2027年高考数学一轮复习(创新设计)第3节　不等式及其性质

第3节不等式及其性质课标要求1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a(2)作商法a2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);(6)可开方性:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n1.真分数的性质若a>b>0,m>0,则ba<bba>b−ma−2.倒数性质(1)ab>0,a>b⇔1a<1(2)a>b>0,d>c>0⇒ac>b1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a>b⇔ac3>bc3.()(2)a=b⇔ac=bc.()(3)若ab>1,则a>b(4)a<x<b<0⇒1b<1x<答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)由不等式的性质,ac3>bc3⇏a>b;反之,c≤0时,a>b⇏ac3>bc3.(2)由等式的性质,a=b⇒ac=bc;反之,c=0时,ac=bc⇏a=b.(3)a=-3,b=-1,则ab>1,但a<b2.(人教A必修一P43T8改编)(多选)下列命题为真命题的是()A.若ac2>bc2,则a>bB.若a>b>0,则a2>b2C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a<b<0,则1a>答案ABD解析C中,若a=-2,b=-1,则a2>ab>b2,故C错误.其余均为真命题.3.(苏教必修一P53例3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为.

答案M>N解析M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.4.(人教B必修一P81习题2-2BT3改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是.

答案(-5,-1)解析由b∈(2,3)得-6<-2b<-4,又1<a<3,故-5<a-2b<-1.考点一比较两个数(式)的大小例1(1)若实数m,n,p满足m=4e35,n=5e23,A.p<m<n B.p<n<mC.m<p<n D.n<p<m(2)已知M=e2025+1e2026+1,N=e2026+1e答案(1)A(2)M>N解析(1)因为实数m,n,p满足m=4e3n=5e23,p=则m>0,n>0,p>0,所以mn=4e355e23=4又mp=4e3518e2=29所以p<m<n.(2)法一M-N=e2025+1=(=e=e2025∴M>N.法二令f(x)=e=1e(ex+1显然f(x)是R上的减函数,∴f(2025)>f(2026),即M>N.感悟提升比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.训练1(1)(多选)下列不等式中正确的是()A.x2-2x>-3(x∈R)B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)C.a2+b2>2(a-b-1)D.ab<a+2026b+2026((2)已知c>1,且x=c+1-c,y=c-c−1,则x,A.x>yB.x=yC.x<yD.x,y的关系随c而定答案(1)AD(2)C解析(1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2-2x>-3,故A正确;a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定,∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误;∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;用作差法比较得a+2026b+2026-a∵b>a>0,∴2026(b∴ab<a+2026b+2026,(2)法一由题设,易知x>0,y>0,又xy=c+1−cc−c−1法二设f(x)=x-x−1,定义域为[1,+∞则f(x)=1x+x−1,故f(又c+1>c>1,则f(c+1)<f(c),即x<y.考点二不等式的基本性质例2(1)(多选)(2026·株洲模拟)已知a>b>0>c,则下列各选项正确的是()A.ba<b−ca−C.ab−c>ba−c D.a(2)(多选)(2026·聊城联考)下列命题中的真命题是()A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2B.若a<b,则a3<b3C.若c>a>b>0,则ac−D.若ln(a+2)<ln(b+2),则1a<答案(1)AC(2)BC解析(1)由a>b>0>c,得ba-b−ca−则ba<b−c取a=2,b=1,c=-3,满足a>b>0>c,而1a+c=-1<-12=由a>b>0>c,得a-c>b-c>0,则1b−c>1a−c>0,故取a=2,b=1,c=-3,满足a>b>0>c,而a+cb=-1<-12=b+ca(2)当c=0时,ac2=bc2,故A错误;由a<b,函数f(x)=x3为增函数,所以a3<b3,故B正确;由c>a>b>0,得0<c-a<c-b,所以1c−a又a>b>0,所以ac−a因此ac−a>bc−由ln(a+2)<ln(b+2),得0<a+2<b+2,即-2<a<b,当a=1,b=2时,1a<1b不成立,故D感悟提升解决此类题目常用的三种方法:(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;(2)利用特殊值排除法;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.训练2(1)(多选)若1a<1A.1a+b<1ab B.|C.a-1a>b-1b D.lna2>ln(2)(2026·绵阳诊断)下列四个条件中,使a>b成立的充要条件是()A.a>b B.|a|>bC.a2>b2 D.2a>2b答案(1)AC(2)D解析(1)由1a<1b<0,可知b<A中,因为a+b<0,ab>0,所以1a+b<0,1ab>0,则1a+bB中,因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;C中,因为b<a<0,又1a<1则-1a>-1b>0,所以a-1a>b-1b,D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上单调递增,所以lnb2>lna2,故D错误.(2)当a=1,b=-1时,a>b成立,但b无意义,故a>b不是a>b成立的必要条件,故A错误;当a=-2,b=1时,满足|a|>b,但a>b不成立,所以|a|>b不是a>b成立的充分条件,故B错误;当a=-3,b=1时,a2>b2成立,但a>b不成立,所以a2>b2不是a>b成立的充分条件,故C错误;由y=2x在R上单调递增,可得2a>2b是a>b成立的充要条件,故D正确.考点三不等式性质的应用例3(1)(多选)(2026·大庆调研)已知1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是()A.3<x+2y<9 B.-1<x-y<3C.2<xy<18 D.12<x(2)(2026·淮南段考)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是()A.