新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2025-2026学年高一第二学期期末学情质量监测数学试题 含答案解析

数学（分值：150分时长：120分钟）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.0 B.1 C. D.23.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（）A.直线与平行B.直线与相交C.A，B，C，D四点中可以有三点共线D.A，B，C，D四点中不存在三点共线4.为提高学生学习数学的热情，学校举行高一年级数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的8人的成绩：（单位：分）78，70，72，79，80，81，84，83，则这8人成绩的第80百分位数是（）A.84 B.83 C.83.5 D.705.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，A，B，C三种不同型号的产品的月产量分别为200件，300件，500件.现用分层抽样的方法抽取1个容量为100的样本，则样本中A种型号的产品件数为（）A.40 B.60 C.20 D.1006.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7.某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米8.已知，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第三象限 D.10.软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（）A.向量与向量是相等向量 B.C. D.11.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥外接球的表面积为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下：A组5678B组689①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”）②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”）13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则形状为_____.14.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是弧的中点，则圆锥的表面积为_____.直线与平面所成角的正弦值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.（分第一～五组区间分别为、、、、）（1）求选取的市民年龄在内的人数及的值；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数.16.如图，在边长为2的正方体中，为中点，（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积.17.如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若D为BC边上一点，，求AB的长.18.如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.是边长为的等边三角形.（1）证明：平面面；（2）求直线和所成角的余弦值；（3）点在棱上，如图2，，求二面角的正切值.19.在中，已知，的面积满足：.（1）求的值；（2）如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记.（i）用含的式子分别表示、与的面积；（ii）若，求实数的最大值.

数学（分值：150分时长：120分钟）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.2.已知，则（）A.0 B.1 C. D.2答案：A解析：解答过程：已知，则原式可化为：.3.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（）A.直线与平行B.直线与相交C.A，B，C，D四点中可以有三点共线D.A，B，C，D四点中不存在三点共线答案：D解析：解答过程：若直线与平行或相交，则两条直线确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，故A、B均错误.若四点中有三点共线，则这条直线与第四个点确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，因此四点中不存在三点共线，故C错误，D正确.4.为提高学生学习数学的热情，学校举行高一年级数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的8人的成绩：（单位：分）78，70，72，79，80，81，84，83，则这8人成绩的第80百分位数是（）A.84 B.83 C.83.5 D.70答案：B解析：解答过程：将数据按升序排列可得：70，72，78，79，80，81，83，84，因为，所以这8人成绩的第80百分位数是83.5.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，A，B，C三种不同型号的产品的月产量分别为200件，300件，500件.现用分层抽样的方法抽取1个容量为100的样本，则样本中A种型号的产品件数为（）A.40 B.60 C.20 D.100答案：C解析：解答过程：总产量为件，抽样比为，型号样本数为件，所以答案是C.6.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：解答过程：若，则或，所以A错误；若，则或，所以B错误；若，则或与相交，所以C错误；若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确.7.某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：A解析：思路：设塔高，利用三角函数将用表示，再结合三点共线及余弦定理建立关于的方程求解.解答过程：设寂光塔的高度米，由题意可知平面，所以均为直角三角形；在Rt中，，则；在Rt中，，则；在Rt中，，则；在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为三点共线，所以，即。所以，解得，所以.故寂光塔的高度为米.8.已知，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解.解答过程：因为，所以，所以，则可设，设，由，得，即，化简整理得，所以，所以，所以，即的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第三象限 D.答案：ABD解析：思路：先化简复数，利用复数的性质依次判断即可.解答过程：首先化简复数，对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确；对于B，，其中虚部为的系数，故B正确；对于C，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故C错误；对于D，根据完全平方公式计算，故D正确.10.软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（）A.向量与向量是相等向量 B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D.对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等，所以向量与向量相等向量，A正确．对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为，则，B错误．如图，因为，，则，C正确．为正三角形，连接交于点，由对称性可知，，且，，则，，故，D正确．11.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D.解答过程：由题设，，则，由平面，平面，则，都在平面内，则平面，平面，则，A对；由平面，即为平面，又平面，，所以平面，即与平面相交，B错；由平面，则直线与平面所成角为，又所以，C对；由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，由平面，，则三棱锥外接球半径，所以外接球的表面积，D对.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下：A组5678B组689①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”）②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”）答案：①.②.解析：解答过程：易知两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，所以；两组同学该周课外运动时长的方差分别为，，所以，因此.13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则形状为_____.答案：直角三角形解析：解答过程：将代入，可得，解得，即，即，化简得，因为三角形边长，所以，即，则是直角三角形.14.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是弧的中点，则圆锥的表面积为_____.直线与平面所成角的正弦值为_____.答案：①.②.解析：思路：第一空利用圆锥的表面积计算公式即可；第二空先作出直线与平面所成角，再求出直线与平面所成角的正弦值即可.解答过程：第一空：；第二空：取中点，连接，,，作于点，因为，点为中点，所以，又因为平面，所以，又,平面，所以平面，平面，所以，又，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为为圆锥底面圆的直径，是弧的中点，所以为等腰直角三角形，,在中，,,得到,则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.（分第一～五组区间分别为、、、、）（1）求选取的市民年龄在内的人数及的值；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数.答案：（1），（2）平均数为，第80百分位数为解析：思路：（1）根据频率与频数的关系求年龄在内的人数，利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出；（2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第80百分位数所在区间，再计算第80百分位数.（1）由频率分布直方图可知，组距为5，年龄在内的频率为，故选取的市民年龄在内的人数为，由于直方图所有小矩形的面积之和为1，所以，整理得，解得.（2）根据频率分布直方图，各组的频率分别为，估计这200名市民年龄的平均数为：.前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，因为，所以第80百分位数位于第四组内，设第80百分位数为，则，解得，故估计第80百分位数为.16.如图，在边长为2的正方体中，为中点，（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积.答案：（1）连接交于，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，平面；（2）在边长为2的正方体中，平面，平面，，底面为正方形，，平面平面，平面，又平面，所以平面平面；（3）解析：思路：（1）连接交于，连接，证明后得线面平行；（2）借助平面，可得平面平面；（3）根据棱锥的体积公式可得.（1）略（2）略（3）在边长为2的正方体中，平面，所以三棱锥的体积为.17.如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若D为BC边上一点，，求AB的长.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得，结合三角形内角的性质得，即可得；（2）应用余弦定理求得，最后应用正弦定理求AB的长.（1）由正弦定理，得，即，即．∵，则．∴，即，又，∴．（2）在中，，，，∴，，∴．在中，，，，由正弦定理，得，可得.18.如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.是边长为的等边三角形.（1）证明：平面面；（2）求直线和所成角的余弦值；（3）点在棱上，如图2，，求二面角的正切值.答案：（1）因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面面．（2）（3）解析：思路：根据面面垂直的性质得出平面，再根据面面垂直的判定即可证明；（2）分别取的中点M、N，连接，得到异面直线和所成角（或其补角）即为，再根据已知求其余弦值；（3）过点E作交于N，过点N作交于点M，连接，利用面面垂直、线面垂直的判定和性质定理，确定为二面角的平面角，再由已知求其正切值．（1）略（2）如下图，分别取的中点M、N，连接，因为为中点，所以且，所以异面直线和所成角（或其补角）即为，因为是边长为2