电路与模拟电子技术课件 第4章-1 正弦稳态电路的分析

第四章正弦稳态电路的分析第一节

正弦量的基本概念第二节

正弦量的相量表示法第三节单一元件伏安关系的相量形式第四节基尔霍夫定律的相量形式第五节R、L、C串联电路的相量分析及、

复阻抗第六节R、L、C并联电路的相量分析及

复导纳第七节无源二端网络的等效复阻抗与复

导纳第八节正弦交流电路的相量分析法第九节正弦交流电路中的功率第一节

正弦量的基本概念

在电工技术中，常用到大小和方向随时间按一定规律周期性变化的交变电流，简称“交流”。

正弦交流电，一般指随时间按正弦规律周期性变化的电压、电流和电动势，又称为正弦量。

正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期T，它的SI单位为秒（s）；每秒时间内重复变化的次数，称为频率f，它的SI单位为赫兹（Hz）。频率是周期的倒数，即一、正弦量的三要素

正弦量在每一瞬间的数值叫瞬时值，用小写字母u、i、e表示。以正弦电流为例，正弦电流的瞬时值解析式为

式中

振幅值Im、角频率ω、初相位ψ称为正弦量的三要素。

1、振幅

正弦量各瞬时值中的最大值叫振幅，也叫幅值，也叫峰值，用字母Im表示。正弦量在一个周期内会两次达到最大值，只是方向相反，即+Im和-Im，正、负号表示电流的方向相反。2、角频率

角频率ω是指正弦量每秒时间内变化的弧度，它的SI为弧度/秒（rad/s）。

T、f和

ω都能反映正弦波变化的快慢，三者的关系为

我国采用50Hz的频率作为交流电源的工业标准频率，称为工频，它的周期T=0.02s，角频率为

。

确定一个正弦量必须要知道正弦量的三个要素：振幅、角频率、初相位。3、初相位1）相位角

电角度（ωt+ψ）称为相位角，简称相位。代表了正弦交流电的变化进程，说明正弦量在任意时刻的状态位置。

当t=0时的相位角称为初相位或初相角，用ψ表示。规定：由负值向正值变化之间的一个零点叫做正弦量的零值，则正弦量的初相位便是由正弦量的零值到计时起点（坐标原点t=0）之间的电角度。

若正弦量以零值为计时起点（坐标原点），则初相ψ=0；若零值在坐标原点左侧，则初相ψ>0；若零值在坐标原点右侧，则初相ψ<0。习惯上规定ψ的绝对值不超过180°，即

。2）初相位或初相角

同一正弦量，所选参考方向不同，瞬时值异号，解析式也异号，并且【例】已知选定参考方向下正弦量的波形图如图所示，试写出正弦量的解析式。解

二、同频率正弦量的相位差

两个同频率正弦量之间的相位之差。规定：1）超前、滞后，i1超前i2变化（或i2滞后i1）。，i1滞后i2变化（或i1超前i2）。2）同相、反相，i1与i2同相位变化。，i1与i2反相位变化。3）正交，i1与i2正交变化。

根据相位差判定相位关系：三、正弦交流电的有效值

正弦量的大小工程上规定用有效值来表示。

有效值是根据正弦电流和直流电流的热效应相等来规定的。交流电流i通过电阻

R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同的时间内产生的热量相等，则这个直流电流

I的数值叫做交流电流

i的有效值，用大写字母表示，如

I、U等。设

即：振幅为Im

大小的正弦量

i在能量等效上与0.707Im

大小的直流量I效果相等。

即：振幅为Em、Um、Im

大小的正弦量在能量等效上与0.707Em、0.707Um、0.707Im

大小的直流量效果相等。人们通常所说的220V、380V电气设备名牌上所标注的电压、电流值一般交流电表测量的数值有效值

解【例】已知，求该正弦电流的频率、周期、振幅和初相位。

【例】已知正弦电压的频率为50Hz，其波形如图所示，求其瞬时值解析式，当t=0.025s时，电压多大？

解【例】已知，问：（1）i1与

i2的相位差等于多少？（2）哪个超前？哪个滞后？

解i1滞后

i2的160o电角。【例】已知，求最大值和有效值。

解第二节

正弦量的相量表示法

正弦量的三种表示法：解析式、波形图、相量。解析式：波形图：含三要素

解析式和波形图用于直观地表达正弦量，但是用于计算交流电路时很麻烦，因此将正弦量用相量表示，按复数的运算规则进行运算，然后将计算结果表示成正弦量。此为相量法。

复数和复数运算是相量表示法的基础。一、复数及运算1、复数

1）复数的代数式形式

共轭复数2）复数的极坐标形式：模：辐角：2、复数的四则运算1）加减运算：2）乘除运算：【例】将下列复数写成极坐标形式。【例】将下列复数写成代数形式。【例】已知，，求

