桂林学院《高等数学》课件-第2章函数

第二章函数

2.1

函数—变量相依关系的数学模型2.2

函数的几种简单几何性质2.3

反函数2.4

初等函数2.5

经济学中的常用函数2.6

案例讨论与数学建模

桂林学院《高等数学》【学习目标】1.

函数的概念，定义域和函数值。

2.

理解函数的主要性质。

3.

六类基本初等函数。4.

分段函数、反函数………

5.

数学模型。第二章函数2.1

函数-变量相依关系的数学模型1.

函数的定义

设在某变化过程中存在两个变量x和y，若当变量x，在某一实数范围D内任取一个数值时，按照一定的对应规律f，变量都有惟一确定的值与之对应，则称变量y是定义在数集D上的变量x的函数，记作

第二章函数2.

函数的两个要素

函数的对应规律f

和定义域

D(f)称为函数的两个要素。

两函数相同的充分必要条件是其定义域D(f)

、对应规律f分别相同。

2.1

函数-变量相依关系的数学模型例1

判断下列各对函数是否相同

（1）

与

解：两函数的定义域与值域都相同，但对应法则不同，不是同一函数。

2.1

函数-变量相依关系的数学模型解：两函数的定义域不相同，不是同一函数。

解：两函数的定义域不相同，不是同一函数。

（2）

与

（3）

与

2.1

函数-变量相依关系的数学模型

习题1

已知线段AB=a（a为常数），点C是AB任意一点，记AC=x，则CB=a-x，以CA,CB为邻边作一矩形，试写出矩形面积y与x的函数关系，并求出其定义域。

2.1

函数-变量相依关系的数学模型课堂练习确定函数

的定义域。

解：

这是求两个函数之和的定义域，其方法是先分别求出每个函数的定义域，然后求其公共部分即可

的定义域必须满足

而

的定义域必须满足

这两个函数的定义域的公共部分是：即写成区间为：

2.1

函数-变量相依关系的数学模型如何求对应法则

例5

设是一个特定函数，

确定的对应规律为：

2.1

函数-变量相依关系的数学模型3.函数的表示法（1）表格法（2）图像法（3）公式法2.1

函数-变量相依关系的数学模型案例2.2

周末旅游问题

某人周末骑车到离家20公里的海边度假，上午8点他以12公里/小时的速度匀速前进。半小时后，他发现未带相机，便以18公里/小时匀速速度原路返回，在家停留10分钟，找到相机后，以15公里/小时的匀速速度继续前进，请用尽可能多的方法表示此人离家的距离。2.1

函数-变量相依关系的数学模型

解：以t表示此人离开家的时间（单位：10分钟），s表示此人离开家距离（单位：公里），t与s的函数可用三种方法表示如下：（1）表格法t1234567891011121314s2463002.557.51012.51517.520定义域为：D（）=[0，14]

2.1

函数-变量相依关系的数学模型（2）公式法

设s表示路程（公里），t表示时间（以10分钟为1个单位），则s与t的关系可表示为：2.1

函数-变量相依关系的数学模型（3）图像法根据上述列表法及公式法，很容易画出其图像2.1

函数-变量相依关系的数学模型2.2

函数的几种简单几何性质

1．函数的奇偶性

（2）若对所有的x∈D

，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。

设D是关于原点的对称区间，函数f(x)在区间D上有定义，

（1）若对所有的x∈D

，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；第二章函数2．函数的单调性

设函数f(x)在区间I上有定义，对于区间内的任意两点x1<x2

（1）如果总有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；区间I称为函数f(x)的单调增加区间；

（2）如果总有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的；区间I称为函数f(x)的单调减少区间；2.2

函数的几种简单几何性质3．函数的周期性

设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在不为零的正数T，使得对于任意的x+T∈I

，且满足f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，称T是它的一个周期。

2.2

函数的几种简单几何性质4．函数的有界性

设f(x)为定义在区间D上的函数，若对于充分大的正数M，使得对任意的x∈D，总有|f(x)|≤M，则f(x)称在区间D上是有界函数，否则，称f(x)是无界函数。2.2

函数的几种简单几何性质2.3

反函数

定义：设已知函数y=f(x)的定义域为D(f)，值域为Z(f)，若对每一个y∈Z(f)

，D(f)中只有一个x值，使得f(x)=y成立，这就以Z(f)为定义域确定了一个函数，这个函数就称为y=f(x)函数的反函数，记作第二章函数

反函数的定义域就是直接函数的值域；反函数的值域就是直接函数的定义域；直接函数与反函数通常称为互为反函数。反函数的求法：

由方程解出，得到；将函数中的和分别换成和，这样得到反函数。

反函数的性质：

2.3反函数2.4

初等函数1．六类基本初等函数反三角函数

常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数第二章函数（1）常量函数a2.4初等函数（2）幂函数2.4初等函数（3）指数函数且

2.4初等函数（4）对数函数且

2.4初等函数（5）三角函数正弦函数

余弦函数

正切函数

余切函数

正割函数

余割函数

2.4初等函数正弦函数

余弦函数

2.4初等函数正切函数

余切函数

正割函数与余割函数，它们分别是余弦函数与正弦函数的倒数，即2.4初等函数（6）反三角函数反正弦函数

反余弦函数

反正切函数

反余切函数

2.4初等函数反正弦函数

反余弦函数

2.4初等函数反正切函数

反余切函数

2.4初等函数2．初等函数（1）复合函数

定义2.7

已知两个函数y=f(u)，u∈D1，y∈Z1，u=Q(x)，x∈D2，u∈Z2，若则称函数y=f[Q(x)]是由函数y=f(u)和u=Q(x)经过复合而成的复合函数。通常称y=f(u)是外层函数，称u=Q(x)是内层函数，称u为中间变量。

