2026年四川省部编版高三数学第六章数列应用练习题

2026年四川省部编版高三数学第六章数列应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，若该数列的前n项和为S_n，则S_10的值为（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，得S_10=10/2[6+93/2]=150，故选B。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前5项和b_1+b_2+...+b_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。因此b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前5项和为(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^5-1)=2^1+2^2+...+2^5-5=32-5=27，故选A。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的通项公式c_n为（）A.3^n-3^(n-1)B.3^(n-1)C.23^(n-1)D.3^n解析：当n=1时，c_1=S_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=3^n-3^(n-1)。验证n=1时成立，故c_n=3^n-3^(n-1)，选A。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的前6项积d_1d_2...d_6的值为（）A.1296B.7776C.46656D.279936解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54，得6q^2=54，解得q=3。前6项积为d_1d_2...d_6=(d_2/d_1)^3d_2^3=(6/d_1)^36^3=216/d_1^3。又d_1=d_2/q=6/3=2，故积为216/8=27，选B。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：当n=1时，e_1=T_1=2。当n≥2时，e_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。验证n=1时成立，故e_n=2n，e_4=8，故选C。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=3f_n+2（n∈N），则该数列的第6项f_6的值为（）A.729B.731C.733D.735解析：由递推关系f_n+1=3f_n+2，变形为f_n+1+1=3(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列。因此f_n+1=23^(n-1)，f_n=23^(n-1)-1。f_6=23^5-1=489，故选A。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，a_5+a_9=30，则该数列的前10项和S_10的值为（）A.150B.180C.210D.240解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，代入得2a_5=18，2a_7=30，解得a_5=9，a_7=15。公差d=(a_7-a_5)/2=3。前10项和S_10=10/2[2a_1+9d]=5[2a_1+27]=210，故选C。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列的通项公式h_n为（）A.2^n-1B.2^(n-1)C.2^n-2^(n-1)D.2^(n-1)-1解析：当n=1时，h_1=U_1=1。当n≥2时，h_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^(n-1)-1。验证n=1时成立，故h_n=2^(n-1)-1，选D。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则该数列的前7项和S_7的值为（）A.126B.128C.130D.132解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8，得2q^2=8，解得q=2。前7项和S_7=2(1-q^7)/(1-q)=2(1-2^7)/(-1)=126，故选A。10.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n+1（n∈N），则该数列的前4项和j_1+j_2+j_3+j_4的值为（）A.20B.22C.24D.26解析：由递推关系j_n+1=2j_n+1，变形为j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。因此j_n+1=2^n，j_n=2^n-1。前4项和为(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)=30，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=45，则该数列的前9项和S_9的值为________。解：由等差数列性质a_1+a_5+a_9=3a_5，代入得3a_5=45，解得a_5=15。前9项和S_9=9/2[2a_1+8d]=9/2[2a_1+8(a_5-a_1)/4]=9/2[2a_1+2(a_5-a_1)]=9/2[2a_1+30-2a_1]=135。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的通项公式b_n为________。解：由递推关系b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列。因此b_n=23^(n-1)。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2n^2+n，则该数列的第四项c_4的值为________。解：当n=1时，c_1=T_1=3。当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=4n-1。验证n=1时成立，故c_n=4n-1，c_4=15。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_3=16，则该数列的公比q为________。解：由等比数列性质d_3=d_2q，代入d_2=4，d_3=16，得4q=16，解得q=4。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n=3^n-1，则该数列的第三项e_3的值为________。解：当n=1时，e_1=U_1=2。当n≥2时，e_n=U_n-U_(n-1)=3^n-3^(n-1)=23^(n-1)。验证n=1时成立，故e_n=23^(n-1)，e_3=18。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=2f_n-1（n∈N），则该数列的第六项f_6的值为________。解：由递推关系f_n+1=2f_n-1，变形为f_n+2=2(f_n+1)-1，即{f_n+2}是首项为5，公比为2的等比数列。因此f_n+2=52^(n-1)，f_n=52^(n-1)-2。f_6=52^4-2=78。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则该数列的公差d为________。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，代入得2a_6=20，解得a_6=10。公差d=(a_8-a_4)/4=(a_6+2d-a_6)/4=2d/4=d/2，故d=0。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+n+1，则该数列的第五项h_5的值为________。解：当n=1时，h_1=V_1=3。当n≥2时，h_n=V_n-V_(n-1)=2n+1。验证n=1时成立，故h_n=2n+1，h_5=11。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_4=81，则该数列的公比q为________。解：由等比数列性质i_4=i_1q^3，代入i_1=1，i_4=81，得q^3=81，解得q=3。10.已知数列{j_n}满足j_1=5，j_n+1=j_n+2（n∈N），则该数列的前6项和j_1+j_2+j_3+...+j_6的值为________。解：由递推关系j_n+1=j_n+2，即{j_n}是首项为5，公差为2的等差数列。前6项和S_6=6/2[25+(6-1)2]=42。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。验证n=1时成立，故a_n=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列，正确。