山东省枣庄市峄城区部分校2025-2026学年高一第二学期6月学情检测数学试题 含答案解析

数学第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则实数的值为（）A.1 B.3 C. D.3.若直线在平面外，则（）A.平面内存在唯一的直线与平行 B.平面内存在唯一的直线与垂直C.平面内存在无数条直线与异面 D.平面内的所有直线与都不相交4.在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°5.袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（）A. B. C. D.156.已知，则（）A. B. C.15 D.7.如图，是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中.以为轴，将旋转一周得到的几何体的表面积为（）A. B. C. D.8.在中，点D是边的中点，，，，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（）A.平均数不变 B.中位数不变C.方差不变 D.极差不变11.如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（）A. B.C.事件与互斥 D.事件与相互独立12.如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，设平面截该正方体所得截面面积为，则（）A.AM//平面B.C.当异面直线与MC1所成角的余弦值为时，S=2D.当的面积最小时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为_____.14.已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.15.在中，是的中点，，，，则的面积为____________．16.已知点是边长为4的正方形内部（包括边界）的一动点，点是边的中点，则的最大值是______；的最小值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数．（1）求；（2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．18.已知a,b,（1）若，且，求坐标；（2）若，且，求与的夹角．19.每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差.20.如图，在四棱锥P−ABCD中，.（1）求证：平面平面；（2）若分别为的中点，求证：平面平面.21.在中，的对边分别为，已知向量，，且.（1）求的大小；（2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积.22.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点．（1）求证：平面PAD；（2）若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论；（3）求二面角的正切值．

数学第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．解答过程：解：化简可得，的共轭复数，故选：B．2.已知向量，，若，则实数的值为（）A.1 B.3 C. D.答案：B解析：思路：利用向量共线的坐标运算即可求解.解答过程：因为，，，所以，则.故选：B3.若直线在平面外，则（）A.平面内存在唯一的直线与平行 B.平面内存在唯一的直线与垂直C.平面内存在无数条直线与异面 D.平面内的所有直线与都不相交答案：C解析：思路：根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.解答过程：因为直线在平面外，所以直线与平面相交或平行，当时，平面内存在无数条直线与平行，故A错误；当时，平面内存在无数条直线与垂直，故B错误；无论直线与平面相交或平行，平面内存在无数条直线与异面，故C正确；当直线与平面相交时，平面内有无数条直线与相交，故D错误.故选：C4.在正方体中，异面直线AC与所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°答案：C解析：思路：首先由可得是异面直线AC和所成角，再由为正三角形即可求解.解答过程：连接．因为为正方体，所以，则是异面直线AC和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线AC与所成角为，故选：C方法提示：本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.5.袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（）A. B. C. D.15答案：A解析：思路：第二次摸到白球的情况有两种：①第一次摸到白球，第二次摸到白球，②第一次摸到红球，第二次摸到白球，由此能求出第二次摸到白球的概率．解答过程：袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到白球的情况有两种：①第一次摸到白球，第二次摸到白球，概率为：，②第一次摸到红球，第二次摸到白球，概率为：，则第二次摸到白球的概率为．故选：A．6.已知，则（）A. B. C.15 D.答案：A解析：思路：利用余弦函数的倍角公式，结合弦化切齐次式求得，再利用正切函数的和差公式求得，从而得解.解答过程：因为，所以，，则.故选：A.7.如图，是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中.以为轴，将旋转一周得到的几何体的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：画出的原图，再分析绕所在直线旋转一周后形成的几何体，求表面积即可.解答过程：如图为的原图，可得，所以，所以以为轴，将旋转一周得到的几何体是为顶点为半径的圆锥，，，所以几何体的表面积为.故选：B.8.在中，点D是边的中点，，，，则AC的值为（）A. B.6 C. D.答案：A解析：思路：由平面向量的数量积与模的关系计算即可.解答过程：如图所示，由题意可得：，即，解之得.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：BC解析：思路：根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐选项判断即可.解答过程：对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，由线面垂直的性质定理，则，故B正确；对于C，若，则或n//α，当时，又，所以，当n//α时，则内必存在一直线，而，则，l⊂α，故，故C正确；对于D，若，则与平行或相交，故D错误，故选：BC.10.已知一组样本数据满足，则去掉后的新数据与原数据相比（）A.平均数不变 B.中位数不变C.方差不变 D.极差不变答案：ABD解析：思路：结合，分别利用平均数、中位数、方差、极差的计算公式逐项判断.解答过程：由得.