山西省晋城市部分校联考2025-2026学年高一第二学期7月期末自测数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，是复数，若，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.3.某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（）A.36 B.42 C.48 D.544.某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（）A. B. C. D.5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则6.从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（）A. B. C. D.7.在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（）A. B. C. D.8.如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（）A.1 B. C. D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（）A.这组数据的众数是56B.这组数据的极差是4C.这组数据的60%分位数是55D.去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小10.在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则，关于轴对称C.若，则D.若，且，是关于的方程的两个根（，），则11.如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为B.若平面与平面的交线为，则C.若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则D.若，则平面截正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.有一个专养草鱼的池塘，为了估计池塘内草鱼的数量，养殖人员从池塘内捞出60条草鱼，做上标记后放回池塘，10天后，他又从池塘内捞出50条草鱼，发现其中有2条草鱼有标记，则可估计该池塘内共有_______________条草鱼．13.在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________．14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，，．（1）若，求实数的值；（2）求向量与的夹角的余弦值．16.甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响．（1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率；（2）求此次比赛进行3局就结束的概率．17.某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．18.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）已知点是边上的一点，且，求的长.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，是复数，若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的减法运算求解.解答过程：由题意.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为向量，，且，则，解得.3.某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（）A.36 B.42 C.48 D.54答案：C解析：思路：使用分层抽样的定义计算.解答过程：应抽取的男同学人数为：.4.某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角.解答过程：设圆锥的高为，则，解得，母线长为，所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．故选：D．5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则答案：D解析：思路：根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.解答过程：若，，则或，故A错误；若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误；若，，则或，又，则与可能平行，可能相交，故C错误；两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确．故选：D．6.从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.解答过程：不超过的质数有共8个，任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组，所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种，从8个质数中任选2个不同的质数有种，所以，所求概率为.7.在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案.解答过程：由余弦定理得，所以，所以，故．由正弦定理，得，故．故选：B．8.如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（）A.1 B. C. D.2答案：A解析：思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及定义求解.解答过程：在梯形中，令，由，得，由，得，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（）A.这组数据的众数是56B.这组数据的极差是4C.这组数据的60%分位数是55D.去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小答案：BC解析：思路：由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误.解答过程：将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确；对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确；对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则，，即，故D错误.故选：BC.10.在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则，关于轴对称C.若，则D.若，且，是关于的方程的两个根（，），则答案：BC解析：解答过程：若，则，故A错误；因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确；若，则，则，故C正确；由题意得，，则，故D错误.11.如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为B.若平面与平面的交线为，则C.若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则D.若，则平面截正方体所得截面的面积为答案：BC解析：思路：求出正方体的体对角线得球半径判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；作出二面角并求解判断C；作出截面并求出面积判断D.解答过程：对于A，由，得正方体的外接球半径，因此正方体的外接球表面积为，A错误；对于B，由，，得四边形是平行四边形，，而平面，平面，则平面，是平面与平面的交线，平面，因此，B正确；对于C，分别取的中点，，连接，则，，，，又，则，，因此是平面和平面所成的二面角的平面角，则，C正确；对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点，则，，且，，四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形，又，，，所以的面积为，五边形的面积为，D错误．故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.有一个专养草鱼的池塘，为了估计池塘内草鱼的数量，养殖人员从池塘内捞出60条草鱼，做上标记后放回池塘，10天后，他又从池塘内捞出50条草鱼，发现其中有2条草鱼有标记，则可估计该池塘内共有_______________条草鱼．答案：1500解析：解答过程：设该池塘内共有条草鱼，则，解得，所以估计该池塘内有1500条草鱼．13.在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________．答案：解析：思路：根据正棱台的几何性质求得，从而求得，过点作的垂线，垂足为，可得，从而求得的值，由异面直线所成角的定义确定异面直线与所成的角，由余弦定理求解即可得其余弦值.解答过程：在正四棱台中，，所以.因为高为1，所以，过点作的垂线，垂足为，易得，所以，同理可得．因为，所以为异面直线与所成角或补角，在中，，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为．14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.答案：解析：思路：利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．解答过程：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：.方法提示：关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，，．（1）若，求实数的值；（2）求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由，可得，根据数量积的运算律及定义可得；（2）先求得向量与的数量积及模，根据夹角公式可得.（1）因为，所以，所以，即，解得．（2）由题意得，，设向量与的夹角为，则．即向量与的夹角的余弦值为.16.甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响．（1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率；（2）求此次比赛进行3局就结束的概率．答案：（1），，（2）解析：思路：（1）根据独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式可得；（2）分析比赛进行3局就结束的各种情况，根据互斥事件的概率加法公式可得.（1）设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件，则，，．（2）设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，，则，所以．17.某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．答案：（1），74.5．（2）平均数为70.5，方差为35解析：（1）根据题意，，解得．，估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5．（2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为，则样本中在内的评分的平均数为，样本中在内的评分的方差为18.在中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）已知点是边上的一点，且，求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据余弦定理求解即可.（2）用正弦定理将转化为，由已知结合正切函数的性质求出的范围，最后得到答案.（3）设，再利用向量表示出，化简求解即可.（1）因为，所以，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，所以，因为，又为锐角三角形，则所以，所以，所以，即的取值范围是.（3）设，则，因为，所以，联立解得因为，所以，，所以.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．答案：（1）因为底面是边长为2的菱形，且，所以和均为等边三角形.因为点是的中点，所以．因为，所以.因为平面平面，