重庆市2025-2026学年高一第二学期联考数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.3 C. D.12.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.3.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则中最大角的余弦值为（）A. B.−18 C. D.4.在中，D为AB的中点，点E满足，则DE=（）A. B. C. D.5.在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A. B. C. D.6.在△ABC中，角的对边分别为，且，，若满足条件的△ABC是唯一的，则的值不可能是（）A. B. C.2 D.7.已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东45°方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东45°方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里8.如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（）A. B. C. D.0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关复数z的叙述，正确的是（）A.若，则 B.若，则的虚部为C.若满足，则 D.若，则10.已知，，均为单位向量，则（）A.B.C.向量在向量上的投影向量为D.的最小值为1211.在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________13.若，为实数，则的最小值为________．14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ab的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，．（1）求顶点D的坐标；（2）求与的夹角的余弦值．16.（1）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．（2）已知，方程是否存在纯虚数根？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求；（2）若，证明：是直角三角形．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求；（2）求的最大值；（3）当取得最大值时，求的值．19.在梯形ABCD中，，∠DAB=60°，，．，．（1）用，表示．（2）设M是线段EF上一点，且．（ⅰ）求；（ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.3 C. D.1答案：A解析：解答过程：2.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，两式相加得，.3.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则中最大角的余弦值为（）A. B.−18 C. D.答案：C解析：解答过程：依题意得，且最大角为，所以.4.在中，D为AB的中点，点E满足，则DE=（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为中，D为AB的中点，点E满足，所以，，所以.5.在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的几何意义写出，然后由复数的除法运算法则计算.解答过程：由题意，，所以.6.在△ABC中，角的对边分别为，且，，若满足条件的△ABC是唯一的，则的值不可能是（）A. B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据当或时是唯一的即可判断.解答过程：由于，，由正弦定理，要使唯一，须满足以下条件之一：①当时，即，构成一个直角三角形（），只有唯一解；②当时，即，边长足够长，只有唯一解；因此，要使满足条件的是唯一的，的取值范围为，即的值不可能是，故ACD错误，B正确.7.已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东45°方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东45°方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里答案：D解析：思路：先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可.解答过程：如图所示，，，，．在中，由，又海里，所以，解得（海里），在中，由余弦定理可得，又海里，则（海里）．8.如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（）A. B. C. D.0答案：B解析：思路：取MN的中点为点O，通过作适当的辅助线求出圆的半径，然后利用极化恒等式进行求解.解答过程：设O为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，则四边形OEBD为正方形，设，在中,，即，解得，则，，当且仅当与O重合时等号成立，所以的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关复数z的叙述，正确的是（）A.若，则 B.若，则的虚部为C.若满足，则 D.若，则答案：BD解析：解答过程：对于AB，由，则的虚部为，故B正确，而，故A错误；对于C，当时，，而，故C错误；对于D，设，则，即，而，则，故D正确.10.已知，，均为单位向量，则（）A.B.C.向量在向量上的投影向量为D.的最小值为12答案：AC解析：思路：根据向量垂直的充要条件即可判断A；根据为单位向量得到，结合向量夹角的计算即可判断B；根据投影向量的计算可判断C；根据向量的模的计算结合二次函数的性质即可判断D.解答过程：对于A：，则，A正确.对于B：由，得，所以.所以，因为，所以，B错误.对于C：向量在向量上的投影向量为，C正确.对于D：设，当时，取得最小值，为，D错误.11.在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：根据三角形外心、角平分线的性质与向量有关知识求解.解答过程：对于A选项，若，则O为的重心，那么的外心与重心重合，则为正三角形与题设不符合，故A错误；对于B选项，根据角平分线的性质可知，,所以，，故B正确；对于C选项，由B选项可知，,化简可得，，故C正确；对于D选项，由可得,由于即所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________答案：解析：解答过程：由，，且，则有.13.若，为实数，则的最小值为________．答案：1解析：解答过程：由可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.为实数，故对应复平面内的点在实轴上.表示圆上动点到实轴上动点的距离，设为到实轴的距离.圆心到实轴的距离为，因此.14.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ab的取值范围为________．答案：(2解析：解答过程：因为，，所以，所以，由题意得，解得，，解得，又，综上：，所以，所以四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，．（1）求顶点D的坐标；（2）求与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：（1）设顶点D的坐标为．因为，B0,2，，所以，．又，所以，即，解得.所以顶点D的坐标为（2）由（1）知，则，，所以，所以，故与的夹角的余弦值为．16.（1）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．（2）已知，方程是否存在纯虚数根？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）存在，解析：思路：（1）先化简复数，再根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解的取值范围；（2）设方程存在纯虚数根，将其代入方程即可求解.解答过程：由，因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得，则m的取值范围为−1,1.设方程存在纯虚数根，则，即，则，解得或，且，此时方程为，则，解得或，满足题意，则.17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求；（2）若，证明：是直角三角形．答案：（1）（2）由题设，则，所以，即，所以，可得，所以，则，所以，可得，所以，故（负值舍），由，则，即为直角，故是直角三角形，得证.解析：思路：（1）应用正弦边角关系及三角形内角性质、三角恒等变换化简得，进而求得，再求其正弦值；（2）由正弦边角关系得，利用三角形内角和及和角正弦公式得，进而求得，结合前提即可证.（1）由题设及正弦边角关系有，而，所以，即，所以，而，则，由0<A<π，可得.（2）略18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求；（2）求的最大值；（3）当取得最大值时，求的值．答案：（1）3（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理化简，求得，再结合两角和正切公式即可求解；（2）利用余弦定理化简可得，从而得到，结合基本不等式即可求解；（3）由（2），结合余弦定理即可求解.（1）由，可得，故．因为，所以，则．又，所以；（2）由余弦定理可知，，．由，可得，化简可得，，当且仅当c=3b即的最大值为.（3）由（2）可得：故当取得最大值时，c=3b，，即a=2b所以．19.在梯形ABCD中，，∠DAB=60°，，．，．（1）用，表示．（2）设M是线段EF上一点，且．（ⅰ）求；（ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值．答案：（1）；（2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）.解析：思路：（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得；（2）（ⅰ）建立平面直角坐标系，根据已知表示出，再结合