2.4初等函数例7

写出下列函数的复合结果

（1）

因为的定义域，的值域

解:

所以，这两个函数可以组成复合函数，其复合结果为

（2）

2.4初等函数例8

已知下列复合函数，试写出其复合过程

（1）

解：

由外层函数向内层函数分解

可看作是由

复合而成的

，

，

，

（2）

（3）

习题：2.4初等函数（2）初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合步骤所构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则，就是非初等函数。

2.4初等函数（3）显函数、隐函数及分段函数

显函数是指因变量能直接用自变量的表达式表示出来的函数。

隐函数是指因变量与自变量的对应规则是用一个方程F(x,y)=0表示的函数。

分段函数是指函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式，在图像上表现为不同的图形。

2.4初等函数典型的分段函数

1）绝对值函数定义域

值域

2）取整函数，

，

定义域

值域

（为整数集合）

2.4初等函数3）符号函数定义域

值域

4）狄里赫列函数定义域

值域

2.4初等函数案例

怎样合理避税--10万元收入先发与后发都一样吗?

根据最新修订的《中华人民共和国个人所得税法（修正案）》规定：个人工资，薪金所得应当缴纳个人所得税。从2006年1月1日起，应纳税所得额的计算为：工资，薪金所得以每月收入额减去1600元后的余额（注：这里未考虑社会保险、医疗保险、住房公积金），每个人纳税税率由表所示：2.4初等函数个人所得税税率表（工资，薪金所得）

级数全月应纳税所得额（超出1600元的数额）税率1不超过500元的部分5%2超过500元到2000元的部分10%3超过2000元到5000元的部分15%4超过5000元到20000元的部分20%5超过20000元到40000元的部分25%6超过40000元到60000元的部分30%7超过60000元到80000元的部分35%8超过80000元到100000元的部分40%9超过100000元的部分45%2.4初等函数

某事业单位研究员王先生是一位难得的优秀人才，单位承诺他的年收入将不低于10万元，王先生每月的基本工资为3000元。每年，王先生都要承担一项周期性较长的研究项目，单位对王先生每月的工作难以量化考核，遂按每月3000元的基本工资发放，这样连续发了11个月，王先生仅得到3.3万元的工资收入。到第12个月，王先生恰好把项目的所有工作做完，并通过验收。于是，该单位按10万元最低收入的承诺一次性发给王先生6.7万元的差额作为王先生12月份的工资收入。结果造成王先生12月份的纳税款额急剧升高。该单位领导认为：10万元的收入，先发还是后发，实质是一样的，果真如此吗？2.4初等函数

如果该单位前11个每月先发给王先生工资7000元，而在12月份再将另外的2.3万元发给王先生，这样，单位发给王先生的工资总额仍为10万元，但对王先生来说，其实际收入将大不一样，为什么？哪种发放形式更能让王先生合理避税？2.4初等函数解：设某人工资和薪金总计x元，应纳的税款y元

按照税法规定，当元时，不必纳税，所以，这时；当元时，纳税部分是元，税率为5%，这时应纳的税款为；当元时，其中1600元不纳税，500应纳5%的税，即5005%=25（元），再多的部分即（元）按照10%纳税，他应当交纳的税款为：，……，2.4初等函数可以列出下面的函数关系：

2.4初等函数（1）若采用第一种方式发放1）王先生前11个月应纳税款计算

由于，王先生每月应纳税款为

这样，王先生前11个月共纳税款为1265元

元

2）王先生12月份工资应纳税款计算由于，王先生每月应纳税款为

这样王先生全年应纳税款为元

元

2.4初等函数（2）若采用第二种方式发放1）王先生前11个月应纳税款计算

2）王先生12月份工资应纳税款计算由于，王先生每月应纳税款为

这样，王先生前11个月共纳税款为7755元

元

元

由于，王先生每月应纳税款为

这样王先生全年应纳税款为元

显然，第二种方式可以合理避税6050元

2.4初等函数2.5

经济学中的常用函数

1．单利与复利

利息，是货币的拥有者让渡货币的使用权所获得的报酬，也叫货币的时间价值。

单利是指在存期不止一个计息周期的情况下，计算利息的本金均按初始本金计算，这种计息方式称为按单利计息。

复利是指在存期不止一个计息周期的情况下，每期计算利息的本金均按上一期的本利和作为基数，这种计息方式称为按复利计息。

第二章函数设有初始本金为P元，存期为n年，银行的年利率为r（1）按单利计算利息…………第一年末本利和为

第二年末本利和为

第n年末本利和为

2.5经济学中的常用函数设有初始本金为P元，存期为n年，银行的年利率为r（2）按复利计算利息…………第一年末本利和为

第二年末本利和为

第n年末本利和为

2.5经济学中的常用函数2．货币的现值、终值与贴现（1）货币的现值与终值1）按单利计算利息第n年末的终值为

2）按复利计算利息

第n年末的终值为

2.5经济学中的常用函数（2）贴现由货币的终值求现值的方法就称之为贴现。

假设在n年内，银行的存款利率为r，那么n年后的R元钱的现值P=？1）按单利计算：

2）按复利计算：

2.5经济学中的常用函数3．供给函数和需求函数

需求函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系。

供给函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系。

2.5经济学中的常用函数4．成本函数、收益函数与利润函数（1）成本函数是指商品生产者或经营者以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出。

产品成本可分为固定成本和可变成本。

固定成本是在一定时期内一次投入、多次使用，费用支出不随产量变化而变化的那部分成本。

可变成本是指随产量的变化而变化的成