陕西省安康市汉滨区七校联考2025-2026学年高二第二学期期末质量检测数学试题 含答案解析

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导正确的是（）A. B.C. D.2.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A.10种 B.12种 C.20种 D.60种3.的展开式中含项的系数为（）A.24 B.28 C.20 D.324.某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度2356每公顷产量m578发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A.4 B.6 C.8 D.105.设随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.6.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（）A. B. C. D.7.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数，则（）A.在处的切线方程为 B.的极小值为0C.在单调递增 D.有三个实根二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（）A.r的取值范围是B.r的取值范围是C.越接近1，表示两变量的线性相关程度越强D.越接近0，表示两变量的线性相关程度越强10.学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（）A.服从超几何分布 B.C.的期望 D.的方差11.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（）A.在上单调递减B.在处取得极小值C.D.在处取得极小值第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件，满足，，则______．13.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________.14.某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，时间12345销量万只54.543.52.5给出下列说法：①由题中数据可知，变量与负相关②当时，残差为③可以预测当时销量约为万只④经验回归方程中其中正确的是__________（填序号）.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，是的导函数．（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程；（3）求的最小值．16.在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．已知（），若的展开式中，______.（1）求n的值；（2）求的系数；（3）求的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．17.粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示．年份代码12345产量/千万吨13.413.613.813.714.0现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，．（1）求样本的相关系数r；（精确到0.01）（2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望．附：相关系数，．18.2024年6月5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过15分钟，累计每天不超过1小时”等内容．为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防．在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：电子产品近视未近视非长时间使用电子产品4070长时间使用电子产品6030（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？（2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为，对长时间使用电子产品的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率；（3）若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验，记表示这3人中长时间使用电子产品的人数，求的分布列与数学期望．19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围；（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解.解答过程：对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误；故选：C.2.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A.10种 B.12种 C.20种 D.60种答案：B解析：思路：分三类计数相加即可得解.解答过程：分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种；第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种，根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.故选：B3.的展开式中含项的系数为（）A.24 B.28 C.20 D.32答案：B解析：思路：化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.解答过程：设展开式中第项含x项，则，令，解得，因此，所以的展开式中含项的系数为28.故选：B4.某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度2356每公顷产量m578发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：A解析：思路：将代入经验回归方程计算即可得.解答过程：，，则，解得.5.设随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据正态曲线的对称性计算可得.解答过程：因为且，所以，所以，所以.故选：A6.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件概率的计算方法求得正确答案.解答过程：不超过的自然数有个，其中素数有共个，孪生素数有和，和，和，和，共组.所以，，所以.故选：D7.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.解答过程：设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，由，则，令，解得或（舍去），故点P的坐标为，故点P到直线的最小值为：.故选：A.8.已知函数，则（）A.在处的切线方程为 B.的极小值为0C.在单调递增 D.有三个实根答案：B解析：思路：求函数的导函数，结合导数的几何意义求在处的切线方程，判断A，结合极值的定义判断B，结合导数与单调性的关系判断C，结合函数图象判断D.解答过程：因为，所以，所以，又，所以函数在处的切线方程为，A错误，令，可得或，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以时，函数取极小值，极小值为，B正确，函数在上单调递增，在上单调递减，C错误，当时，，，，时，，函数的图象大致如下：作函数图象如下：观察图象可得函数与函数的图象有且仅有一个交点，所以方程有一个实根，D错误，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（）A.r的取值范围是B.r的取值范围是C.越接近1，表示两变量的线性相关程度越强D.越接近0，表示两变量的线性相关程度越强答案：AC解析：思路：利用相关系数的取值范围判断AB；利用相关系数的意义判断CD.解答过程：对于AB，样本相关系数r的取值范围是，A正确，B错误；对于CD，越大，越接近于1，两变量的线性相关程度越强，越小，越接近于0，两变量的线性相关程度越弱，C正确，D错误.故选：AC10.学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（）A.服从超几何分布 B.C.的期望 D.的方差答案：ABD解析：思路：根据题意可知服从超几何分布，可取，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判断即可．解答过程：由题可知，总候选人，甲班候选人，抽取名，为甲班人数，所以服从超几何分布，且可取，故A正确，，，，，故B正确；则的分布列为：0123，，故C错误，D正确．11.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（）A.在上单调递减B.在处取得极小值C.D.在处取得极小值答案：ACD解析：思路：结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项．解答过程：由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确；，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误；由，时，，单调递减，时，，单调递增，所以是极小值，D正确．故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件，满足，，则______．答案：##0.25解析：解答过程：因为，，所以．13.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________.答案：##解析：思路：设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案.解答过程：设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为“选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”，则，根据全概率公式可知.故答案为：14.某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，时间12345销量万只54.543.52.5给出下列说法：①由题中数据可知，变量与负相关②当时，残差为③可以预测当时销量约为万只④经验回归方程中其中正确的是__________（填序号）.答案：①③④解析：思路：根据表格中销量与时间的变化规律可判断①；利用表格分别求出销量与时间的平均数，得样本中心点，代入回归方程求出判断④；进而推得线性回归方程，再利用残差定义，计算判断②；利用线性回归方程赋值计算即可判断③.解答过程：由经验回归方程，可知回归直线的斜率，即变量与负相关，同时结合表格，可知销量随着的增大而减小，故①正确；又由表格可得，，因样本中心点在回归方程上，则得，故④正确；则回归方程为，当时，，此时残差为，故②错误；当时，代入回归方程可得，即可以预测当时销量约为万只，故③正确.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，是的导函数．（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程；（3）求的最小值．答案：（1）（2）（或等价形式）（3）解析：思路：

（1）求的导函数，代入计算即可.（2）利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程；（3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值.（1）已知，则，进而.（2）令，则.则在处切线斜率.根据（1）知，切点为.由点斜式得直线方程

，整理得切线方程.（3）由，因，故，即在上单调递增.又，则当时，，单调递减;当时，，单调递增.故在处取最小值，，即最小值为.16.在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．已知（），若的展开式中，______.（1）求n的值；（2）求的系数；（3）求的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出.（2）由（1）的结论，结合二项式定理求出.（3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.（1）选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，所以.选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，所以.（2）由（1）知，的展开式中项为：，所以.（3）由（1）知，的展开式中，当时，，当时，，所以.17.粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示．年份代码12345产量/千万吨13.413.613.813.714.0现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，．（1）求样本的相关系数r；（精确到0.01）（2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望．附：相关系数，．答案：（1）0.92（2）随机变量的分布列为X123P解析：思路：（1）根据统计表格中的数据，求得，，结合参考数据和相关系数的公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量的取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.（1）解：根据统计表格中的数据，可得，，以及，，．可得样本相关系数.（2）解：根据题意，可得随机变量的取值为，则，，，所以随机变量的分布列为X123P所以期望为.18.2024年6月5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过15分钟，累计每天不超过1小时”等内容．为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防．在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：电子产品近视未近视非长时间使用电子产品4070长时间使用电子产品6030（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？（2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为，对长时间使用电子产品的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率；（3）若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验，记表示这3人中长时间使用电子产品的人数，求的分布列与数学期望．答案：（1）患近视与长时间使用电子产品有关联（2）（3）123.解析：思路：（1）根据给定表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可.（2）利用古典概率公式及全概率公式列式求解.（3）