《第3章 圆的基本性质》能力卷-浙教版数学九上单元测试卷

《第3章圆的基本性质》能力卷-浙教版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则五边形BCDEP的面积是（）A．12 B．123 C．18 D．2．如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上的一个动点(与A，B不重合)，D，E分别在弧AC，弧BC上，且AD=CD,BE=CE,BD与A．12 B．1 C．22−23．如图，AB为圆O的弦，C是弧AB的中点，连结AC并延长，OB是⊙O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC.给出下列结：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则BDA．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错4．如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC，CD交于E，F两点，若BE与EF的长之比为1:2，则BD的长为（）A．π B．109π C．875．如图，在菱形ABCD中，∠D=60°，AB=4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC.当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为()A．83π−23+2 B．86．如图，已知A，B，C，D是⊙O上依逆时针顺序排列的四个点，且满足AB+CD=180°，设弦BC=x，AD=y，若⊙O的半径为10，则在xA．x+y B．xy C．x2+y7．如图所示，PG过点O，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.有下列结论：①AB=CD；②AB⏜=CD⏜；③PO=PE；④A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，在⊙O中，直径AB=10，CD⊥AB于点E，CD=8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设A．8<m≤45 B．45<m≤10 C．8<m<89．如图，正六边形ABCDEF的半径为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．4π B．8π C．233π10．如图，海岸线AB=63km，经过A、B的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为6km，船A．∠ACB≥60° B．∠ACB≤60° C．∠ACB＞60° D．∠ACB＜60°二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，直线l1//l2，直线m交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，圆弧交l2于点C，交l1于点D、E，若∠ABE=55°，AB=6，则CD的长为.12．如图，在半径为4的⊙O中，P为OA的中点，C，D为⊙O上两点，PC⊥PD，连接CD，则CD的最大值为.13．如图，⊙O是边长为23的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为．14．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，C为AB的中点，连接OA，OB，AC，BC，以C为圆心，AC长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是．15．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，CD=2CB，E是直径AB上一个动点.已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是16．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若AC∥OB，且OC=8，AB=10，则BC=.三、解答题（共6题，共72分）17．【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”.（1）【探究】如图①，已知▱ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形.以下是小明的部分证明过程：证明：□ABCD是十字架四边形，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形.∵□ABCD为圆内接四边形，……（2）【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）.（3）【拓展】如图③，四边形ABCD，为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD。∠BOC与∠AOD的和为度；（4）若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为.18．某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形.乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形.（1）判断甲乙两位同学的结论()A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．两位同学都正确 D．两位同学都错误（2）如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于圆O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大.以下是他的证明思路：根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断△AOD的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少?（3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，OA=3，OD=4，矩形ABCD的两边AB和CD分别为同心圆的两条弦.请你求出矩形ABCD面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少?19．综合与探究【问题情境】如图①，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦AB, AC, AD构成的图形称为“爪形A”，弦AB, AC, AD称为“爪形A”的爪．（1）【猜想证明】如图②，四边形ABCD内接于⊙O, AB=BC，连接BD．①试判断圆中是否存在“爪形D”，并说明理由；②若∠ADC=120°，延长DC至点E，使CE=AD，连结BE．试猜想AD, CD, BD之间的数量关系，并说明理由；（2）【深入探究】如图③，若AD⊥DC，直接写出“爪形D”的爪AD, BD, CD之间的数量关系．20．【问题探究】（1）如图1，△ABC内接于⊙O，AB=BC，点D为劣弧AC⏜上任意一点（点D不与点A、C重合），连接AD、BD、CD，点D在运动的过程中始终有BD=AD+DC，求∠ABC【问题解决】（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形ABCD进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为⊙O上的点，AB=BC，2BD=AD+DC，请问该四边形ABCD的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCD21．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且∠ACP=45°．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过（1）判断△ABP的形状，并说明理由；（2）已知AB=8,AM=2①求四边形AMBC面积的最大值；②求PD的长.22．⑴已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.⑵依已知条件和⑴中的结论解答问题：(Ⅰ)如图②，若点C在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；(Ⅱ)如图③，若点C在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系.⑶如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连结OC，P是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠BPD的度数可能为(写出一个即可).

