新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学总分:150分一、单选题(每小题5分，共40分)1.已知，则（）A. B. C. D.12.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.33.若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.5.已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，186.为了研究一种新药的疗效，选名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者.下列说法中，错误的是（）A.服药组的指标的均值和方差比未服药组的都低B.未服药组的指标的均值和方差比服药组的都高C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标低于的概率约为D.这种疾病的患者的生理指标基本都大于7.在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A.和为对立事件 B.与为相互独立事件C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件8.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（）A. B.1 C.2 D.3二、多选题(每小题6分，共18分)9.设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.复数的共轭复数的模B.若复数是纯虚数，则得或C.若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为D.若复数是关于x的方程的一个根，则10.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形 D.若，则有两解11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多而体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A.AB与PF所成角为B.该二十四等边体的体积为C.该二十四等边体外接球的表面积为D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为三、填空题(每小题5分，共15分)12.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________．13.样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______.14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为_____，向量在向量上的投影向量为_____．四、解答题(第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分)15.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．16.如图，在正方体中，.（1）作出过与平行的平面，并证明；（2）证明：平面;（3）求直线和平面所成的角.17.（1）已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标；（2）若是夹角为的两个单位向量，求：（i）的值；（ii）函数的最小值；（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．18.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）求的值．（2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数）（3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．19.某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”．（1）以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件；（2）若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率.

数学总分:150分一、单选题(每小题5分，共40分)1.已知，则（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：由复数除法即可求解.解答过程：因为，所以.故选：A.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.3答案：D解析：思路：利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果.解答过程：若，则，因此可得，解得.故选：D3.若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.解答过程：对于A，若，则可平行或异面，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则存在直线，，所以由可得，故，故C正确；对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；故选：C.4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆柱和圆锥的底面半径均为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积．解答过程：设圆柱和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线，则圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，由，得，解得，所以圆锥的体积．5.已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，18答案：D解析：思路：根据极差和方差的性质运算可得.解答过程：新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：；新数据的方程是原数据方差的倍，所以新数据的方差为：.故选：D6.为了研究一种新药的疗效，选名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者.下列说法中，错误的是（）A.服药组的指标的均值和方差比未服药组的都低B.未服药组的指标的均值和方差比服药组的都高C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标低于的概率约为D.这种疾病的患者的生理指标基本都大于答案：B解析：思路：根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标大于的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标值的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.解答过程：对于A选项，服药组的指标的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标的均值小于，未服药组的指标的均值大于，A选项正确；对于B选项，未服药组的指标的取值相对集中，方差较小，B选项错误；对于C选项，服药组的指标值有个大于，所以患者服药一段时间后指标低于的概率约为，C选项正确；对于D选项，未服药组的指标值只有个数据比小，则这种疾病的患者的生理指标基本都大于，D选项正确.故选：B.方法提示：本题考查统计图表的应用，考查推理能力，属于基础题.7.在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A.和为对立事件 B.与为相互独立事件C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件答案：B解析：思路：A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断.解答过程：事件的基本事件有，，，，；事件的基本事件有，，，，；事件的基本事件有，，，.和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误；，，事件的基本事件有，，则，所以和为相互独立事件，B正确；，，事件的基本事件有，，则，故和不为相互独立事件，C错误；和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误.8.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（）A. B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.解答过程：解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.二、多选题(每小题6分，共18分)9.设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.复数的共轭复数的模B.若复数是纯虚数，则得或C.若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为D.若复数是关于x的方程的一个根，则答案：ACD解析：思路：利用复数的基本概念、运算、几何意义及实系数一元二次方程的虚根性质，结合对应知识点逐一判断选项即可.解答过程：选项A：，故，A正确，选项B：纯虚数要求实部为且虚部不为，令实部，解得或，当时虚部，复数为实数，不符合要求，仅成立，B错误；选项C：向量，对应的复数为，C正确；选项D：实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一根为，由韦达定理，两根和得，两根积，故，D正确.10.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形 D.若，则有两解答案：AD解析：思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，，故边最长，角最大.设，则.所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误；对于D，，根据正弦定理，所以有两解，所以有两解，故D正确.故选：AD.11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多而体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A.AB与PF所成角为B.该二十四等边体的体积为C.该二十四等边体外接球的表面积为D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为答案：BCD解析：思路：A.利用异面直线所成的角求解判断；B.补齐八个角构成棱长为2的正方体求解判断；C，取正方形ACPM对角线交点O，即为该二十四等边体外接球的球心求解判断；D，由PN与平面EBFN所成角为∠PNS求解判断.解答过程：如图所示：对于A，因为，，所以AB和PF所成角为，故A错误.对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，故B正确对于C，取正方形ACPM对角线交点O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，故C正确，对于D，因为PN在平面EBFN内的射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角为∠PNS，其正弦值为，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________．答案：14解析：思路：根据直观图还原该平面图形，然后可得答案．解答过程：在直观图中，设与交于点，则，，，在原图形中，，，，所以原图形周长是故答案为：1413.样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______.答案：11解析：解答过程：因为，所以第40百分位数为第4个数据11.14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为_____，向量在向量上的投影向量为_____．答案：①.②.解析：思路：空：根据已知条件，确定向量逆时针旋转的角，根据公式确定坐标，再根据点坐标，求出点的坐标；空：根据投影向量的计算公式结合、坐标即可求解.解答过程：空：由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，则，，设，又因为，所以，解得，所以.空：向量在向量上的投影向量为，因为，，所以.故答案为：；四、解答题(第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分)15.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.16.如图，在正方体中，.（1）作出过与平行的平面，并证明；（2）证明：平面;（3）求直线和平面所成的角.答案：（1）平面为所求平面.证明：如图所示，连接，，在正方体中，且，则四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面.（2）证明：如图所示，在正方体中，侧面是正方形，所以.又因为平面，且平面，所以.因为，且平面，所以平面.（3）.解析：（1）略.（2）略.（3）由（2）知，平面.如图所示，设，则为的中点，连接，因为平面，所以为直线与平面所成的角，在中，，，所以，得，即直线和平面所成的角为.17.（1）已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标；（2）若是夹角为的两个单位向量，求：（i）的值；（ii）函数的最小值；（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．答案：（1）；（2）（i），（ii）；（3）证明：若选①：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．证明：如图，设，由三角形法则有，所以即.同理可得，，.若选②：在平行四边形中，，为对角线，证明：.根据条件作出图形，因为四边形为平行四边形，所以，，，所以，因为，所以，所以，即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；若选③：在中，，，分别为，，的中点，证明：，，相交于一点.由题意作出图形，设，，则，，，设，相交于一点，，，则，，又，所以，解得，，所以，再设，相交于一点，同理可证得，即，重合，即，，相交于一点，所以三角形的三条中线交于一点.解析：思路：（1）设，依题意可得，从而得到方程组，解得即可；（2）（i）根据及数量积的运算律计算可得；（ii）由，结合二次函数的最值即可求解；（3）根据所选条件，画出图形，结合向量的运算证明即可.解答过程：（1）设，则，，因为点在线段的延长线上，且，所以，所以，解得，所以；（2）（i）因为，为单位向量，所以，，所以；（ii）因为，所以当时，函数的最小值为；（3）略18.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）求的值．（2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数）（3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．答案：（1）（2）；（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中