、填空题1.[2,+∞)解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)≥0得x≥2。2.2解析：g(x)=|x-1|+|x-3|表示数轴上点x到点1和点3的距离之和，最小值为3-1=2。3.kπ+π/4（k∈Z）解析：sin(2x+φ)关于y轴对称，即sin(2x+φ)=sin(-2x-φ)，得2x+φ=kπ+(-2x-φ)，即4x=kπ-2φ，对任意x成立，需kπ-2φ=0，即φ=kπ/2-π/4。4.(2,3)解析：x²-5x+6>0，即(x-2)(x-3)>0，解得x<2或x>3。5.-2解析：f'(x)=3x²-3。f'(1)=0，f''(1)=6>0，故x=1处取得极小值f(1)=1-3+1=-2。6.3解析：y=|x+1|+|x-2|在[-2,-1]上单调递减，在[-1,2]上单调递增，在[2,2]上单调递增。最大值为y(-2)=3。7.-3解析：f'(x)=2x+a。由题意，f'(1)=0，即2+a=0，得a=-2。f(1)=1+a+b=-2，得a+b=-3。8.4解析：y=3sin²(x)-4sin(x)+1=3(sin(x)-2/3)²-1/3。当sin(x)=2/3时，y取得最大值4。9.2解析：f(x)=x³-3x+2。f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=5,f(1)=-1。由f(-1)>1,f(1)<1，知方程f(x)=1在(-∞,-1)和(1,+∞)上各有一个解，共2个解。10.(-∞,-1]解析：y=|x-1|+|x+1|在(-∞,-1]上单调递减。三、判断题1.√解析：f'(x)=3x²>0，故f(x)在实数域上单调递增。2.×解析：g(x)=|x|在(-1,1)上单调递减，但不是严格单调递减，因为g(0)=0=g(1)，不满足严格递减的定义。3.×解析：sin(x+π/2)=cos(x)，cos(x)在实数域上不单调。4.×解析：x²-2x+1=(x-1)²，故y=log₃((x-1)²)=2log₃|x-1|。在(1,+∞)上，y=2log₃(x-1)单调递增。5.√解析：f(x)=(x-2)²在(-∞,2)上单调递减。6.√解析：y=|x-2|+|x+2|在(-∞,-2]上单调递减。7.√解析：f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=4,f(1)=0。由f(-1)>0,f(1)<0，知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上各有一个极值点。8.×解析：y=cos²(x)-sin²(x)=cos(2x)。cos(2x)在[0,π/2]上单调递减。9.√解析：f(x)=(x-1)²在(1,+∞)上单调递增。10.√解析：y=|x-1|+|x-3|在(1,3)上单调递增。四、简答题1.解：f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0。故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。2.解：g(x)=|x-1|+|x-3|表示数轴上点x到点1和点3的距离之和，最小值为3-1=2。当x∈[1,3]时，g(x)取得最小值2。3.解：y=sin(2x-π/3)。令2x-π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]（k∈Z），得x∈[kπ-π/12,kπ+5π/12]（k∈Z）。在[0,π]上，单调递增区间为[0,π/12]和[5π/12,π]。4.解：x²-3x+2>0，即(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2。故定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。5.解：f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0得x=±1。f(2)=8-12+2=-2。f'(x)在x=2左侧为负，右侧为正，故x=2处取得极小值-2。6.解：y=|x+1|+|x-1|在(-∞,-1]上单调递减，在[-1,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递增。故单调递增区间为[-1,+∞)。7.解：f'(x)=2x+a。由题意，f'(1)=0，即2+a=0，得a=-2。f(1)=1+a+b=0，即1-2+b=0，得b=1。a²+b²=(-2)²+1²=5。8.解：y=2cos²(x-π/4)-1=cos(2x-π/2)。令cos(2x-π/2)=0，得2x-π/2=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/4（k∈Z）。在[0,2π]上，x=π/4,3π/4,5π/4,7π/4，共4个零点。