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA、OF、OP、BF，根据正六边形的性质可得，S△ABF=S∴S△ABF∵P是EF的中点，∴S△FBP∴S△ABF∵阴影部分四边形ABPE的面积为9，即S△ABF∴S△ABF取DE的中点Q，连接BQ、BD，则S△CDB∴五边形BCDEP的面积是4×9故答案为：C．【分析】先求出S△FBP=S2．【答案】C【解析】【解答】解：连接DO,∵AD=CD,∴AD∴∠AOD=∠COD,∵∠AOD+∠COD+∠BOE+∠COE=180°，∴∠DOC+∠COE=90°=∠DOE，∴∠DAE=∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠APB=∠ADB+∠DAE=135°，作△ABP的外接圆，记为⊙H，连接HA,∴HA=HP=HB，∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，∴∠HAP+∠HBP=∠HPA+∠HPB=∠APB，∴∠AHB=360°−2∠APB=90°，∵HA=HB，∴△HAB为等腰直角三角形，∴AB=H∴HP=HA=22∵∠AHB=90°，O为AB的中点，∴HO=1∵OH+OP≥PH，∴OP≥PH−OH=22∴当点P在线段HO延长线上时，OP取得最小值为22故选：C．【分析】连接DO,CO,OE，根据弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理得到∠DAE=12∠DOE=45°，即可得到∠APB=135°，作△ABP的外接圆，记为⊙H，连接HA,HO3．【答案】A【解析】【解答】解：连接OC交AB于点F，如图则OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵C是弧AB的中点，∴CA=BC，OC垂直平分∴AC=BC,∠FBC=∠A，∴∠FBC+∠OCB=90°，∵BE⊥OB，交AC的延长线于点D，∴∠DBC+∠OBC=∠OBE=90°，∴∠DBC=∠FBC，若∠A=30°，则∠DBC=∠FBC=∠A=30°，∴∠ABO=∠OBE−∠DBC−∠FBC=30°，∴∠A=∠ABO，∴AD∥OB，故①正确；若AB=2BD，∵AB=2BF，∴2BD=2BF，∴BD=BF，在△BCD和△BCF中，BD=BF∴△BCD≌△BCF(SAS)，∴∠BDF=∠BFC=90°，∴BD2+C故答案为：A．【分析】连接OC交AB于点F，根据等边对等角得到∠OBC=∠OCB．然后根据CA=BC可得OC垂直平分AB，即可得到∠FBC+∠OCB=90°，由垂直的定义得到∠DBC+∠OBC=∠OBE=90°，即可得到∠DBC=∠FBC．若∠A=30°，可以得到∠ABO=30°，即可得到AD∥OB判断①；若AB=2BD，则有BD=BF，推理得到△BCD≌△BCF，即可得到∠BDF=∠BFC=90°，根据勾股定理得到BD4．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接AE，AF，AC，AC交BD于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG，由题意知AD=AF=AG=AE=AB=2，∴∠ABE=∠AEB，∠ADF=∠AFD，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD，又∵AD=AB，∴△ABE≌△ADFAAS∴∠BAE=∠DAF，设∠BAE=∠DAF=α，则∠ABE=1∴∠ABO=1∵BE与EF的长之比为1:2∴∠FAE=2∠BAE=2α，∴∠BAD=α+2α+α=4α，∴∠BAO=1∵菱形ABCD中AC⊥BD，∴∠BAO+∠ABO=90°，∴2α+45°−1∴α=180∴∠BAD=4α=720∴BD故答案为：C．【分析】连接AE，AF，AC，AC交BD于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG；由同圆半径相等得AD=AF=AG=AE=AB=2，由等边对等角及菱形对角相等得∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD，从而用“AAS”证△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠DAF，设∠BAE=∠DAF=α，根据三角形内角和定理及圆心角、弧弦的关系得∠FAE=2∠BAE=2α，由三角形内角和定理得∠ABE=90°−12α，由菱形对角线平分一组对角，可得∠ABO=12∠ABE=45°−15．【答案】B【解析】【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D=60°,∴∠ABC=∠D=60°,∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，在△APB和△APC中，AB=ACAP=AP∴△APB≌△APC(SSS)，∴∠PAB=∠PAC，∴AE⊥BC,∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE=1在Rt△ABE中，AE=3∴AP=23∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝60⋅π⋅4故选：B．【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质可得△ABC是等边三角形，然后根据SSS得到△APB≌△APC，即可得到∠PAB=∠PAC，进而得到哦啊△BPC是等腰直角三角形，求出AE、PE长，利用S阴影6．【答案】C【解析】【解答】解：如图：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE、CF，∵AB+∴AD+∴∠E+∠F=90°，∵AE,BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，∴AE=BF=20，∴∠E+∠A=90°，∴∠A=∠F，在△ADE和△FCB中，∠A=∠F∠ADE=∠FCB=90°∴△ADE≌△FCBAAS∴DE=BC=x，在Rt△ADE中，AD=y,DE=x,AE=20，由勾股定理得：DE2+A∴在x，y值的变化过程中，代数式x2故选：C．【分析】

