第五章 突破2 天体的追及相遇问题 双星与多星模型 导学案 -2027届高考物理二轮复习

微点突破：天体的追及相遇问题--双星与多星模型

【目标要求】

1.会分析天体的追及相遇问题。2.掌握双星、多星模型，会解决

相关问题。

考点一：天体的追及相遇问题

【例1】如图所示，当火星、地球和太阳位于同一直线上，且火星与地球的距离

达到最近时，称为“火星冲日”。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆周

运动，已知地球公转半径为R,公转周期为T,连续两次出现“火星冲日”现

象的时间间隔为下列说法正确的是()

/.....、、、火星

//―、•,、

:/地球\

::•；:

\\太阳

\\、、一//

、、、・—一―✓/

"---

A.火星绕日运动的周期为另

B.火星绕日运动的周期为弟

C火星绕日运动的半径为cj(2)2

D.火星绕日运动的半径为K溶产

答案D

解析由几何关系得北守片2兀

11火

解得了火=三,A、B错误。

t-1

3R3

由开普勒第三定律得与=占

1'火

解得R"R小三，c错误，D正确。

【例2】（2025•四川卷・6）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自

转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随

时间变化的规律如图所示，丁为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速

圆周运动，地球质量为引力常量为G。则该卫星轨道半径为（）

迦

醺

>

夔

解析设卫星转动的周期为「，根据题意可得，每隔J卫星转过的圈数比地球自转

多1圈，即其中可得根据万有引力提供向心力*=*方，

可得尸借，代入呜，可得片离，故选A。

C总结提升

天体“追及”问题的处理方法

L相距最近：两同心转动的卫星（小〈加）同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同

侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：（助\・

的六2兀或力朽1。

2,相距最远：两同心转动的卫星(，AV「B)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异

侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(WA-

或二・二=：。

TATB2

3•若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意

初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。

考点二：双星或多星模型

1.双星模型

⑴绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即*3m//口，

Gm-im.77

———二加232

L

②两星的周期、角速度相同，即乃二72,切产S2。

③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为n+r2=Lo

0讨论交流

⑴若两星运行的线速度大小分别为口、也，加速度大小分别为防、。2,质量分别为

机1、机2,则八。与轨道半径八两星质量的关系怎样？

答案由机M2r尸机2。2r2,得巴=口■=股，由及如切2r产机2”2r2得

v2r2mi

a2r2mi

(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(，力+机2)的关系怎样？

22323

A/rntj.Gmim?4n4nprzeLG(mi+m2)-F4HL

答案由一£^二如亍尸产'"27^2及D+/2=L，得花=-^—或加1+机2=与"。

【例3】天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星

系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。

假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕。点做圆周运动，在双星系统外、与双

星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到。、A连线的

距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G,下列说法正确的是（）

A.a、b的线速度之比为3：4

B.a的角速度大于b的角速度

C.a的质量为笔算

Gt。

D.b的质量为喷£

答案c

解析双星系统中，两颗星体的角速度相同，周期相同，B错误。

由题图可知，a、b的中心和0、A连线的距离从零到最远所用时间为四分之一个周

期，可知该双星系统的周期为2%，a的中心与。、A连线的最大距离为4xo,b的中

心与0、A连线的最大距离为3xo,可得，a：n）=4：3,由线速度可知a、b

22

的线速度之比为va•Vb=4:3,A错误。由题意可知ma（ora=mi）（orh,可得

颂："2b=3：4,对b由万有引力提供向心力可知如）1~八尸碎誉，L=ra+n）,解得

，%=今等，如尸与等，C正确，D错误。

GtoGto

2.多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各

星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：

Gm2GMm

常见的'、RR：①3)2+R2=初〃向

\、,■

三星模

型L-：\

，',，久\Xcos30°X2=ma向

，'/O'、、、'、

小♦:..........

/、索1(D^-Xcos

MY

常见的X…二卷

小印=的向

m.…一452

四星模

(2)^-Xcos

型

/火\

，”工二.。二:3"30°X2+喏=ma向

(同

【例4】（2024•重庆卷・7）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置

不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为相距为2,，其连线的中

点为。，另一天体（图中未画出）质量为3W<M），若c处于a、b连线的垂直平

分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且

相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G,贝！1（）

A.c的线速度大小为a的板倍

B.c的向心加速度大小为b的一半

C.c在一个周期内的路程为2nr

D.c的角速度大小为怪

Y8rz

答案A

解析a、b、c三个天体角速度相同，由于机则对a天体有6^^=4/切2〃解

得回二悟故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为。，对c天

2t

体有2G曹2cosa=mco-^—,解得a=30°,则c的轨道半径为rc=——=^3rf由

（麻/tanatan30

y=w可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由〃二切2r可知c的向心加速度

大小是b的6倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2元底=2V^rr,故C

错误。

1跟踪训练

1.如图所示，同一轨道平面上有两颗绕地球做匀速圆周运动的卫星P和Q,其

中卫星P是地球同步卫星，卫星Q的周期是地球自转周期的一半，已知地球表

面的重力加速度为g,地球的半径为R,自转周期为T,引力常量为G。贝！1()

卜j

A.卫星P和Q的轨道半径之比为2：1

B.卫星Q一定始终在赤道上方

C.地球的质量为"=含

D.P和Q从相距最近到相距最远经历的最短时间为力

答案D

解析万有引力提供向心力，有隼♦挣

得r=J富，P、Q的周期之比为2：1,可得轨道半径之比为游：1,故A错误。

地球同步轨道与赤道平面可以有夹角，当夹角为零时，该同步轨道又称为地球静止

轨道，所以地球同步卫星不一定在赤道平面内，卫星P、Q所在轨道平面不一定是

赤道平面，故B错误。

不考虑地球自转的影响，对地球表面的物体有噜=m喏，可得地球的质量为

M=4，故C错误。

G

设P、Q从相距最近到最远至少经过AZ,有coQ^t-cop\t=n

即”A咛卬=九，解得Aug故D正确。

2TT2

2.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好

运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星

冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。根据表中信

息，可以判断（）

地球火星木星土星天王星海王星

轨道半径K/AU1.01.55.29.51930

A.火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年

B.某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象

C.天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半

D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长

答案A

R3R3[R3

解析根据开普勒第三定律有三二骂，解得行星的公转周期为T行=7\六，根据

r行/地[”地

表格中数据计算出火星、木星、土星、天王星、海王星的周期分别为■萨年

=1.84年,丁木二V5.23年=11,86年,7土=，9.53年=29.28年,丁天二71^年Q82.82

年，丁产百福年F64.32年，设相邻两次冲日的时间间隔为力则有善4»2九，解

丁地丁行

T7

得仁广计算出火星、木星、土星、天王星、海王星相邻两次冲日的时间间隔

丁行一丁地

分另寸为，火Q2.19年,，木21.09年,，土=1.04年,1天~1.01年,，海21.006年,可知

火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年，故A正确；结合上述可知，所有行星相邻

两次冲日的时间间隔均超过1年，一年内不可能出现两次冲日，故B错误；结合上

述可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔（L01年）并非土星相邻两次冲日的时间间

隔（1.04年）的一半，故C错误；结合上述可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最

短（约1.006年），故D错误。

3.（多选）（2024•浙江宁波市期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等

的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测

到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图所示）：一种是三颗星位于同一

直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为K的圆轨道上运行；另一种形式是三

颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设这三颗星的质量