对于A：的平均数，又的平均数等于，故A正确；对于B：的中位数为，又的中位数为，故B正确；对于C：的方差等于，又的方差等于，故C错误；对于D：与的极差都等于，故D正确.故选：ABD.11.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件和，其中，，，，则（）A. B.C.事件与互斥 D.事件与相互独立答案：AD解析：思路：依题意，计算出与，从而求得对应概率即可判断AB；由判断C；分别计算的值，从而判断D.解答过程：对于A，由，得，则，所以，故A正确；对于B，，所以，故B错误；对于C，与不互斥，故C错误；对于D，，，事件A与相互独立，故D正确.故选：AD.12.如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，设平面截该正方体所得截面面积为S，则（）A.AM//平面B.C.当异面直线与MC1所成角的余弦值为时，S=2D.当的面积最小时，答案：ABD解析：思路：根据面面平行的判定定理得面面平行，再又性质定理判断线面平面，即可判断A；证明正方体的体对角线A1C与平面AB1D1的位置关系，即可判断B；利用异面直线的概念确定异面直线与MC1所成角余弦值大小，确定点的位置，结合相似、梯形面积公式即可求得截面面积S，从而可判断C；根据线面关系确定的面积最小值，即可得点的位置，在根据三角形面积公式求得截面面积解答过程：对于A，如图连接在正方体中，，则四边形BB1D1所以BD//B1D1，又BD⊂平面，平面，所以平面同理可得AD1//BC1，又平面，平面，所以平面因为平面AB1D1，所以平面因为AM⊂平面AB1D1，所以AM//对于B，如图，连接在正方体中，平面，由于AB1⊂平面，所以BC⊥AB1又正方形中有AB1⊥A1B，因为平面，所以AB因为A1C⊂平面，所以，同理可证得，因为平面AB1D1，所以因为AM⊂平面AB1D1，所以对于C，如图，连接因为AD1//BC1，结合图形可得异面直线设，，则，在中，由余弦定理得，所以，则在中，由于，所以余弦定理得，整理得，解得或（舍），则，则如图，延长C1M交于，过作交于，连接，过过作于，由于，所以，所以，即为中点，由于，所以为中点，且，则，四边形是平面截该正方体所得截面，又，，所以，则,故C不正确；对于D，如下图，作，，由于MH⊥平面BCC1B1，面BC又，，所以平面，又平面，所以，设，，则，又，所以，所以，当时，取得最小值，此时的面积最小，则，延长C1M交于，取为的中点，连接，由于，所以，所以，即为中点，显然三角形为平面截该正方体所得截面，又在中，，因为为的中点，所以，且，所以，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为_____.答案：20解析：思路：根据百分位数定义求解.解答过程：给定数据按从小到大顺序排列，共7个数，7×75%=5.25，因此75%分位数是第614.已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.答案：解析：思路：根据平面向量共线定理可设，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可；解答过程：解：因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以，所以m=±12.故答案为：15.在中，是的中点，，，，则的面积为____________．答案：解析：思路：由已知得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，可求得的值，结合三角形的面积公式可求得结果.解答过程：，所以，，故，所以，，所以，，因此，.故答案为：.16.已知点是边长为4的正方形内部（包括边界）的一动点，点是边的中点，则的最大值是______；的最小值是______.答案：①.②.−8解析：思路：由，取中点，连接PQ，取PQ的中点为，连接，根据，即可求解.解答过程：由，当点与点重合时等号成立；如图所示，取中点，连接PQ，取PQ的中点为，连接，则，又因为点为正方形内部（包括边界）一动点，所以，当点与点重合时，取得最小值−8.故答案为：；−8.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数．（1）求；（2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数的除法求z，进而求模长；（2）将z代入方程，根据复数相等列式求解.（1）因为，所以．（2）由（1）可得：，将z代入方程得：，则，解得：．18.已知a,b,（1）若，且，求坐标；（2）若，且，求与的夹角．答案：（1）或（2）解析：思路：（1）设，然后根据向量模以及向量垂直的坐标表示，列出方程组，求解即可得出答案；（2）根据已知可推得，然后即可得出，进而得出答案.（1）设，由已知可得，解得或所以或．（2）由已知可得，a=1由得，即，即，所以，所以.因为，，故.19.每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差.答案：（1）（2）（3）59，60解析：思路：（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；（2）再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值；（3）由分层抽样的方差公式求解.（1）由题意知，，解得；（2）根据频率分布直方图，所以；（3）由频率分布直方图知，落在､的样本数据的频数分别为60，40，所以，所以.20.如图，在四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）若分别为的中点，求证：平面平面.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）可以证明CD⊥PA，结合，线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（2）延长AE交于，由中位线定理可证，PB以及，再结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证.（1）因为，所以CD⊥PA.又因为平面平面PAD，所以平面PAD.又平面，所以平面平面.（2）延长AE交于，因为E,F分别为中点，所以PB，又平面平面，所以平面.因为，所以，又为中点，所以，注意到，所以，所以.又因为，所以为中点，所以.又因为FG⊄平面平面，所以平面.因为平面平面，所以平面平面.21.在中，的对边分别为，已知向量，，且.（1）求的大小；（2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积.答案：（1）π3；（2）.解析：思路：（1）由向量的数量积的运算公式，求得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到cosC=1(2)由，求得，两边平方化简得，再由余弦定理，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.解答过程：（1）由题意，因为，，可得，在中，由正弦定理得，化简得，又因为，可得sinA>0，所以cosC=12，因为，所以(2)由，可得，所以，两边平方得①又因为，所以.②由①②得，所以.方法提示：本题主要考查了向量的数量积