过点A作⊙O的直径AE，过点B作⊙O的直径BF，再连接DE与CF。结合题意可以得到∠E+∠F=90°，∠E+∠A=90°，因此可推得∠A=∠F，之后就可以根据“AAS”证明△ADE与△FCB全等，得到对应边DE=BC，最后在7．【答案】C【解析】【解答】解：连接OB，OD，PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，

∴OE=OF，∠BEO=∠DFO=90°，AB=2BE，CD=2DF，

又∵OB=OD，

∴Rt△OBE≌Rt△ODF，

∴∠BOE=∠DOF，BE=DF，

∴AB=CD，故①正确；

∴AB^=CD^，故②正确；

∵∠BEO=90°，

∴PE<PO，故③错误；

∵OE=OF，∠BEO=∠DFO=90°，PO=PO，

∴Rt△OPE≌Rt△OPF，

∴PE=PF，∠POE=∠POF，

∴∠BOG=∠DOG，

∴GB^=GD^，故④正确；

∵【分析】连接OB，OD，即可根据HL得到Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OPE≌Rt△OPF，进而得到∠BOE=∠DOF，BE=DF，PE=PF，∠POE=∠POF，根据垂径定理判断①；根据弧、弦‘圆心角的关系判断②④，根据垂线段最短判断③；根据线段的和差判断⑤解答即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接PD,DF,OC,BD,BC，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED=1∵AB=10，∴OC=1∴OE=O∴BE=OE+OB=8．∴BD=B∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴PC=PD．∵m=PC+PF，∴m=PD+PF，∴当D，P，F在一条直线上时，m=PD+PF=DF取最小值，∵8≤DF≤10，∴m=PD+PF=DF最小值8，此时P在E点，F在C点，当P在B点，F在C点时m=PD+PF=BC+BD=85∵点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，∴8<m<85故选：C．

【分析】本题以圆内动点最值为背景，综合考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、轴对称求最值以及三角形三边关系。由CD⊥AB且AB为直径，结合垂径定理得AB垂直平分CD，故PC=PD，将m=PC+PF转化为m=PD+PF。连接DF，根据“两点之间线段最短”或三角形两边之和大于第三边，当D，P，F共线时PD+PF取最小值DF；最大值出现在P与B重合时，此时m=BC+BF，结合勾股定理及圆的对称性可确定m的取值范围。9．【答案】B【解析】【解答】解：如图，作BG⊥AC于点G，

由题可知：AB=BC=AF=EF=4，∠ABC=∠BAF=∠F=6−2×180°6=120°，

∴∠ACB=∠CAB=180°−∠ABC2=30°，

∵BG⊥AC，

∴BG=12AB=2，AC=2AG，

∴AC=2AG=2AB2−BG2=2×23=43，

同理可得：∠EAF=30°，AF=4310．【答案】D【解析】【解答】解：连接AC交⊙O于点D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交⊙O于E，连接AE、BE，如图所示：∵AB=63km，

∴AH=12AB=33，

∵∠OHA=90°，

∴AE=BE，

在Rt△AHE中，EH=OE+OH=9km，由勾股定理可得，AE=AH2+EH2=3km，

∴AE=BE=AB，

∴△AEB是等边三角形，

∴∠AEB=60°，

∴∠ADB=∠AEB=60°，

∵∠ADB是△BCD的一个外角，

【分析】连接AC交⊙O于D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交⊙O于E，连接AE、BE，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得AE=BE=AB，可证明△AEB是等边三角形得到∠AEB=60°，根据圆周角定理可得∠ADB=∠AEB=60°，根据三角形的外角性质可得∠C<60°，进而可得出结论.11．【答案】7【解析】【解答】解：连接AC，

由题意得：AB=AC=AD=AE=6.

∴∠1=∠2=55°.

∵∠BAD为△ABE的外角，

∴∠BAD=∠1+∠2=55°+55°=110°，

∴∠3=180°-∠BAD=70°.

∵l1∥l2，

∴∠3=∠ABC=70°.