解

需将A化成代数形式【例】已知，，求

解

需将B化成极坐标形式

二、正弦量的相量表示法相量复数极坐标最大值（有效值）模初相角辐角j（-j）90o(-90o)将正弦电流可写成复数极坐标形式：用复数的极坐标形式表示的正弦量，称为正弦相量，简称相量。

称为有效值相量，

称为最大值相量。习惯上规定【例】写出下列正弦量的有效值相量，并画出相量图。

注意：只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

用复数表示正弦量时，复数和正弦量之间只是对应关系，不是相等关系。第三节单一元件伏安关系的相量形式

电阻元件、电感元件及电容元件是交流电路中的基本电路元件。在正弦稳态电路中，它们的电压、电流都是同频率的正弦量，一、电阻元件伏安关系的相量形式1、电阻元件的电压电流关系设：uR、iR关联参考方向，则：大小关系：相位关系：

可见，①电阻元件上的电压与电流为同频率的正弦量；②电压与电流的有效值关系服从欧姆定律

；③在关联参考方向下，电阻元件上的电压与电流同相位。2、电阻元件电压、电流的相量关系或二、电感元件伏安关系的相量形式1、电感元件的电压电流关系设：uL、iL关联参考方向，则：大小关系：相位关系：可见，电感元件上的电压与电流为同频率的正弦量；电压与电流的有效值关系为；在关联参考方向下，电感元件的电压相位超前电流相位或。2、电感元件电压、电流的相量关系称为感抗。称为感纳。

感抗表示电感元件对电流的阻碍作用。感抗越大，欧姆越大，电流越小。

※电感量L

一定时，XC

∝ω（f）

：

①

f

→0（直流），XL

→0，电感元件在直流稳态电路中相当于短路。通直流。

②

f越大，XL

越大

。阻交流。3、感抗故有：三、电容元件伏安关系的相量形式1、电容元件的电压电流关系设：uC、iC关联参考方向，则：大小关系：相位关系：可见，电容元件上的电压与电流为同频率的正弦量；电压与电流的有效值关系为；在关联参考方向下，电感元件的电压相位滞后电流相位或。2、电容元件电压、电流的相量关系称为容抗。称为容纳。3、容抗故有：或

容抗表示电容元件对电流的阻碍作用。容抗越大，欧姆越大，电流越小。

※电容量C

一定时，XC

∝1/

f

：

①

f

→0（直流），XL

→∞，电容元件在直流稳态电路中相当于断路。隔直流。

②

f越大，XC

越小

。通交流。【例】电感L=20mH，计算它在50Hz和500Hz频率下的感抗。计算结果说明了什么？

解说明在L一定时，频率越高，感抗越大，电流越小，电感元件通直阻交。【例】一个C=100μF的电容，先后接于f1=50Hz和f2=60Hz的电源上，计算在上述两种情况下的XC。

解说明在C一定时，频率越高，容抗越小，电流越大，电容元件通交隔直。KCL的瞬时解析式形式：KCL的相量形式：KVL的瞬时解析式形式：KVL的相量形式：或或第四节

基尔霍夫定律的相量形式一、KCL的相量形式二、KVL的相量形式【例】电路中已知电流表A1

、A2的读数均为5A，求电路中电流表A的读数。

解设端电压

电流参考方向如图所示，则对节点a：【例】电路中已知电压表V1

、V2、V3的读数均为50V，求电路中电压表V的读数。

解设端电压电流、电压参考方向如图所示，则第五节

R、L、C串联电路的相量分析及复阻抗一、R、L、C串联电路伏安关系的相量形式1、R、L、C串联电路的电压设各元件电压、电流关联参考方向如图所示。由KVL：相量形式：称为电抗2、复阻抗

在关联参考方向下，复阻抗等于端口电压相量与端口电流相量的比值，即

复阻抗

Z简称为阻抗，单位是欧姆（Ω），它是电路的一个复数参数，而不是正弦量的相量。R、L、C串联电路的复阻抗为

极坐标形式表示为

阻抗模阻抗角

※单一元件

R

、L

、C

的复阻抗：电阻元件的阻抗：电感元件的阻抗：电容元件的阻抗：二、R、L、C串联电路的特性分析1、电感性电路2、电容性电路

当

，则，，，超前，电路此时是电感性电路。

当

，则，，，滞后，电路此时是电容性电路。

3、电阻性电路

当

，则，，，与

同相位，电路此时是电阻性电路。

【例】一R

、L、C

串联电路，其中R=15Ω，L=60mH，C=25μF，外加电源，求：1）复阻抗Z，并确定电路的性质；2），并汇出相量图。

解1）是电感性电路。2）第六节

R、L、C并联电路的相量分析及复导纳1、R、L、C并联电路的电流设各元件电压、电流关联参考方向如图所示。由KCL：相量形式：称为电纳一、R、L、C并联电路伏安关系的相量形式2、复导纳