2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，a_5+a_7=2a_6，故a_5+a_7=2(a_5+2d)=2a_5+4d，不能推出a_5+a_7=20，错误。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+1（n∈N），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系c_n+1=c_n+1，即{c_n}是常数列，常数列既是等差数列（公差为0），也是等比数列（公比为1），正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q为3。（）解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54，得6q^2=54，解得q=3，正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的通项公式e_n=2n。（）解：当n=1时，e_1=T_1=2。当n≥2时，e_n=T_n-T_(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，正确。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10=100。（）解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入得2a_5=18，解得a_5=9。前10项和S_10=10/2[2a_1+9d]=5[2a_1+27]，无法确定S_10=100，错误。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n（n∈N），则该数列的前5项积g_1g_2g_3g_4g_5=32。（）解：由递推关系g_n+1=2g_n，即{g_n}是首项为1，公比为2的等比数列。前5项积为g_1g_2g_3g_4g_5=2^02^12^22^32^4=2^10=1024，错误。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则该数列的前6项和S_6=126。（）解：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8，得2q^2=8，解得q=2。前6项和S_6=2(1-q^6)/(1-q)=2(1-2^6)/(-1)=126，正确。9.已知数列{j_n}的前n项和U_n=3^n-1，则该数列的第四项j_4的值为8。（）解：当n=1时，j_1=U_1=2。当n≥2时，j_n=U_n-U_(n-1)=3^n-3^(n-1)=23^(n-1)。验证n=1时成立，故j_n=23^(n-1)，j_4=18，错误。10.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则该数列的公差为2。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入得2a_5=20，解得a_5=10。公差d=(a_9-a_1)/8=(a_5+4d-a_5)/8=d/2，故d=0，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-T_(n-1)=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的公比q。解：由等比数列性质b_4=b_1q^3，代入b_1=3，b_4=81，得3q^3=81，解得q=3。3.若数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1（n∈N），求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列。因此c_n+1=32^(n-1)，c_n=32^(n-1)-1。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=18，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入得2a_5=18，解得a_5=9。公差d=(a_7-a_3)/4=(a_5+2d-a_5)/4=d/2，故d=0。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，求该数列的第四项e_4。解：当n=1时，e_1=T_1=3。当n≥2时，e_n=T_n-T_(n-1)=2n+1。验证n=1时成立，故e_n=2n+1，e_4=9。6.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_6=64，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质i_6=i_1q^5，代入i_1=1，i_6=64，得q^5=64，解得q=4。前5项和S_5=1(1-q^5)/(1-q)=31。7.若数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=j_n+3（n∈N），求该数列的第六项j_6。解：由递推关系j_n+1=j_n+3，即{j_n}是首项为2，公差为3的等差数列。j_n=2+3(n-1)=3n-1，j_6=16。8.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入得2a_5=20，解得a_5=10。前10项和S_10=10/2[2a_1+9d]=5[2a_1+27]，无法确定S_10的值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第五年的产量。解：由等比数列性质，公比q=1+10%=1.1，首项a_1=100。第五年产量a_5=1001.1^4≈161.05万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：公差d=(a_5-a_1)/4=(14-2)/4=3。前10项和S_10=10/2[22+93]=330。3.若数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2+n，求该数列的第六项b_6。解：b_6=T_6-T_5=26^2+6-[25^2+5]=71-55=16。4.在等比数列{i_n}中，若i_1=3，i_4=243，求该数列的公比q。解：由等比数列性质i_4=i_1q^3，代入i_1=3，i_4=243，得3q^3=243，解得q=3。5.已知数列{j_n}满足j_1=5，j_n+1=j_n+2（n∈N），求该数列的前8项和j_1+j_2+...+j_8。解：由递推关系j_n+1=j_n+2，即{j_n}是首项为5，公差为2的等差数列。前8项和S_8=8/2[25+(8-1)2]=72。6.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入得2a_5=20，解得a_5=10。公差d=(a_7-a_3)/4=(a_5+2d-a_5)/4=d/2，故d=0。7.若数列{c_n}的前n项和U_n=n^2+n+1，求该数列的第五项c_5。解：c_5=T_5-T_4=25^2+5-[24^2+4]=55-36=19。8.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54，得6q^2=54，解得q=3。前6项和S_6=6(1-q^6)/(1-q)=186。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A4.B5.C6.A7.C8.D9.A10.A二、填空题1.1352.23^(n-1)3.154.45.186.787.08.119.310.42三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.×10.×四、简答题1.a_n=4n-1解：当n=1时，a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-T_(n-1)=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1。2.q=3解：由等比数列性质b_4=b_1q^3，代入b_1=3，b_4=81，得3q^3=81，解得q=3。3.c_n=32^(n-1)-1解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列。因此c_n+1=32^(n-1)，c_n=32^(n-1)-1。4.d=0解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入得2a_5=18，解得a_5=9。公差d=(a_7-a_3)/4=(a_5+2d-a_5)/4=d/2，故d=0。5.e_n=2n+1解：当n=1时，e_1=T_1=3。当n≥2时，e_n=T_n-T_(n-1)=2n+1。验证n=1时成立，故e_n=2n+1。6.q=