∵AB=AC，

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°，

∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=70°，

∴CD⏜=7018012．【答案】2+2【解析】【解答】解：设CD的中点为M，连接PM、OM、OC。

∵PC⊥PD，M为CD的中点，

∴PM=12CD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。

∵M为CD的中点，O为圆心，

∴OM⊥CD（垂径定理）。

在Rt△OMC中，OC=4，

由勾股定理得：OM2+CM2=OC2，又CM=12CD=PM，

∴OM2+PM2=16，

已知P为OA的中点，OA=4，

∴OP=2。

在△OPM中，根据三角形三边关系：PM≤OP+OM，当且仅当O、P、M三点共线，且M在OP的延长线上时，PM取得最大值，此时PM=OP+OM。

将PM=2+OM代入OM2+PM2=16，

OM2+(2+OM)2=16，

OM2+4+4OM+OM2=16，

2OM2+4OM−12=0，

OM2+2OM−6=0，

解得：OM=−1+7（负根舍去），

则PM=2+(−1+7)=1+7，

CD=2PM=2(1+7)=2+27，

因此，CD的最大值为2+27.

故答案为：2+27.

【分析】由PC⊥PD，想到取CD的中点M，利用直角三角形斜边中线的性质，得到PM=12CD，将求CD的最大值问题转化为求PM的最大值问题。由垂径定理，圆心O与CD中点M的连线OM垂直于CD，结合勾股定理，得到OM2+CM2=OC213．【答案】4【解析】【解答】在等边△ABC中，边长为23，其外接圆半径为2，圆心角∠BOC=120°，点D是BC的中点，

因此BD=CD，且∠BDC=120°。

如图，过D作DH⊥BC于H，则BH=12BC=3，∠BDH=60°。

在Rt△BDH中，∠DBH=30°，

设DH=x，则BD=2x，

由勾股定理得x2+(3)2=(2x)2，故答案为：4π【分析】先根据等边三角形外接圆的性质，求出相关线段和角度，再用初中的等腰三角形和勾股定理求出半径，最后用扇形面积公式计算阴影部分面积。14．【答案】2【解析】【解答】解：连接OC、AB交于点D，设⊙O半径为1，∵AC=OC=CB，OA、OB、OC为半径∴△OAC、△OBC为等边三角形，∵AB为弦，OC为半径，∴OC垂直平分AB，在Rt△OAD中，OA=1，∠AOD=OD=12，AD=S四边形12S阴影部分P=S故答案是：23【分析】连接OC、AB交于点D，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得△OAC、△OBC为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分AB，解直角三角形性质可得OD=12，AD=32，AB=2AD=315．【答案】3【解析】【解答】解：连接DO，延长DO至F，使得DO=OF，连接OC、CF、EF、CD，∵D是以AB为直径的半圆O的中点，∴∠AOD=∠BOD=9∴点D、点E关于AB对称，∴DE=EF,∴CE+DE=CE+EF≥CF,当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE=CF的值最小，∵∴∠COD=2∠BOC=6∵CO=OD=OF=1∴△OCD为等边三角形，∠F=∠OCF=30∘∴∠DCF=9∴CF=∴CE+DE的最小值为3∵∴图中阴影部分周长的最小值是3故答案为：3【分析】连接DO，延长DO至F，使得DO=OF，连接OC、CF、EF，当点D、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE=CF的值最小，再根据弧长公式求得CD的长度，便可得阴影部分周长的最小值.16．【答案】2【解析】【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBD=90°，

∵OC=8，

∴CD=2OC=16，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC∥OB，

∴∠OCA=∠DOB，∠OAC=∠AOB，

又∵∠OCA=∠OAC，AB=10，

∴∠DOB=∠AOB，

∵AB=10，

∴DB=AB=10，

在Rt△CBD中，BC=BC=CD2−BD2=1617．【答案】（1）∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是正方形.用直尺过圆心画直径BD，以A、C在圆周上的弦AC作线段，保证AC与BD互相垂直，依次连接AB、BC、CD、DA，描粗四条边得到十字架四边形ABCD。

​​​​​​​（3）180（4）3【解析】【解答】解：(3)十字架四边形对角线垂直，同弧所对圆心角为圆周角两倍，对角相加对应平角，可得∠BOC+∠AOD=180度。

(4)十字架四边形有结论AD2+BC2=4R2，

设AD=x，则BC=12−x，

AD2+BC2=x2+(12−x)2，

展开整理为2x2−24x+144，

这是开口向上的二次函数，顶点处取最小值，

x=6时平方和最小等于72，

所以4R2≥72，解得R≥32，

因此⊙O半径最小值为32。

故答案为：32.