−92,C.52,15答案(1)CD(2)C解析(1)因为2<y<3,所以4<2y<6,因为1<x<6,所以5<x+2y<12,故A错误;因为2<y<3,所以-3<-y<-2,因为1<x<6,所以-2<x-y<4,故B错误;因为1<x<6,2<y<3,所以2<xy<18,故C正确;因为2<y<3,所以1<y-1<2,所以12<1又1<x<6,所以12<xy−1<6,故D正确(2)设2x-3y=m(x+y)+n(x-y),则2x-3y=(m+n)x+(m-n)y,即m所以由0<x+y<5,2<x-y<3,可得-52<-12(x+y)<0,5<52(x-y则-52+5<-12(x+y)+52(x-y即52<2x-3y<152,感悟提升利用不等式性质求代数式的取值范围的注意点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.训练3(多选)(2026·西安调研)已知-2≤a+b≤4,2≤a-b≤6,则下列结论正确的是()A.0≤a≤5 B.-4≤b≤1C.-8≤3a+2b≤17 D.ab的最大值为5答案AB解析根据题意,-2≤a+b≤4,①2≤a-b≤6,②则①+②得0≤a≤5,A正确;由②得-6≤b-a≤-2,与①相加得-4≤b≤1,故B正确;设3a+2b=x(a+b)+y(a-b),则3a+2b=(x+y)a+(x-y)b,即x则3a+2b=52(a+b)+12(a-结合①②可得-4≤3a+2b≤13,故C错误;由①可得0≤(a+b)2≤16,即0≤a2+2ab+b2≤16,由②可得4≤(a-b)2≤36,即4≤a2-2ab+b2≤36,则-36≤-a2+2ab-b2≤-4,所以-9≤ab≤3,故D错误.故选AB.一、单选题1.若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的是()A.a>bB.a<bC.a≥bD.a,b的大小关系不确定答案B解析因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a<b.2.已知a,b∈R,若a>b,1a<1A.ab>0 B.ab<0C.a+b>0 D.a+b<0答案A解析因为1a<1所以1a-1b=又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.3.(2026·宁波九校联考)下列命题为真命题的是()A.若a<b<0,则a2<ab<b2B.若a>b>0,则ac2>bc2C.若1a<1b,则aD.若a>b>c>0,则ab>答案D解析对于A,a<b<0,取a=-2,b=-1,则a2=4,ab=2,b2=1,则a2>ab>b2,故A是假命题;对于B,当c=0时,ac2=bc2,故B是假命题;对于C,取b=1,a=-1,满足1a<1b,但a<b,故C对于D,由a>b>c>0,得a+cb+c-ab=c(b−a)b4.已知ab=1,M=11+a+11+b,N=a1+a+A.M>N B.M<NC.M=N D.无法确定答案C解析法一∵M-N=1−a1+a+1−b1+且ab=1,∴M-N=0,∴M=N.法二∵ab=1,∴b=1a∵M=11+a+11+1aN=a1+a+1a1+1a=a1+a法三由题意知,M=11+a+11+b=abab+a+ab5.(2026·北京海淀区模拟)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列不等式正确的是()A.ab>c B.abc>1C.c+2b<a D.a+c>2b答案D解析由题图可得-1<a<-12,-12<b<0,12<c<1,所以12<-a<1,0<-则0<ab<12<c,故A错误0<abc<12,故B错误因为-12<b<0,所以-1<2b又12<c<1,所以-12<c+2又-1<a<-12,所以c+2b>a,故C错误因为-1<a<-12,12<且由题图可知|a|<|c|,即-a<c,所以0<a+c<12,又-1<2b所以a+c>2b,故D正确.6.(2026·北京大兴统考)在一次调查中,某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系:甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和,甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和,丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和,则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为()A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁答案A解析设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a,b,c,d,a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,根据题意得a显然d>b,d>c,由②+①可得a>d,由②-①可得b>c,故a>d>b>c,即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.7.(2026·河南名校联考)若c>a>b>0,则下列不等式成立的是()A.abbc>acbb B.2lnb>lna+lncC.a-ca>b-cb D.logac>log答案C解析对于A,因为c>a>b>0,所以abb-c<0,则abbcac所以abbc<acbb,故A错误;对于B,由c>a>b>0得lnb<lna<lnc,则lna-lnb+lnc-lnb>0,可得2lnb<lna+lnc,故B错误;对于C,因为c>a>b>0,所以cb>ca>0,-cb<又b<a,所以a-ca>b-cb,故C对于D,若c=1,则logac=logbc=0,故D错误.二、多选题8.已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则()A.-1<x<2 B.-2<y<1C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3答案ABD解析x=15[(x+2y)+2(2x-y)]∈(-1,2),故A正确y=25(x+2y)-15(2x-y)∈(-2,1),故Bx+y=3(x+2y)+(2x−y)x-y=−(x+2y)+3(2x−y)9.(2026·南通部分学校联考)已知实数a,b满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确的是()A.a>2b B.a>2b+1C.a>b-1 D.2a>b2-b+1答案ACD解析对于A,b2+1-2b=(b-1)2≥0,所以b2+1≥2b,又a>b2+1,所以a>2b,故A正确;对于B,取a=2.5,b=1,满足a>b2+1,但a<2b+1,故B错误;对于C,(b2+1)-(b-1)=b−122+74>0,则a>b2+1>b-对于D,由a>b2+1,得2a>2b2+2,因为(2b2+2)-(b2-b+1)=b2+b+1=b+12所以2a>2b2+2>b2-b+1,故D正确.故选ACD.三、填空题10.已知0<β<α<π2,则α-β的取值范围是答案0,解析∵0<β<π2,∴-π2<-又0<α<π2,∴-π2<α-β<又β<α,∴α-β>0,即0<α-β<π211.(2026·郑州调研)如果x<0,0<y<1,那么y2x,yx,1x答案y2x>y解析法一因为三个式子的值很明显都是负数,且y2xyx=y∈(0,1),所以同理yx1x=y∈(0,1),所以y综上,1x<yx<法二因为y2x-yx所以y2x>因为yx-1x=所