山西省忻州市2025-2026学年高二第二学期7月期末考试数学试题 含答案解析

山西忻州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．设全集，已知集合，，则=（

）A． B． C． D．2．已知函数是偶函数，则实数（

）A． B． C． D．3．已知幂函数的图象不经过原点，则（

）A． B． C．或 D．或4．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．5．对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（

）A．10 B．100 C． D．100006．已知函数是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则（

）A． B． C．1 D．27．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列选项中，正确的是（

）A．若，，则，B．若不等式的解集为，则C．函数的图象恒过定点D．若，，且，则的最小值为910．下列结论中，所有正确的结论是（）A．若，则B．命题的否定是：C．若且，则D．若，则实数的取值范围为11．已知函数，则（

）A．的图象关于轴对称B．有两个零点C．不等式的解集为D．若，则的最小值为三、填空题12．已知函数若，则___________.13．已知函数，若，则实数________．14．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________．四、解答题15．（1）求值：（2）已知是方程的两根，且，求的值.16．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：(1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？(3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点.(1)求证：为直角三角形；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.18．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：研发投入（亿元）12345产品收益（亿元）3791011(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.参考数据：，，.19．已知函数．(1)若，求的极值；(2)讨论函数的单调性；(3)是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D【详解】或，，所以，所以，即.故选：D2．C【详解】已知函数的定义域为，所以，又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确.3．A【详解】由题意可得，解得或，当时，，此时图象不经过原点，符合题意；当时，，此时图象经过原点，不符合题意；所以，.4．B【详解】函数的定义域为.又，函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD；又时，，可排除选项C.故选：B.5．A【详解】令，则，解得：，令，则，解得：，故.故选：A6．A【详解】因为是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，所以，，所以函数的周期为，.故选：A7．D【详解】令，故，画出与的图象，函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，则，解得.故选：D8．C【详解】，，所以函数关于直线对称，当时，，由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增，所以在上单调递增，由，可得，，化简整理得，解得.故选：C.9．AD【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确；对于B：若不等式的解集为,则的两根为，且,根据韦达定理有:，解得，所以,故B错误；对于C：对数函数恒过,所以恒过，故C错误；对于D：因为,所以,当且仅当,即时等式成立，故的最小值为9，故D正确.故选：AD.10．ABC【详解】对于选项A：因为，所以.因为，所以，即，所以A正确；对于选项B：特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是：，所以B正确；对于选项C：，因为，所以，所以，所以，所以C正确；对于选项D：因为时，恒成立，即恒成立.根据基本不等式的性质，所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误.故选：ABC.11．ABD【详解】对于A选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，A对；对于B选项，当时，，因为函数、、在上均为增函数，故函数在上为增函数，且，故函数在上为减函数，且，故函数有且只有两个零点，B对；对于C选项，因为函数是定义域为上的偶函数，且该函数在上为增函数，由可得，所以，解得且，所以不等式的解集为，C错；对于D选项，因为，所以，由可得，即，因为函数在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D对.12．【详解】因为，若，则，当时，无解当时，，可得，故答案为：13．10【详解】由题意，故.14．【详解】，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，由，可得的值域为.，，当时，，单调递增，由，可得的值域为.因为若对，总，使成立，所以，即，解得，故实数a的取值范围为.15．（1）；（2）【详解】（1）（2）已知是方程的两根，则由，可得16．(1)；(2)；(3).【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种，则唱歌节目排在两头，有种排法；（2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体，3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体，把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，排法有种，则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有种；（3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种.17．(1)取的中点，连接，，由等边可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.在中，，，，由余弦定理可得OC= 因为，所以，又，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形.(2)【详解】（1）略（2）由（1）得，，两两垂直，如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设（），则.设平面的一个法向量，则令，解得，，所以平面的一个法向量.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍），所以，，即线段的长为.18．(1)，相关程度较高(2)，9.3亿元【详解】（1）由表中数据可知，，，，，，则，故相关程度较高；（2），，则，，故，令，解得，故研发投入至少9.3亿元.19．(1)极大值为，极小值为.(2)时，在上单调递减，在单调递增；时，在和上单调递增，在上单调递减；时，在R上单调递增；时，在和上单调递增，在上单调递减.(3)不存在满足条件的a，理由如下：假设存在实数a，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和，则有：，两式相减消去参数a，得，令，求导得，对任意，恒成立，仅在处导数为0，故在R上单调递增，又，因此仅有唯一解，但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a.【详解】（1）当时，，对函数求导得：，解得或；解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，则的极大值为，极小值为.（2），对