【分析】(1)平行四边形加对角线垂直可判定为菱形，圆内接平行四边形对角互补且相等，推出内角为直角，有直角的菱形即为正方形；

(2)先画出圆直径BD，再作AC垂直BD，四点A、B、C、D都在圆上，满足对角线互相垂直且四点共圆，得到十字架四边形；

(3)十字架四边形对角线垂直，利用圆周角与圆心角关系，可推导出∠BOC+∠AOD=180°；

(4)先证明十字架四边形里AD2+BC218．【答案】（1）A（2）解：如图，已知矩形ABCD内接于圆O，连接BD，作AE⊥BD，CF⊥BD，∵∠BAD=90°，∴BD是直径，∴BO=OD，∴S∵矩形ABCD，∴S矩形ABCD即当△AOD面积最大时，矩形ABCD面积最大，∵S△AOD=12×OD×AE∴△AOD面积最大=12×3×3=92，矩形ABCD面积最大=4S△AOD∵AE⊥BD，AE=OD=3，∴△AOD是等腰直角三角形；（3）解：过O作OM⊥AD于M,ON⊥AB于∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴四边形OMAN是矩形，∴OM=AN，∵ON⊥AB，∴AB=2AN=2OM，∵OM=AN=1∴△OAD的面积=1∵矩形ABCD的面积=AD⋅AB，∴S矩形ABCD∴当△OAD的面积最大时，矩形ABCD的面积最大，∵OA,OD为两圆的半径，值恒定，以OD为底时，△OAD的高∴当OA⊥OD时，△OAD的面积最大，此时S△OAD=12×OD×OA=当OA⊥OD时，△AOD的面积=1∴5×OM=3×4，∴OM=12∴AB=2OM=24∴此时矩形的周长=(24【解析】【解答】解：（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；即甲正确，乙错误．故选：A；【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；（2）连接BD，作AE⊥BD，CF⊥BD，可知BD是直径，则S△AOB=S△AOD=12S△ABD，根据矩形的性质可知S矩形ABCD=4S△AOD，即当△AOD面积最大时，矩形ABCD面积最大，由S△AOD=12×OD×AE，OD=3，（3）过O作OM⊥AD于M,ON⊥AB于N，判定四边形OMAN是矩形，得到OM=AN，由垂径定理推出AB=2AN=2OM，求出△OAD的面积=14AD⋅AB，得到S矩形ABCD=4S△OAD19．【答案】（1）解：①存在．理由：∵AB=BC，

∴AB=BC，

∴∠ADB=∠CDB，

∴DB平分圆周角∠ADC，

∴圆中存在“爪形D”；

②AD+CD=BD．

理由：如图，

∵四边形ABCD内接于⊙O, AB=BC

∴∠A+∠DCB=180°，

∵∠ECB+∠DCB=180°，

∴∠A=∠ECB，

∵CE=AD,AB=BC，

∴△BAD≌△BCESAS，

∴∠E=∠ADB，

∵∠ADC=120°，

∴∠E=∠ADB=∠CDB=60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴DE=BD，（2）AD+CD=2【解析】【解答】（2）解：AD+CD=2BD．

理由：如图，延长DC至点E，使得CE=AD，连接BE．

∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°，

∴∠A=∠ECB，

∵圆中存在“爪形D”，且AD⊥DC，

∴∠ADB=∠CDB=12∠ADC=45°，

∴AB=BC，

∵CE=AD，

∴△BAD≌△BCESAS，

∴∠E=∠ADB=∠CDB=45°,BD=BE，

∴△BDE为等腰直角三角形，

∴DE=2BD，

∴AD+CD=2BD．

【分析】本题以圆内接四边形及新定义“爪形”为背景，考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。（1）解：①存在．理由：∵AB=BC，∴AB∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；②AD+CD=BD．理由：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O, AB=BC∴∠A+∠DCB=180°，∵∠ECB+∠DCB=180°，∴∠A=∠ECB，∵CE=AD,AB=BC，∴△BAD≌△BCESAS∴∠E=∠ADB，∵∠ADC=120°，∴∠E=∠ADB=∠CDB=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD，∴AD+CD=CE+CD=BD．（2）解：AD+CD=2理由：如图，延长DC至点E，使得CE=AD，连接BE．∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°，∴∠A=∠ECB，∵圆中存在“爪形D”，且AD⊥DC，∴∠ADB=∠CDB=1∴AB=BC，∵CE=AD，∴△BAD≌△BCESAS∴∠E=∠ADB=∠CDB=45°,BD=BE，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=2∴AD+CD=220．【答案】解：（1）如图3所示，延长DC至E，使CE=AD，连接BE，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠DAB+∠DCB=180∘，

又∵∠DCB+∠BCE=180∘，

∴∠DAB=∠BCE，

在△BAD和△