在关联参考方向下，复阻抗等于端口电流相量与端口电压相量的比值，即

复导纳

Y简称为导纳，单位是西门子（S），它是电路的一个复数参数，而不是正弦量的相量。R、L、C并联电路的复导纳为

极坐标形式表示为

导纳模导纳角单一元件

R

、L

、C

的复导纳：电阻元件的导纳：电感元件的导纳：电容元件的导纳：二、R、L、C并联电路的特性分析1、电容性电路2、电感性电路

当

，则，，，超前，电路此时是电容性电路。

当

，则，，，滞后，电路此时是电感性电路。

3、电阻性电路

当

，则，，，与

同相位，电路此时是电阻性电路。

解

求：1）复导纳Y，并确定电路的性质；

2），并汇出相量图。【例】在R

、L、C

并联电路中，已知R=10Ω，XL=15Ω，XC=8Ω，外加电压，f=50Hz。是电容性电路。2）第七节

无源二端网络的等效复阻抗与复导纳一、复阻抗的串联与并联1、复阻抗串联电路

电流和电压的参考方向如图所示。由KVL：Z为串联电路的等效阻抗

即串联电路的等效复阻抗等于各串联复阻抗之和。2、复阻抗并联电路

电流和电压的参考方向如图所示。由KCL：Y为串联电路的等效导纳

即并联电路的等效复导纳等于各并联复导纳之和。二、复阻抗与复导纳的等效变换复导纳：复阻抗：

同一二端网络的复阻抗和复导纳的模互为倒数，阻抗角和导纳角互为相反数。复阻抗复导纳：复导纳复阻抗：一、瞬时功率1、电阻元件瞬时功率第九节

正弦交流电路中的功率

交流电路中，任一瞬间，元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率，用小写字母p表示，即

在电阻元件中，电压与电流同相，设

，则瞬时功率为

电阻元件的瞬时功率以电源频率的两倍作周期性变化，但始终大于或等于零。这说明电阻元件是耗能元件，除了电流为零的瞬间，电阻元件总是吸收功率的。2、电感元件瞬时功率设

，则瞬时功率为

电感元件的瞬时功率也是时间的正弦函数，其频率为电源频率的两倍。在第一个1/4周期，u、i方向一致，瞬时功率p为正值，表示电感元件在吸收能量，并把吸收的能量转化为磁场能量加以储存。在第二个1/4周期，u、i方向相反，瞬时功率p为负值，表示电感元件在提供能量，把储存的磁场能量释放出来

。

随着电压、电流的交变，电感不断的进行着能量的交换。3、电容元件瞬时功率设

，则瞬时功率为

电容元件的瞬时功率同样是以两倍电源频率随时间变化的正弦函数。在第一个1/4周期，u、i方向相反，瞬时功率p为负值，表示电容元件在提供能量，把储存的电场能释放出来。在第二个1/4周期，u、i方向相同，瞬时功率p为正值，表示电容元件在吸收能量，并把吸收的能量转换为电场能加以储存。

随着电压、电流的交变，电容不断的进行着能量的交换。

※如果电容和电感通过的电流同相位，则当电容吸收能量时，电感恰恰在释放能量。4、无源二端网络的瞬时功率

二端网络的端口电压u和端口电流i的参考方向如图所示，设

端口电压为

二端网络的阻抗角

网络吸收的瞬时功率为

当u、i瞬时值同号时，p为正值，二端网络从外电路吸收功率；当u、i瞬时值异号时，p为负值，二端网络向外电路提供功率。瞬时功率有正有负的现象说明在外电路和二端网络之间有能量的交换，这种现象是由储能元件造成的。

功率p>0的部分大于p<0的部分，说明二端网络吸收的能量多于释放的能量，即网络与外电路交换能量的同时，由于电阻元件的存在也要消耗一部分能量。二、平均功率（有功功率）

瞬时功率p在一个周期内的平均值称为平均功率，用大写字母P表示

平均功率又称为有功功率。

二端网络的平均功率为P为二端网络的平均功率，它的SI单位为瓦（W）。

为端口电压电流之间的相位差，称为电路的功率因数，

又称为功率因数角，它等于二端网络的阻抗角。

说明：电阻是耗能元件；电容和电感不消耗能量，是储能元件。

对于R、L、C二端网络，电路的平均功率等于电阻的平均功率。这是因为电路中只有电阻是耗能元件，电感和电容都是储能元件，它们只进行能量的交换而不消耗能量。电阻：电感：电容：

※单一的R、L、C元件，其消耗的有功功率为：

二端网络的平均功率为它的SI单位为瓦特（W）。二端网络与外部一般会有能量的交换，能量交换的规模用无功功率来衡量，无功功率定义为三、无功功率它的SI单位为乏尔（var）。电阻：电感：电容：